奇兵出“斜”谷解运算之围—例谈圆锥曲线中基本量代换

广东省中山市桂山中学(528463)刘丹峰 宋亮

直线与圆锥曲线是高考解析几何中的核心内容.其本质方法是构建平面直角坐标系,将点线间的位置关系转化成坐标间的数量关系,进而利用代数知识去解决问题.所以解析几何是代数知识与几何知识的重要结合点,也是渗透数形结合以及化归等思想的重要依托.

一、问题呈现

对于大多数直线与圆锥曲线相交问题,通常的解题思路如下:

1.先联立直线方程与曲线方程,消元得到一个一元二次方程;

2.利用根与系数的关系得到x1+x2,x1x2;

3.利用题中所给和所求转换成坐标之间关系,代换成x1+x2,x1x2;

4.最后通过构建函数或者找出等量关系进行求解.

直线与圆锥曲线问题中,设而不求思想运用的关键点就在于把x1+x2,x1x2当作是一个桥梁,将题中已知条件和题中所求均转化成与x1+x2,x1x2相关的.那么x1+x2,x1x2就可以看作是题中的一个最基本的量,用其来表示其它的未知量,从而达到解题目的.然而,上述方法需要做多次等价代换,使得题目的运算量大大的增多.那么是否能够找到一个新的基本量来替代传统的x1+x2,x1x2?如果能,那么这样的基本量如何确定?什么样的题目适合用构造新的基本量的方法?新的基本量构造相比传统方法而言又是怎样来简化计算的呢?接下来笔者将通过两道高考题来一一解答这些问题.

(1)求C的方程;

(2)设直线l不经过P2点且与C相交于A,B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为-1,证明:l过定点.

解析(1)过程略,易得椭圆C的方程为

(2)设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1,k2.

得t=2,不符合题意.

当直线l斜率存在,设l:y=kx+m,联立得(4k2+1)x2+8kmx+4m2-4=0.由题可知Δ=16(4k2-m2+1)＞0.设A(x1,y1),B(x2,y2),由根与系数的关系可知

二、优化解法

传统的常规思路中,先联立直线方程和椭圆方程消元后得到关于x的一元二次方程,利用根与系数的关系得到x1+x2,x1x2与k,m的关系,然后结合直线方程和斜率公式将k1+k2变换成一个关于x1+x2和x1x2的代数式,再带入化简求得k和m的关系,从而求出直线l所过的定点.上述方法是以x1+x2,x1x2为基本量,将题中的关系全部转化成能用x1+x2,x1x2来表示的代数式,进而代入求解.显然,该方法运算量较大,需要进行多次的代入和变换.那么能否找到一个基本量来替代x1+x2,x1x2从而简化运算呢?

笔者发现,题中所给的k1,k2用斜率公式代入后为其在形式和结构上是完全相同的.若引入一个新的变量t,令不妨记则依题意可得t1+t2=-1,那么只需构造出一个关于t的一元二次方程即可解决本题.下面将给出详细解析.

解析(2)直线l斜率不存在情况同上;

不难发现,上述方法通过构造一个新的变量,使得整道题只需解一个二元一次方程组,再代入椭圆方程即可求解,从而极大的简化基本量的变换的过程和运算量.相当于是用t1,t2来代换x1,x2作为基本量来构建等量关系,从而解决问题.而新的基本量的引入,其核心关键在与题中所给直线P2A与直线P2B的斜率在形式结构上完全一致.换而言之,只要题中能够找到在结构上统一的关系式,就可以考虑引入一个新的基本量,从而与已知直线结合,先解一个二元一次方程组,再代入曲线方程求解.接下来以2013年高考数学江西卷为例对该方法适用的本质条件进行进一步的说明.

三、解法再应用

例2(2013年高考数学江西卷卷第21题)如图,椭圆经过点离心率直线l的方程为x=4.

(1)求椭圆C的方程;

(2)AB是经过右焦点F的任一弦(不经过点P),设直线AB与直线l相交于点M,记PA,PB,PM的斜率分别为k1,k2,k3,问:是否存在常数λ,使得k1+k2=λk3?若存在,求λ的值;若不存在,说明理由.

思路探索(1)易得椭圆C的方程为

四、总结反思

代换基本量的方法核心在于,从题中所给条件或者是所求结论出发,构造出直线与曲线交点坐标满足的一次关系式,再结合交点又同时满足直线方程和曲线方程.先联立两个一次方程解一个二元一次方程组,从而将基本量替换,进而代入曲线方程求解.其关键点和难点都在于如何通过审题来找到两个交点坐标均满足的一个形式结构上都完全相同的关系式.显然交点与定点的连线斜率的问题是比较好构造的.

纵观这两道高考题分析求解的过程,在解决直线与圆锥曲线的问题中,选定一个适合的基本量的确能够简化代换过程和减少运算量.上述方法在解决直线与曲线的交点和定点连线的斜率问题是比较简单的.然而相对于常规基本量x1+x2,x1x2而言,该方法在通性上不如后者,该方法要想推广成通法,还有很多问题有待解决.