全国卷不等式选讲双绝对值问题及其解法

湖北省阳新县高级中学(435200)邹生书

由中华人民共和国教育部主管,教育部考试中心主办的《中国考试》杂志,近期密集发布了关于高考内容改革的一系列研究成果.其中指出改革后的《数学考试大纲》中不再分文理科的考试要求,不再设置选考内容,所有内容为必考内容,将现行《考试大纲》选考内容的“不等式选讲”列为必考内容,其他两部分内容“几何证明选讲”和“坐标系与参数方程”不再列为考试内容.在发布的2018年全国统一考试数学考试大纲中明确指出文理科选考内容为:(一)坐标系与参数方程;(二)不等式选讲.其中关于绝对值不等式提出了如下考试要求:1、理解绝对值的几何意义,并能利用绝对值的几何意义证明以下不等式:(1)|a+b|≤|a|+|b|;(2)|a-b|≤|a-c|+|c-b|.2、会用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式:|ax+b|≤c,|ax+b|≥c,|x-a|+|x-b|≥c.

纵观近几年全国高考数学新课标卷选修4-5不等式选讲的考题,我们发现题目主要以双绝对值函数为背景命题,设置两问,每小问5分总计10分.第1问主要考查双绝对值不等式的解法,也有年份考查双绝对值不等式的证明,或求双绝对值函数的最值,或画双绝对值函数的图象.第2问设问灵巧形式多样,主要以含参绝对值不等式恒成立或恒有解为条件,求参数的取值范围,主要考查阅读理解能力和化归转化等多种数学思想方法.下面以近几年全国卷和模拟考试中的试题为例,对双绝对值问题的命题形式和题型分类及其解法,试图进行较为全面的解读,同时提出这部分内容的复习备考建议,希望对广大高中师生有所帮助.

1、解不等式

例1 (2017年高考全国III卷文理第23题)已知:函数f(x)=|x+1|-|x-2|.

(1)求不等式f(x)≥1的解集;

(2)若不等式f(x)≥x2-x+m的解集非空,求m的取值范围.

解(1)方法1(用零点分区间法对自变量进行分类讨论求解)f(x)≥1即|x+1|-|x-2|≥1.当x＜-1时,不等式为-(x+1)+(x-2)≥1,即-3≥1,不成立,无解;当-1≤x≤2时,不等式为x+1+(x-2)≥1,即x≥1,又-1≤x≤2,所以1≤x≤2;当x＞2时,不等式为x+1-(x-2)≥1,即3≥1,恒成立,所以x＞2.

综上x≥1,故不等式f(x)≥1的解集为[1,+∞).

方法3 (先用|x|≥a⇔x≥a或x≤-a,再用|x|≤a⇔-a≤x≤a求解)f(x)≥1即|x+1|-|x-2|≥1,等价于|x+1|≥|x-2|+1,等价于x+1≥|x-2|+1或x+1≤-|x-2|-1,等价于|x-2|≤x或|x-2|≤-x-2,等价于或等价于等价于x≥1或x∈∅,所以x≥1,故不等式f(x)≥1的解集为[1,+∞).

图1

方法4 (用绝对值的几何意义求解)f(x)≥1即|x+1|-|x-2|≥1.如图1,数轴上点A,B,C,P所对应的数分别为-1,2,1,x,由绝对值的几何意义知|x+1|=PA,|x-2|=PB,则不等式|x+1|-|x-2|≥1为PA-PB≥1.不等式的解集的几何意义就是数轴上到点A的距离比到点B的距离大于或等于1的动点P的集合.由图知当点P与点C重合时PA-PB=1,当且仅当点P在点C的右侧时PA-PB＞1,故满足PA-PB≥1的点P的集合是射线CB,即x≥1,故不等式f(x)≥1的解集为[1,+∞).

方法5 (用函数图象求解)函数f(x)=|x+1|-|x-2|的图象是由两条射线和一条线段连接而成的图形,且点(-1,-3),(2,3)为线段端点.列表如下:

x ···-2-1 2 3···y=f(x)···-3-3 3 3···

描点、连线画出函数y=f(x)的图象如图2所示.又f(1)=1,由图知当且仅当x≥1时,f(x)≥1,故不等式f(x)≥1的解集为[1,+∞).

