基于组合积分过程的自适应控制算法研究

郭鸿宇，任正云，陈安钢

(东华大学 信息科学与技术学院，上海 201620)

0 引言

现代流程工业中, 许多工业过程对象可以表示为多个不同时滞积分过程的组合, 关于这类系统的控制器设计研究也较为普遍，许多学者针对这类过程的研究做了大量的工作，但普遍的设计思路仍为将这类过程近似为普通的一阶时滞过程，虽然简化了控制器的设计过程，但控制效果却不能达到较为理想的结果。2008年，任正云教授根据其多年行业经验带领其课题组首先提出了组合积分系统这一概念，他将传递函数由两个或多个积分时滞对象组成的被控系统定义为组合积分系统，并将这类系统从一般的低阶时滞系统控制器设计思路中剥离出来重新设计控制器，取得了很好的控制效果。但是关于这类控制器的设计仍停留在传统的手动调节控制范畴，而工业过程对象参数往往是随着周围环境温湿度的影响而缓慢变化的，控制过程仍需要人工干预。所以，对于组合积分系统，一类能智能适应被控对象参数变化的自适应控制器的设计尤为必要。

1 组合积分系统

1.1 组合积分系统的定义

任正云课题组将具有如下特征的一类开环稳定对象定义为组合积分对象[1]：

(1)

其传递函数一般由两个或多个积分时滞对象组成，式(1)中Gi(s)为不含积分环节的稳定多项式，式子k/s(1-e-τs)是包含在组合积分系统中的稳定系统[2]。在实际工业生产过程中，存在5种典型组合积分对象，它们的传递函数模型[3]通常如下所示：

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

组合积分系统开环响应曲线如图1所示。

图1 5种组合积分过程的开环响应曲线

对于组合积分系统中的每一项，都含有环节k/s(1-e-τs),从而保证了组合积分对象在本质上是一种开环稳定系统，所以开环的组合积分系统输出具有匀速无超调上升的特点，本身也非常适合作为期望的闭环传递函数，故根据组合积分对象这一特性可以设计出控制效果更为理想的组合积分控制器[3]。

2 组合积分自适应控制器设计

2.1 控制器结构

组合积分自适应控制器采用自校正自适应控制系统结构，通过对被控对象的在线递推估计辨识，得到过程参数，并利用模型参数以及组合积分控制器设计原理设计自适应组合积分控制器结构，并通过此控制作用对被控对象再辨识，对控制器参数再整定，最终达到预期的控制性能指标。组合积分自适应控制器主要由3个独立功能的单元组成：参数辨识单元、参数设计单元以及组合积分控制器单元，结构如图2所示。系统运行过程中，参数辨识单元首先将模型辨识结果传送给参数设计环节，参数设计环节对这些数据进一步优化处理，并将其转换为组合积分控制器可接受的参数形式，最终由组合积分控制器单元实现模型的自适应控制。

图2 组合积分自适应控制器结构

2.2 系统辨识单元

2.2.1 相关分析环节

相关分析法是目前工业过程中普遍受到重视的一种系统辨识方法，通常采用伪随机二进制序列作为被辨识系统的输入信号，然后根据输入输出数据的自相关函数和互相关函数即可推导出辨识对象的脉冲响应函数，其主要原理如图3所示[4]。相关分析法不仅具有极强的抑制噪声能力，而且可以满足在线辨识的要求。本研究利用相关分析法中输入输出数据的延迟对相关函数的影响这一原理，辨识出了被辨识系统的延时估计，达到了预期辨识效果。

图3 相关分析法在线辨识原理框图

首先，根据脉冲响应在M序列一个周期内基本衰减为零的准则，并由WinenerHopf方程的离散形式可得系统输入输出的互相关函数为：

(7)

其次，由设计准则得M序列自相关函数为：

(8)

式中，amp为M序列幅值。

将式(8)代入式(7)可得系统脉冲响应估计值为：

(9)

因此，通过计算输入输出数据的互相关函数，就能够通过式(9)求出脉冲响应的估计值，并得到脉冲响应的估计误差，然后通过脉冲响应的估计值并结合组合积分系统的过程特点即可估计出系统的滞后时间常数τ1、τ2。

