古希腊三大几何问题概述

丁嘉琪

摘要：古往今来，古希腊三大几何问题吸引了古今中外的数学家进行前仆后继的探索。在探索的过程中，人们不仅清楚了解了三大几何问题的结果，还从中得到了许多意外的收获。本文将从历史由来、问题概述、解决过程及现实意义四个方面对古希腊三大几何问题进行概述。

关键词：倍立方体；化圆为方；三等分角；尺规作图

1.背景

在数学学科的发展历史中，古希腊三大几何问题一直是数学领域中十分受关注的话题。古希腊三大几何问题不仅促进了几何学的发展，而且还促进了人类思想的进步和发展。从古至今，古希腊三大几何问题的提出和解决过程一直是数学领域中重要的学习内容，具有十分重要的意义。本文将对古希腊三大几何问题的产生历史、古希腊三大几何问题的描述、古希腊三大几何问题的解答及古希腊三大几何问题的意义四个方面进行简要的介绍。

2.古希腊三大几何问题的产生历史

2.1 倍立方体问题

传说在古希腊时期，提洛斯（Delos）岛上蔓延着十分严重的传染病，民不聊生。为了避免传染病的继续蔓延，岛上的居民求助于太阳神阿波罗，然而阿波罗却对祈求的人们说：只要将阿波罗神殿前的立方体祭坛扩大为原来体积的两倍，且保持立方体的形状，那么传染病就会随即消失。居民听到后很高兴，立即建造了一个长、宽、高都为原来2倍的祭坛，然而，传染病却蔓延地更快，更多的人罹患疾病，一时间人心惶惶。后来有学者指出了错误：立方体的棱长变为两倍后，体积变为原来的八倍，而不是要求的二倍。因此，人们就去请教古希腊最著名的学者柏拉图，而柏拉图也对此一筹莫展。这个问题被称作倍立方体问题，因为这一个传说，倍立方体问题也叫作提洛斯问题。

2.2 化圆为方问题

几乎在同一时期，一名叫安纳萨戈拉斯（Anaxagros）的哲学家因亵渎神灵而被捕入狱，而且被判处了死刑。在狱中被关押的日子里，他依旧保持着对世界的思考。一天夜晚，他透过方形的铁窗看见圆圆的月亮，心中不免疑惑：如果已知一个正方形，如何利用尺规作图法做出与其面积相等的圆呢？

在狱中的安纳萨戈拉斯一直为此问题而困惑不已，完全忘记自己仍处在即将被判处死刑的局面。幸运的是，当时有一位杰出的政治家伯利克里，恰好是他的好朋友，在好朋友的营救之下，安纳萨戈拉斯获释出狱。出狱后，他依旧对这个问题念念不忘，后来他组织了许多数学家来研究这个问题，但都没有得到解决。由此便诞生了另一个几何问题——化圆为方问题。

2.3 三等分角问题

在公元前4世纪的时候，有一位公主住在亚历山大城郊外的圆形别墅中。公主的居室恰好在别墅的中心处，别墅中间有一条河流穿过。因此，别墅中的河流上建了桥梁，而桥与别墅的南门和北门刚好位于同一直线上。每天，国王派侍从将赏赐公主的物品运送到北门，经过桥梁送往位于南门旁边的物品仓库。当公主需要某件物品的时候，她便派侍从从南门仓库将物品运到居室。

有一天，公主想知道北门到居室的距离和北门到桥的距离哪一段更远，于是派了侍从去测量，发现两段路的长度是一样的。在几年之后，公主的妹妹也长大成人，国王决定也为她修建别墅供其居住。与姐姐十分要好的妹妹提出要求，想要她的别墅和姐姐的别墅一个样子，别墅中有河流穿過，河流上修建桥梁，也有南门和北门。国王欣然同意，于是别墅很快便开始修建起来。当别墅的南门位置确定，想要修建桥梁和北门的时候，问题出现了：如何能确保北门与居室之间的距离等于北门与桥梁之间的距离。修建别墅的工匠利用当时流行的尺规作图方法进行测量，却发现无从下手。在一筹莫展之际，工匠们决定去请教古希腊著名的数学家阿基米德来解决这个问题。