图2

评注本题五种解法基本囊括了双绝对值不等式的所有解法,其中用零点分区间法对自变量进行分类讨论求解,实际上就是根据绝对值的代数意义去掉绝对求解,这是解绝对值不等式的基本方法,易错点是容易忽视分类条件而发生运算错误.

用等价不等式|x|≤a⇔-a≤x≤a和|x|≥a⇔x≥a或x≤-a求解,需要整体思想和模型意识方能化归求解,该解法按部就班便于操作.用绝对值的几何意义求解,借助实数与数轴上的点的一一对应关系,将代数不等式转化为几何不等式,然后利用几何直观动中寻静以定制动,将不等转化相等然后用相等解决不等从而求出解集.用函数图象解不等式方法直观,是解不等式的基本方法,画图象主要抓往关键点,正余弦曲线有五点画法,直线两点画法,抛物线三点画法,双绝对值不等式就是四点画法,因为它的图象是一条线段和两条射线连接而成的图形,这四个关键点分别是:线段两端点,分别在两射线上的两个点,这四个点的横坐标分别是零点分区间法的两个零点和分别两个开区间上的实数.

2、画函数图象

例2 (2016年高考全国卷I理科第24题)已知函数f(x)=|x+1|-|2x-3|.

(1)画出y=f(x)的图象;

(2)求不等式|f(x)|＞1的解集.

图3

解(1)y=f(x)的图象是由两条射线和一条线段连接而成的图形,具体四点画法如下:列表、描点、连线得图象如图3所示.

x ···-2-1 1.5 3···y=f(x)···-3-3 2.5 1···

评注本题两问关系密切,第2问可用第1问所画出的函数图象来解决,这实际上也是出题者的命题意图,解法如下:

(2)|f(x)|＞1⇔f(x)＞1或f(x)＜-1.因为f(1)=f(3)=1,f(5)=-1,当-1≤x≤1.5时,f(x)=3x-2,令f(x)=-1得由图象知|f(x)|＞1的解集为

3、证明不等式或求最值

例3 (2014年高考全国卷II理科第24题)设函数

(1)证明f(x)≥2;

(2)若f(3)＜5,求a的取值范围.

例4 (黄石市2018届高三年级9月调研考试理科第23题)设函数f(x)=|x-1|+2|x+1|(x∈R),若不等式f(x)≥m对∀x∈R恒成立.

(1)求实数m的取值集合A;

(2)记集合A中的最大值为M,若正数a,b,c满足ab+bc+ca=M,求a+b+c的最小值.

解(1)不等式f(x)≥m对∀x∈R恒成立,则m≤f(x)min.由绝对值不等式得f(x)=|x-1|+2|x+1|≥|x-1|+|x+1|≥|(x-1)-(x+1)|=2,当且仅当x=-1时等号成立,所以f(x)min=f(-1)=2,于是m≤2,故实数m的取值集合A=(-∞,2].

评注证明双绝对值不等式或求最值主要有两种方法,其一是用图象法求解,解法直观但要事先画图象;其二是用绝对值三角不等式|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|求解,解题时要注意说明等号能成立.

4、求参数取值范围

例5 (2017年高考全国卷I文理第23题)已知函数f(x)=-x2+ax+4,g(x)=|x+1|+|x-1|.

(1)当a=1时,求不等式f(x)≥g(x)的解集;

(2)若不等式f(x)≥g(x)的解集包含[-1,1],求a的取值范围.

解(1)略.(2)f(x)≥g(x)的解集包含[-1,1],等价于当x∈[-1,1]时f(x)≥g(x)恒成立,又当x∈[-1,1]时,g(x)=2,所以f(x)≥2恒成立,则f(x)min≥2.因为抛物线y=f(x)开口向下,所以f(x)在[-1,1]的最小值是f(-1)或f(1),所以解得-1≤a≤1.故a的取值范围为[-1,1].

评注第2问题重点考查阅读理解能力和化归转化思想,关键是将“不等式f(x)≥g(x)的解集包含[-1,1]”,等价转化为“当x∈[-1,1]时f(x)≥2恒成立”,最后转化为最值问题求解.

例6(2016年高考全国III卷理科第24题)已知:函数f(x)=|2x-a|+a.

(1)当a=2时,求不等式f(x)≤6的解集;

(2)设函数g(x)=|2x-1|,当x∈R时,f(x)+g(x)≥3,求a取值范围.