本研究首先生成循环周期为Np=26-1的M序列，初始状态向量为[ 0 0 0 1 0 1 1],M序列发生器的Simulink模块如图4所示[5]。

图4 M序列发生器

生成的M序列如图5所示。

图5 M序列波形曲线

其次，利用乘同余法生成U[0,1]均匀分布的随机数，并进一步产生标准差为0.1的正态分布白噪声序列，如图6所示。

图6 标准差为0.1的白噪声序列

若将式(2)～(6)对应的组合积分对象依次称为过程1、过程2、过程3、过程4、过程5，则对应过程2依次取模型参数为τ1=20 s、τ2=30 s、k=3，搭建Simunlink仿真模型如图7所示。

图7 相关分析法组合积分对象模型

由组合积分对象模型可得系统输入输出响应如图8所示。

图8 组合积分对象模型输入输出响应

可加干扰为标准差σv分别等于0，0.1，0.5的白噪声序列，则相关性分析法所得脉冲响应估计值和理论值结果如图9所示。

图9 过程2脉冲响应估计值与理论值

标准差分别为0，0.1，0.5时过程2脉冲响应误差曲线如图10所示。

图10 过程2脉冲响应误差曲线

根据图9、图10可得白噪声标准差分别取0、0.1、0.5的情况下过程2的估计误差标准差分别为：2.69-15、0.0957、0.5080。

根据过程2可得组合积分对象传递函数的拉普拉斯反变换如式(10)所示：

(10)

同理可得过程4的相关性分析法所得脉冲响应估计值和理论值结果如图11所示。

图11 过程4脉冲响应估计值与理论值

标准差分别为0，0.1，0.5时过程4脉冲响应误差曲线如图12所示。

图12 过程4脉冲响应误差曲线

根据过程4可得组合积分对象传递函数的拉普拉斯反变换如式(11)所示：

(11)

根据图11和图12可得白噪声取0、0.1、0.5的情况下过程4的估计误差标准差分别为：0.0392、0.1154、0.5080。

通过图10和图12可以看出，在可加白噪声标准差分别取值0，0.1的情况下，利用相关性分析法得到的脉冲响应估计值与理论值误差较小，进一步证实了相关性分析法辨识模型的正确性。

由此，根据相关分析法得到的时域脉冲响应估计值并通过简单的模式识别算法即可较为精确的辨识出组合积分过程的滞后参数τ1、τ2,接着需要利用带遗忘因子的最小二乘算法进行进一步辨识，而对于过程5的相关性分析辨识还需要另外的滤波环节、数据处理与模式识别算法，将在未来的研究工作中给出。由于过程2包含过程1、过程4包含过程3，所以本辨识算法适用于常见的5种组合积分过程，且辨识结果满足预期误差范围。

2.2.2 最小二乘环节

在参数时变系统的辨识过程中，带遗忘因子的递推最小二乘算法不仅收敛快速，而且可以实时在线估计参数，针对参数时变带来的“数据饱和”现象也有较好的抑制作用，所以本研究采用带遗忘因子的递推最小二乘算法对组合积分对象模型参数进一步辨识[6]。

考虑如下差分形式参数模型：

y(k)=-a1y(k-1)…-anay(k-na)+

b0u(k-d)+…+bnbu(k-d-nb)+ξ(k)=

φT(k)θ+ζ(k)

(12)

其中：na、nb、d为结构参数，ξ(k)为白噪声序列，{y(k),u(k),k=1,2,…,L}为观测输入、输出数据。

数据向量φ(k)为：

(13)

待估参数θ为：

θ=[a1,…,ana,b0,…,bnb]T∈R(na+nb+1)×1

(14)

性能指标J(目标函数)[6]为:

(15)

其中：λ为遗忘因子(0<λ≤1),采用指数遗忘法。

综上可得带遗忘因子的递推最小二乘参数估计公式如下[6]：

(16)

(17)

(18)

