基于L1自适应控制的四旋翼无人机姿态控制

黄天鹏,刘小雄,马青原,张永杰

(西北工业大学 自动化学院,西安 710072)

0 引言

近年来四旋翼无人机成为航空领域的一大研究热点，由于四旋翼无人机优异的垂直起降和低成本特性，使其在军事、公共安全、政府应急救援指挥以及民用航拍、农业植保等领域具有广泛用途。但是四旋翼无人机作为典型的欠驱动非线性系统，其位置控制是通过姿态控制实现的，并且所有的运动都建立在对4个电机的控制基础上，因此四旋翼无人机的姿态控制至关重要。由于四旋翼无人机在飞行中受到环境干扰，自身电机高速转动引起的陀螺力矩，存在的电机未建模动态，旋翼叶片之间的气动干扰和由于质量分布不均引起的未知惯性力矩干扰，使得依赖精确建模的传统控制方法[1-3]在实际中难以达到四旋翼的控制要求[4-5]；虽然普通的自适应控制可以达到在控制信号中补偿未知影响的效果，但是快速自适应会导致系统控制量的高频振荡，这样的高频控制信号在实际中不可实现，并且对系统鲁棒性造成严重影响[6]。

针对以上问题，本文采用L1自适应控制理论[7]进行四旋翼无人机的姿态控制律设计，达到在快速自适应的同时保证系统鲁棒性的性能要求[8-9]。L1自适应控制理论通过在控制信号中引入低通滤波器，在低通带宽内补偿模型的不确定干扰；通过采用投影算子自适应律来保证估计参数的有界性，由于将快速自适应与鲁棒性解耦，因此可以在硬件限制范围内任意提高自适应的快速性来达到系统需要的动态性能而又不失系统的稳定性[10]。本文主要讲述了针对“X”型四旋翼无人机的非线性模型设计L1自适应角速率控制器，在此基础上设计PID控制器将姿态控制转化到内环的L1自适应角速率控制。分析了系统的稳定性和鲁棒性，最后通过仿真说明了所设计L1自适应控制系统在满足快速动态性能的情况下仍然具备良好的鲁棒性。

1 四旋翼姿态运动模型建立

本文采用“X”型四旋翼无人机为研究对象，根据其飞行控制原理，4个旋翼通过高速转动产生升力，进而产生滚转力矩和俯仰力矩控制滚转角和俯仰角，旋翼转动时产生的反扭矩控制偏航角，当旋翼机身滚转角和俯仰角不为零时升力产生水平分力控制水平位置，升力在重力反方向的分力控制垂直位置，六个自由度的控制是通过调节4个旋翼的转速即旋翼产生的升力和反扭矩实现的。因此定义U1,U2,U3,U4为四旋翼无人机的高度、滚转、俯仰、偏航4个独立控制通道的控制输入：

(1)

由旋翼电机转速与产生力和力矩关系进一步有：

(2)

其中：CT为升力系数，CM为反扭矩系数，ϖi为电机i的转速。四旋翼的姿态角与机体系的角速度之间有如下关系[11]：

(3)

(4)

其中：φ、θ、ψ分别为滚转角、俯仰角和偏航角；p、q、r分别为滚转角速率、俯仰角速率和偏航角速率；Ix、Iy、Iz为四旋翼无人机绕x、y、z轴的转动惯量，J为每个旋翼的转动惯量；d为旋翼叶片中心到四旋翼无人机重心的距离；ΩM=-ϖ1-ϖ2+ϖ3+ϖ4为由于电机差动产生的陀螺力矩转速。以上通过经典力学运动方程建立四旋翼无人机姿态运动模型，为下面设计L1自适应控制器提供基础。

2 四旋翼L1自适应控制器结构

考虑与四旋翼模型相对应的非线性系统：

x(0)=x0

y(t)=CTx(t)

(5)

其中：x(t)∈Rn是可测量的系统状态，u(t)∈Rm为系统的控制输入信号，Am是n×n的赫尔维兹矩阵，Bm∈Rn×m和C∈Rn×n是已知常数矩阵，ω∈Rm×m为未知常数对角矩阵，包含了由于质量分布不均引起输入力矩干扰，f(·)是未知非线性函数，包含四旋翼模型的陀螺力矩干扰、与状态有关的非线性和外界干扰。

L1自适应控制通过设计满足系统瞬态性能和稳态性能的状态观测器，然后以观测状态和实际系统状态之间的误差作为快速自适应律的输入，估计出系统的未知参数，进而用估计参数构造控制信号，去抵消在低通滤波器带宽范围内的不确定干扰，使系统输出信号跟踪输入信号，L1控制器的结构如图1所示。

图1 L1自适应控制结构

2.1 状态观测器

根据被控对象模型设计如下状态观测器：

y(t)=CTx(t)

(6)

2.2 自适应律设计

由于自适应控制律中包含估计参数，因此为了确保控制信号的有界性和可实现性，必须保证在快速自适应估计参数的同时保证估计参数的有界性，因此采用基于投影算子的自适应律，避免估计参数漂移和保证系统较好的鲁棒性。设计基于投影算子的自适应律结构如下：

(7)

2.3 控制律

为了使被控对象的性能达到理想模型：

ym(t)=CTxm(t)

(8)

在自适应律估计出未知参数后，构造控制信号抵消系统的不确定性部分，并且使系统跟踪上输入信号，同时为了保证系统的鲁棒性[14]，引入低通滤波器解决快速自适应导致的控制信号高频振荡的问题，因此在控制信号中加入低通滤波器，控制结构如下：

(9)

其中：

C(s)=ωkD(s)(I+ωkD(s))-1

(10)

