基于改进二分法的线导系统导线布放运动研究

张 洁，刘卫东，汤伟江，高立娥

(1.西北工业大学 航海学院，西安 710072；2.西北工业大学 水下信息与控制重点实验室，西安 710072；3.中国船舶重工集团公司 第705研究所，西安 710077)

0 引言

导线布放运动状态的研究是放线系统的主要内容，其可以分为两个阶段：导线在放线装置中的布放运动和导线在海水中的布出运动。本文所研究的为导线在放线装置中的布放运动。该内容国内目前尚无人研究。

导线在放线装置中的布放形式分为外放线和内放线形式。相对于外放线而言，内放线对所用导线的强度要求不高。内放线使用的线团是通过将导线一圈一圈地缠绕在绕线芯轴上，然后抽出绕线芯轴制作而成[1]。放线时，海水从放线装置的注水口进入线团中空的内腔，不仅可以支撑线团而且可以使导线在海水的作用下从线团的内层逐层放出，最终导线布放的终止点和导线缠绕的起始点相同[1-2]。研究放线装置中导线的受力状况，建立放线装置中导线布放动力模型，这对于考虑导线布放过程中的影响因素至关重要。

1 导线布放动力学模型

图1 导线布放柱坐标

1.1 导线动能分析

(1)

其中:Pn为放线装置中导线脱离线团的位置；P0为放线装置出口位置；ρ为导线的密度，即单位长度导线质量；A为导线的横截面积。

1.2 导线势能分析

放线装置出口对导线施加的初始拉力T0在布放过程中由P0和Pn之间的导线共同承担。不同位置处导线微元所承担的拉力不同，其大小由该处导线微元离z的距离，即导线微元在该处的弯曲半径决定。假设导线微元P到z轴的距离为rp，则P处导线微元所承受放线装置出口位置拉力大小为：

其中：T0为放线装置出口施加的初始拉力；m为导线微元P和放线装置出口之间导线的质量；w为导线相对于绕线芯轴转速大小。

(2)

其中：T为放线装置中不同位置处导线微元所受放线装置出口的拉力。

1.3 流体力分析

放线装置中导线在海水环境下进行布放，因此流体力扮演着重要角色。导线所受流体力不仅与自身的材料特性，周围海水的密度有关，同时也与导线的布放速度密切相关。放线装置中导线受到的流体力[3-4]为：

(3)

1.4 动力学模型

导线在放线装置中不断脱离线团，通过放线通道布入海水，所以放线装置中导线的质量不断发生变化，即该放线系统为变质量系统。为了建立导线在放线装置中的动力学模型，引入McIver提出的改进的变质量系统Hamilton原理[5]:

(4)

其中：δK为系统动能的变分形式；δE为系统势能的变分形式；δW1为放线装置中导线在流体力作用下的虚功；δW2为放线装置中动量的变化，δW1和δW2的计算公式分别为：

(5)

将式(1)～(3)、(5)代入式(4)，可以得到放线装置中导线的连续型动力学模型:

(6)

1.5 离散型模型

(7)

(8)

其中：α=0.25，β=0.5。

将式(8)代入式(9)可以得到放线装置中导线离散型动力学模型为：

(9)

则根据放线装置中导线动力学方程(9)可以由前一时刻导线的状态求得后一时刻导线的状态。

3 改进的二分法

将一维非线性方程的传统解法——二分法进行改进，使其在高维非线性方程组中可用。在使用改进的二分法求解非线性方程组时只需要知道包含方程组符号相反的根的区间即可，在该区间内通过中点优化法来逐渐逼近方程组的根。

首先对求解一维非线性方程的二分法进行一个简单的陈述。二分法也称对称法，是求解一维非线性方程根的一种最基本的数值解法，它的思想十分简单，即如果方程在某一个区间内的符号发生变化，则该区间一定包含方程的根。基于此思想可以观察非线性方程在区间两端的符号，如果两端符号相反，就用区间中点代替与中点具有相同符号的端点值[7]。每经过如上所述的一次优化，包含方程根的区间长度就减小一半，优化n次后包含方程跟的区间大小将会是原有区间的(1/2)n，所以只要n足够大，即优化的次数足够多，就可以将长度为(1/2)n的区间中点作为方程的近似根。

以上所述的二分法仅针对一维非线性方程根的求解，并不适用于高维非线性方程组。这里通过将传统二分法以嵌套的形式进行扩展，使其可以用于高维非线性方程组。为了便于理解，以一个三维非线性方程组为例来对改进的二分法进行说明。设一个三维非线性方程组：

(11)

其方程组根中3个元素所在的区间(该区间也可以通过简单的寻优来获得)分别为x∈(a,b)，y∈(c,d)，z∈(e,f)，在区间(a,b)中，f1(a,y,z)*f1(b,y,z)<0；在区间(c,d)中，f2(x,c,z)*f2(x,d,z)<0；在区间(e,f)中，f3(x,y,e)*f3(x,y,f)<0；并且取(x0,y0,z0)作为方程组的初值，其中x0∈(a,b)，y0∈(c,d)，z0∈(e,f)。对于该非线性三维方程组可以通过三层嵌套来求解，其求解可以总结步骤如下：