对于过程2，首先利用零阶保持器法对其进行离散化，其中零阶保持器的传递函数如式(19)所示：

(19)

其中：T0为采样周期，则广义对象的传递函数如式(20)所示：

(20)

Z变换后结果如式(21)所示：

(21)

再进行反变换得到对象差分形式如式(22)所示:

(22)

其中：令a1=-1,b1=kT/τ1,b2=-kT/τ1,则差分方程如式(23)所示：

(23)

对式(23)差分方程形式进行递推最小二乘在线辨识，结果如图13所示。

图13 过程2的递推最小二乘辨识结果

其中，在辨识过程中改变差分方程系数的数值，辨识结果显示，递推最小二乘辨识算法对于此类系统有很好的辨识与跟踪特性。

进一步利用两次辨识结果可辨识出过程2组合积分系统的增益K。

同理，对于过程4可求得其零阶保持器法z变换形式如式(24)所示：

(24)

其中：

(25)

差分方程形式为式(26)：

(26)

差分方程验证结果如图14所示。

图14 过程4的差分方程验证结果

由图14可知过程4的差分方程递推公式正确，且可以很好地描述过程零阶保持器离散化响应。

根据过程4的差分方程递推形式，利用递推最小二乘算法对其进行在线辨识，同理可得辨识结果如图15所示。

图15 过程4的递推最小二乘辨识结果

由图13与图15可知最小二乘算法在此类系统的在线辨识过程中有很好的效果，可先通过相关分析法辨识出模型滞后参数τ1、τ2，进一步通过递推最小二乘在线辨识可辨识出模型参数k、T等其他项系数。由于对于组合积分系统的辨识过程同时采用了两种辨识方法，而其中递推最小二乘算法的参数辨识以相关性分析辨识算法得到的延时参数结果为前提，所以二次辨识再加之有色噪声的干扰，使得辨识结果产生一定偏差，为了纠正这种偏差，需要对辨识结果进行进一步寻优，才能保证以模型参数准确性为前提的组合积分控制器的控制效果达到预期的控制精度。所以，本文在参数设计单元中增加了PSO优化算法对辨识结果进行进一步的寻优，以保证模型辨识结果的精确性。

3 参数设计单元

参数设计单元主要由参数转换算法与PSO寻优算法组成，其中，参数转换算法负责参数辨识单元结果向控制器参数的转换，PSO寻优算法负责对辨识所得参数进一步精确化处理，使得辨识结果符合期望误差率，进一步增强组合积分自适应控制器的控制效果。

3.1 参数转换算法

参数转换算法主要为将最小二乘辨识结果转换为模型参数的算法，通过模型差分方程的系数公式，可逆推出被辨识系统的模型系数。对于过程2可由公式(27)推出：

(27)

对于过程4可由式(28)、式(29)推出：

(28)

(29)

通过参数转换算法所得结果与专家经验法相结合，可直接确定出PSO优化算法的搜索范围，大大节省了优化算法的时间与空间开支，进一步保证了组合积分自适应控制系统的精确度。

3.2 PSO优化算法

PSO优化算法是一种新型演化计算方法，通过对社会模型进行模拟，用粒子表示解空间的解，并通过粒子间相互作用，使个体向目标区域移动，从而发现搜索空间的最优区域[7]。

设在N维空间中有m个粒子，每个粒子的坐标为xi=(xi1,xi2,…xiN),i=1,2,…m,每个粒子的运动速度为vi=(vi1,vi2,…viN)，各个粒子的初始适应值为f(xi)，第i个粒子搜索到的最优位置为pi=(pi1,pi2,…piN)，整个种群搜索到的最优位置为pg=(pg1,pg2,…pgN)。

则粒子速度更新计算公式为[8]：

(30)

粒子位置更新计算公式为[8]：

(31)

其中：k=1,2…G，G为最大进化代数，k表示当前进化代数；i=1,2，…，Size，Size为粒子组成的种群规模大小；BestS为整个种群目前的最优解；r1和r2为[0,1]之间的随机数；c1、c2为局部与全局学习因子，w为惯性权重函数。