阿基米德经过思考，最终用直尺和圆规解决了角三等分的问题，工匠利用阿基米德的方法，很快便确定好了北门的方位，大家也纷纷称赞阿基米德的智慧和思维。但是，阿基米德表示，这个方法虽然能够确定北门的位置，但在尺规作图的过程中，由于利用了尺子做标记的办法，所以说只是一个暂缓之计，并不是完美的办法。在古希腊的尺规作图法规定中，是不允许在直尺上做刻度的。由此，最后一个问题——三等分角也诞生了。

3.古希腊三大几何问题的描述

古希腊三大几何问题用数学语言，可以概述为：

（1）倍立方体问题

给定一个立方体V，利用尺规作图法求得新立方体的边长l，使新立方体的体积等于原来体积的2倍，即求立方体边长l，使得V=2V。

我们现在知道，这样的新立方体边长为无理数，因而利用尺规作图法来做图是十分困难的，因而它成为了千百年来难以解决的数学问题。

（2）化圆为方问题

给定一个圆O，利用尺规作图法求得新正方形的边长，使得新正方形的面积与给定圆的面积完全相等。阿基米德将化圆为方问题表述为如下形式：给定圆的半径为r，则其周长为2πr，面积为πr2；如果能够求得一个直角三角形，其直角边长分别为2πr和r，那么则能够很容易得到：

通过这个直角三角形，我们便不难得到满足要求的正方形。但这个直角边如何来用尺规作图得到，便成了一个千百年来的数学难题。

（3）三等分角问题

三等分角的问题出现的时间要早于前两个问题。在公元前600-500年期间，古希腊的数学家便已经用尺规作图解决了二等分角的问题，这个方法在中学课本中便已经介绍过，方法简单且易于理解。在这种情况下，数学家自然而然便联想到：如何能用类似的方法来解决三等分角的问题。

从表面上看，三大几何问题貌似很容易，但却使无数数学家付出了无尽的努力，虽屡战屡败却越挫越勇，这恰恰显示出了数学学科的无限魅力。

4.古希腊三大几何问题的解决

古希腊三大几何问题如何解决，古往今来，无数的科学家进行了不懈的奋斗与努力。直到十七世纪，笛卡尔创立了解析几何之后，数学家们开始利用“几何与代数”统一的思想，才令这三个问题有了进一步的发展。

在化圆为方问题上，公元前五世纪下半叶的数学家希波克拉底没能解决问题。后来，希腊巧辩法的代表人物安蒂丰提出了穷竭法，但也没有解决问题。不过，穷竭法成为了近代数学中极限论的雏形。

1837年，法国著名数学家旺策尔在研究阿贝尔定理时，以六十度角为例证明了对任意角进行三等分是尺规作图所不能解决的问题，之后又证明了倍立方体问题不能用尺规作图来进行解决。

1830年，法國数学家伽罗华创立了一套理论，通过严格的数学证明，表明仅用无刻度的直尺和圆规对给定的角进行三等分是无法做到的。由此可知，三大几何问题之所以未被解决，不是因为数学家不够睿智，而是因为当时的工具条件受到限制。

1882年，化圆为方问题产生了令人信服的答案。德国数学家林德曼通过严格的数学方法证明：圆周率为超越数，无法用传统的代数法进行表达。他还指出，尺规作图无法表示出超越数。

最后，克莱因（Klein.F）在总结前人研究成果的基础上，于1895年在德国数理学家改进社开会时宣读了一篇文章，从而证明三大几何问题不可能仅用无刻度的直尺以及圆规来完成，从而使得疑惑了两千多年的问题得以解决。

5.古希腊三大几何问题的意义

虽然三大几何问题最终都被证明是无法用传统的尺规作图方法进行解决，但千百年来，数学家为解决这些问题所做出的努力和探索，推动了数学学科的进步与发展。与此同时，在三大几何问题的探索过程之中，数学家们也发现了许多新的数学定理和解决数学问题的方法，为人类的生产带来了理论指导，促进了生产力的发展。由此，我们也可以得到启发，解决问题并不是非要得到一个结果，而是在这一过程中我们所使用的数学思想以及我们由此而得到的启发。

参考文献：

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[5]陈督武.三大几何作图问题的产生、研究与解决[J].数学教学通讯，2011（6）：18-19.