1)第一层嵌套，取x为自变量，y0，z0为已知参数，对f1(x,y0,z0)=0运用传统二分法，得到x相对f1(x,y0,z0)=0的一个近似解x*；

2)第二层嵌套，取y为自变量，x*，z0为已知参数，对f2(x*,y,z0)=0运用传统二分法，得到y相对于f2(x*,y,z0)=0的一个近似解y*；

3)第三层嵌套，取z为自变量，x*，y*为已知参数，对f3(x*,y*,z)=0运用传统二分法，得到z相对于f3(x*,y*,z)=0的一个近似解z*；

4)令x0=x*，y0=y*，z0=z*，重复步骤1)，2)，3)，直到非线性方程组F(x)=0满足给定的精度。

将以上所述述的改进二分法运用于本文的导线布放动力学方程求解的程序流程如图2所示。

图2 程序流程图

4 仿真分析

依据上述模型，在沿z轴负方向布放速度V大小不同的情况下对放线装置中导线的运动状态进行仿真分析。导线布放时，海水从放线装置的注水口进入线团内腔，对中空线团起到一个支撑的作用同时也使导线的布放运动受到流体力的影响，流体力的大小由海水密度、导线材料特性等决定，这里取海水密度为1024kg/m3，海水的流体力系数1.2；所选用的导线直径为0.44mm，导线的密度即单位长度导线质量为0.205e-3kg/m；线团半径，即线团内壁到z轴的距离为0.123m，本文仅研究放线装置中导线退绕一圈时导线的运动状态，所以导线脱离线团的点Pn和放线装置出口P0位置之间的垂直距离恒定不变，为0.05m；同时线团半径即线团内壁和z轴之间的距离也恒定不变，为0.123m。

在放线装置出口位置对导线施加6N的拉力，在该拉力情况下，当沿着z轴负方向的布放速度V=6 m/s时，导线的布放状态如图2和 图3所示；当沿着z轴负方向的布放速度为V=12m/s时，导线的布放状态如图4和 图5所示。

图3 V=12 m/s时导线弯曲半径和垂直位移的关系图

图4 V=12 m/s时导线的极坐标图

图5 V=12 m/s时导线弯曲半径和垂直位移的关系图

图6 V=12 m/s时导线的极坐标图

仿真图3和图5的每一根曲线分别描述了该时刻中放线装置中导线布放运动时不同位置导线微元的弯曲半径(导线微元和r轴之间的距离)和垂直位移(导线微元和放线装置出口P0之间的垂直距离)的关系，可以看出沿z轴负方向布放速度恒定时，随着导线的布放，相同垂直位移所对应导线微元的弯曲半径逐渐增大，因为线团是锥形的，所以导线微元的弯曲半径可能会超过线团半径(线团内壁和z轴之间的垂直距离)。但是比较图3和图5可以发现沿z轴负方向的布放速度增大时，导线完成一圈布放时导线微元能达到的最大弯曲半径减小。结合图4和图6的极坐标图，也就是说当沿z轴负方向的布放速度增大时，放线装置中导线长度变化减小。这是由于在相同初始拉力下，导线脱离线团的速度相等，但是沿z轴速度增大时，布出放线装置的速度也相对增大。

5 总结

分析放线装置中导线布放运动的动能、势能以及流体力，基于改进的变质量系Hamilton原理建立连续型导线布放动力学模型；采用有限差分法和隐式Newmark积分法对连续型动力学模型进行离散化，得到离散型动力学方程；通过改进的二分法对离散型动力学方程进行数值求解，并用MATLAB软件进行仿真，仿真结果表明放线装置中导线完成一圈的布放运动时，随着时间的增长，导线的弯曲半径逐渐增大，在这个过程中放线装置中导线的长度和质量在不断变化，但是当沿z轴负方向的布放速度增大时，放线装置中完成一圈布放时导线长度和质量的变化相对较小。

[1] 高继和. 线导鱼雷放线系统设计原理[M]. 北京：国防工业出版社，2008.

[2] 魏 巍, 周学军, 李 光. 微型海光缆水下高速布放研究[J]. 船舶工程, 2008, 30(4):31-60.

[3]LeeJW,AnDM,YooWS.Derivationofequationsofmotionofanunwindingcablefromacylindricalspoolpackage[J].JournalofMechanicalScienceandTechnology, 2011, 25(5): 1287-1296.

[4]LeeJW.Predictionofunwindingbehaviorsandproblemsofcablesfrominner-windingspooldispensers[J].NonlinearDynamics, 2012, 67(3): 1791-1809.

[5]MciverDB,Hamilton’sprincipleforsystemofchangingmass[J].JournalofEngineeringMathematics,1973，(7)3:249-261.[6]NewmarkNM.Amethodofcomputationforstructuraldynamic[J].ASCEJournalofEngineeringMechanicsDivision,1959,85:67-94.

[7] 王 飞. 海洋勘探拖曳系统运动仿真与控制技术[D]. 上海: 上海交通大学, 2006.