解(2)当x∈R时,f(x)+g(x)≥3,即|2x-a|+a+|2x-1|≥3,设h(x)=|2x-a|+a+|2x-1|,则h(x)≥3,从而h(x)min≥3.又h(x)=|2x-a|+a+|2x-1|≥|(2x-a)-(2x-1)|+a=|a-1|+a,所以h(x)min=|a-1|+a,所以|a-1|+a≥3,解得a≥2,故a取值范围是[2,+∞).

评注第2问先将恒立问题转化为最小值问题,再用绝对值不等式求最小值,然后解绝对值不等式求范围.

例7 (2013年高考全国卷I理科第24题)已知函数f(x)=|2x-1|+|2x+a|,g(x)=x+3.

(1)当a=2时,求不等式f(x)＜g(x)的解集;

评注先根据自变量的取值范围确定绝对值内的符号去掉绝对值,然后将不等式恒成立问题转化为最值问题求解.

例8 (2015年高考全国卷I理科第24题)已知:函数f(x)=|x+1|-2|x-a|,a＞0.

(1)当a=1时,求不等式f(x)＞1的解集;

(2)若函数f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6,求a的取值范围.

解(2)方法1由题设知,当x＜-1时,f(x)=-(x+1)+2(x-a)=x-2a-1单调递增,所以f(x)＜f(-1)=-2a-2＜0,图象与x轴无交点.当-1≤x≤a时,f(x)=x+1+2(x-a)=3x-2a+1单调递增,而f(a)=a+1＞0,f(-1)=-2a-2＜0,由零点存在性定理知图象与x轴有交点其坐标为当x＞a时,f(x)=x+1-2(x-a)=-x+a+1单调递减,图象与x轴有交点其坐标为B(2a+1,0).

综上可知f(x)max=f(a)=|a+1|=a+1,所以图象最高点的坐标为C(a,a+1),于是函数f(x)的图象与x轴围成的△ABC的面积为依题意得解得a＞2,故a的取值范围是(2,+∞).

方法2 令f(x)=0得|x+1|=2|x-a|,两边平方整理得3x2-(8a+2)x+4a2-1=0,即[x-(2a+1)][3x-(2a-1)]=0,所以函数f(x)的图象与x轴有两个交点,其坐标分别为而a＞0,所以f(x)≤a+1,当且仅当x=a时等号成立,故三角形的另一个顶点坐标为C(a,a+1).下同方法1,略.

评注第2问关键是求出三角形三个顶点的坐标,其中两点显然是函数f(x)的图象与x轴的交点,方法1用零点分区间结合图象求交点坐标,用函数单调性求最大值得出最高点即另一顶点的坐标.方法2是用方程思想求出函数f(x)的图象与x轴的两个交点坐标,用绝对值三角不等式求出函数最大值继而求出另一点的坐标.

例9 (前面例1第2问)

解(2)方法1 (分离参数法)不等式f(x)≥x2-x+m即|x+1|-|x-2|≥x2-x+m,分离参数得m≤|x+1|-|x-2|-x2+x,设h(x)=|x+1|-|x-2|-x2+x,则m≤h(x).不等式f(x)≥x2-x+m解集不空即有解,等价于不等式m≤h(x)有解,则m≤h(x)max.

(i)当x＜-1时,h(x)=-x2+x-1单调递增,所以h(x)＜h(-1)=-3.

(iii)当x＞2时,h(x)=-x2+x+3单调递减,所以h(x)＜h(2)=1.

方法2 (函数图象法)设g(x)=x2-x+m,在同一坐标系内画出函数y=f(x)和y=g(x)的图象如图5所示.易求得直线AB的方程为y=2x-1,代入y=x2-x+m得x2-3x+m+1=0.当抛物线y=g(x)与直线相切时,Δ=9-4(m+1)=0得由图知当且仅当时,抛物线y=g(x)有部分在函数y=f(x)图象下方,即f(x)≥g(x)有解,故若不等式f(x)≥x2-x+m的解集非空,则m的取值范围是

图5

评注分离参数法和函数图象法是处理含参不等式恒成立或恒有解问题的基本方法.方法1分离参数后将问题转化为最值问题,接着用分段函数求函数值域,从而求出参数取值范围.方法2首先画出两个函数的图象,其中一个是静态的直线型,另一个是对称轴确定的动态抛物线,求出相切时参数的值,再根据两个图象的位置关系求出参数的取值范围.