PSO算法首先初始化为一群随机粒子，通过跟踪“个体极值”与“全局极值”来不断更新自己的位置，每个粒子通过对自己运动方向和距离的不断调整，追随当前最优粒子在解空间中搜索，最终通过不断迭代找到模型最优解[7]。

对于过程2的模型辨识结果，送入参数设计单元，通过PSO优化算法对过程参数进行寻优。首先，采用十进制浮点制实数编码，将待寻优初步辨识结果的参数向量记为x,并确定参数向量维数为CodeL=3，确定参数搜索范围为Xmin=[1 10 20]、Xmax=[5 30 40] (可根据专家经验法确定参数搜索范围)，种群规模为Size=80，最大迭代次数为G=40,粒子运动速度范围为Vmin=-1、Vmax=1，惯性权重范围为Wmin=0.10、Wmax=0.90，学习因子为c1=1.3、c2=1.7。其次，惯性权重采用线性递减的策略，由0.90递减为0.10；目标函数为辨识误差指标(越小越好)，并将其倒数作为PSO的适应度函数。然后，根据式(30)和式(31)对粒子速度和位置进行更新，并分别检查是否越界，获得新种群。最终，利用PSO算法得到最佳目标函数值如图16所示。

图16 过程2 PSO算法最佳目标函数值变化曲线

4 控制器设计单元

考虑单位负反馈系统，如图17所示。

图17 负反馈结构图

Gc(s)和Gp(s)分别为控制器和被控对象的传递函数，则该系统闭环传函为：

(32)

假设已知组合积分对象的传递函数为：

(33)

由式(32)可得控制器的传递函数为：

(34)

由于开环的组合积分系统输出具有匀速无超调上升的特点，可将整个闭环系统传递函数设计为具有和开环系统相同的结构，依此可设计具有更好控制特性的组合积分控制器。

根据以上准则，并根据式(34)推得期望的传递函数为：

(35)

式(33)、(35)代入(34)可得控制器的传递函数：

(36)

化简得：

(37)

根据组合积分控制器的设计思路，并结合系统自适应机构可以得到具有很好控制效果的组合积分自适应控制器。

由此得本文中5种组合积分对象的组合积分控制器设计依次如下：

(38)

(39)

(40)

(42)

控制效果如图18所示。

图18 5种组合积分控制器的控制效果

5 结论

本文以组合积分控制器设计思想为核心，并利用相关性分析算法、递推最小二乘算法、PSO寻优算法等进行了模型辨识与控制器参数设计，首次实现了针对组合积分系统的自适应控制，并且该组合积分自适应控制器可以推广到类似的时滞系统自适应控制过程中，进一步改善了此类系统的自适应控制性能。最后，本研究通过系统仿真进一步证明了该自适应控制算法具有较好的非线性跟踪能力与辨识效果，在性能上增强了组合积分系统的抗干扰能力与鲁棒性。因此，组合积分自适应控制系统的研究对于相关时滞系统的自适应控制有着广泛的应用价值与深刻的理论意义。

[1] 任正云,郑 达. 流程工业的组合积分系统及其先进控制[J]. 控制理论与应用,2009(9):1009-1013.

[2] 李 娜. 基于组合积分系统先进滤波算法理论研究与应用[D].上海：东华大学,2015.

[3] 郑 达. 组合积分系统的控制理论与应用研究[D].上海：东华大学,2009.

[4] 王燕平,陈昕志. 利用相关分析法辨识系统脉冲响应[J]. 郑州工业高等专科学校学报,2003(2):1-2.

[5] 冀征难. 基于相关分析法的系统辨识算法对比及仿真[J]. 电脑知识与技术,2016(9):253-254.

[6] 庞中华，崔 红. 系统辨识与自适应控制MATLAB仿真[M]. 北京:北京航空航天大学出版社，2009.

[7] 徐志成. 基于粒子群优化算法的过程模型辨识[J]. 电力自动化设备,2007(9):75-78.

[8]ShiYH,EberhartRC,Amodifiedparticleswarmoptimizer[A].IEEEInternationalConferenceonEvolutionaryComputationProceeding[C].1997:70-71.