3 四旋翼姿态控制律设计

基于以上分析，设计L1自适应控制结构进行四旋翼姿态控制，模型参数见表1。

表1 模型参数

3.1 L1自适应控制器增益

将四旋翼参数带入模型方程中，得到状态方程矩阵，通过极点配置方法求解反馈增益矩阵为：

从而求解出理想闭环系统Am和Bm阵如下：

极点配置后，非线性函数向量为：

(11)

其中：Kii为反馈增益矩阵K第i个对角线元素。

根据实际飞行状态，四旋翼机体角速率最大值3.5rad/s，电机转速最大值设为6000rpm，则陀螺力矩转速最大值为ΩM max=2513rad/s。根据以上物理量范围，求得参数范围θbi=0.1，并取任意正常数ε=0.1，则σbi=0.1,则投影算子边界为：

Θ=[-0.1,0.1]，Δ=[-0.1,0.1]

则L=max‖θ‖1=0.3。由于质量分布不均引起的未知输入增益范围选取如下：

ω11∈[0.1,0.2],ω22∈[0.1,0.2],ω33∈[0.5,1.5]

3.2 自适应律设计

选取自适应增益Γ=1000。

为了使角速率输出以零稳态误差跟踪到理想系统输出：

yid=CTH(s)kgr(s)

(12)

设置：

选取D(s)=1/s，则有:

G(s)=H(s)(1-C(s))=

L1自适应控制方法范数稳定条件为：

由G(s)的形式可知，在状态矩阵Am对应的系统闭环性能条件下，为了满足范数稳定条件，增大低通滤波器带宽可以保证系统满足范数稳定条件和闭环自适应系统良好的跟踪性能。但是高带宽低通滤波器会导致控制信号对外部噪声敏感，系统鲁棒性降低。因此低通滤波器的设计转化为系统动态性能和鲁棒性的约束优化问题[15]。本文选取低通滤波器带宽选取ωk=100。

在L1角速率控制器的基础上，设计由目标角度到目标角速率的PID控制器，结构如下：

(13)

因此系统控制结构为PID控制与L1自适应控制串联结构。目标角度到目标角速率解算由于只涉及到目标信号的转化，因此利用PD控制保证了角度控制的快速性与精确性，角速率控制中采用L1自适应控制作为整个旋翼姿态控制系统的核心，充分发挥L1自适应控制优异的抗干扰能力和快速跟踪性能，保证系统的快速性和鲁棒性。

3.3 鲁棒性分析

根据p、q、r通道的独立控制可得，存在如下开环传递函数：

(14)

(15)

Ami,Bmi,Ci(s)分别为对角矩阵Am,Bm,C(s)的第i个对角线元素。则由式(5)、(6)、(7)、(9)组成的L1自适应控制系统的保守时间增益为：

其中：φmi，ωgc i分别为开环传递函数矩阵Lo(s)的第i个对角线传递函数的相角裕度和截止频率[7]。根据以上结论，将第3节模型参数带入式(14)，分别画出p、q、r通道传递函数波特图见图2～图4。

图2 滚转角速率通道波特图

图3 俯仰角速率通道波特图

图4 偏航角速率通道波特图

由图2～4可知，3个通道闭环系统稳定，并且可以直接得到估计的保守时间余度分别为τ1=τ2=0.00 142s，τ3=0.00 056s。说明L1自适应控制器在快速自适应的同时保证了系统的时间延迟余度，因此也保证了系统的鲁棒性。

4 仿真结果与分析

根据以上控制器设计，在系统初始姿态和角速率状态为零的条件下，输入幅值5°、周期为10s的方波信号作为目标姿态角指令进行仿真验证，仿真曲线如图5所示。

图5 L1自适应控制器性能

由图5可知，在方波信号的姿态角指令输入下，通过设计PID角度控制和基于投影算子的L1自适应控制器，四旋翼无人机的角度输出在不确定非线性存在的情况下，能够快速跟踪到输入姿态角，调节时间为1.2s，并且无超调量和稳态误差。在快速自适应的同时，姿态控制量U2、U3、U4没有出现高频振荡。

为了验证系统的鲁棒性，根据第3节算出的时间延迟余度，分别在滚转、俯仰、偏航通道的控制量中加入15 ms、10 ms、5 ms的时间延迟，仿真结果如图6所示。

图6 三通道时间延迟分别为15 ms、10 ms、5 ms条件下L1自适应控制器性能

由图6可知，在控制量延迟的情况下系统的跟踪速度稍微变慢，调节时间为1.5 s，无超调，无稳态误差，角速率变化在实际范围内，控制量无高频振荡。以上仿真结果综合说明了所设计L1自适应控制器在快速自适应满足动态性能的条件下可以保持良好的鲁棒性以抵抗外界干扰。

5 结论

本文针对“X”型四旋翼的角度控制问题，提出PID控制与基于投影算子自适应律的L1自适应控制相结合的控制结构，重点阐述了L1自适应控制的结构，设计过程，鲁棒性以及稳定性分析，将非线性模型等效转化成线性模型来设计常规状态观测器，提出估计未知参数范围的方法，并通过系统波特图具体说明了系统保守的鲁棒性能估计和抵抗外界干扰的能力。通过采用投影算子自适应律保证了参数估计的范围，并且在低通滤波器带宽范围内补偿不确定干扰。通过添加周期性方波输入信号和在滚转、俯仰、偏航控制通道中加入时间延迟条件下进行仿真，仿真结果说明了L1自适应控制结构的优点，即在模型中存在非线性和外界干扰的情况下，控制结构既能通过快速自适应满足系统动态性能和稳态精度，又能保证系统良好的鲁棒性，因此本文所设计的基于L1自适应控制的四旋翼无人机姿态控制方法能保证无人机的稳定性和抗干扰能力，具有很好的实际应用价值。

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