谈毕达哥拉斯学派“数”理音乐思想

管菲菲

摘 要：毕达哥拉斯是古希腊时期著名的哲学家、数学家和音乐理论家，以他的思想为中心形成了“毕达哥拉斯学派”。在音乐方面，毕达哥拉斯学派认为“音乐是数字，而宇宙是音乐”，这种关于“音乐与数学”的观点一直影响着西方音乐的发展。本文将对毕达哥拉斯学派重要人物的“数”理音乐思想进行介绍，再结合现代音乐作品简析“数”理音乐思想对音乐发展的影响。

关键词：毕达哥拉斯学派 数学与音乐 数学比率

早在古希腊时期就有人提出了“数学”音乐思想，这个思想一直影响着西方音乐的发展。无论是在音乐理论方面还是在音乐创作方面，数学与音乐都有着千丝万缕的联系。

一、毕达哥拉斯学派重要代表人物的音乐思想

毕达哥拉斯、菲洛劳斯、阿契塔和柏拉图都是毕达哥拉斯学派的重要代表人物，他们提出“数学与音乐”的观点为西方音乐的发展做出巨大贡献。笔者认为，要想了解毕达哥拉斯学派的音乐思想，应首先了解以下几位代表人物的音乐观点。

1.毕达哥拉斯

毕达哥拉斯不仅是古希腊时期著名的哲学家，他还是西方音乐史上第一位音乐理论家。毕达哥拉斯认为万物的本源是“数”，用数学的原则可以推演一切事物。在音乐方面，他把“数”与音乐联系在一起，提出“数”是音乐的根源，即“音乐是数字”。这种观点是从“数学”的角度对音乐进行思考和研究，使音乐具有了理性的意识，从而开阔音乐领域的视野。毕达哥拉斯在音乐中渗透了“数学”逻辑的精准理念，把音乐和科学联系在一起，超出了音乐感性的审美体验。从毕达格拉斯提出“数学与音乐”的观点开始，西方音乐史上就没有停止过关于“数学与音乐”的研究。

2.菲洛劳斯

菲洛劳斯是古希腊时期的哲学家、天文学家、数学家和音乐家。《自然》是菲洛劳斯最具代表性的作品，也是毕达哥拉斯学派现存的第一本书。菲洛劳斯在《自然》中提到“世界上一切的事物都有数字，没有数字的事物是不可以理解的。” 在音乐理论方面，他用数学的方法描述了三个协和音程的关系。如果一根长度为2X的琴弦和一根长度为X的琴弦同时发声，产生的音响是八度，用数学比率表示为2：1；以此方法推出数学比率为3：2的音响是五度；数学比率为4：3的音响是四度。菲洛劳斯在这三个协和音程的基础上计算出全音的比率是9：8，余数的比率是256：243。

菲洛劳斯认为音阶是有限性和无限性的协和体，无限的、不同音高的音和有限的方式进行结合需要用一个适当的组合形式，而这个适当的组合形式就是“数学比率”。他提出在任何一个音上构成的八度都是由一个四度和一个五度构成，因此可以推算出这个音阶由两个不相同的四音列构成，音与音之间的关系可用数学比率表述为：9：8，9：8，256：243，9：8，9：8，9：8，256：243，这就是著名的古希腊自然音阶。

3.阿契塔

阿契塔是毕达哥拉斯学派的代表人物，他是古希腊时期著名的科学家、音乐家和政治家。阿契塔在数学和音乐理论方面都具有突出的成就，他在数学理论的基础上论证了音程划分比率（n+1）：n是不能被划分成两个均等的部分。如比率关系为2：1的八度可看作（1+1）：1，因此八度不能被划分成两个均等的部分；以此推算四度和五度也不能被分成两个均等部分。而十五度的比率是4：1，因此十五度可以平均划分成两个均等的八度。

阿契塔创造了9：8，8：7，28：27比率关系的四音列结构，通过实践他还进一步研究出等音音阶和半音音阶。阿契塔在前辈研究成果的基础上对“数学与音乐”进行深入的探究， 更加表明了“数学与音乐”具有密不可分的联系。

4.柏拉图

柏拉图是毕达哥拉斯学派的重要人物，他有很多具有重要意义的音乐观点。在尼可麦丘？譹？訛《音乐手册》的第八章和第九章中讲述了“1 2 4 8和1 3 9 27是柏拉图提出对音乐理论研究具有重要意义的两组数字序列。”如果把这两组数字序列合并则变成1 2 3 4 8 9 27，它们可以有規律地表示出音程的比率，即八度（2：1）、五度（3：2）、四度（4：3）、全音（9：8）、1+2+3+4+8+9=27。虽然这两组数字序列在现代音乐发展中没有被广泛应用，但是在古希腊时期这已经是超前的音乐思想。从柏拉图提出的这两组数学序列可以证明音乐和“数学”是有联系的，这种有规律可循的“数学与音乐”思想一直影响着西方音乐理论的发展。

虽然在古希腊时期这种关于“数学与音乐”的思想还不够成熟，但是已经受到音乐家的关注，影响到音乐家的思维。西方音乐创作技术的四大件和声、复调、曲式和配器都是通过长时间的研究、整理和总结得出的具有理性依据的理论体系。数学使音乐创作成为建立在理性基础上的感性产物，它潜移默化地影响了西方音乐创作的研究方向，这对西方音乐的发展的起到至关重要的作用。

二、毕达哥拉斯学派提出的“数”理音乐思想在音乐中的体现

毕达哥拉斯学派提出“音乐是数字，而宇宙是音乐”的观点，启发后人对“音乐与社会科学”进行探究。20世纪著名的音乐理论家保罗.欣德米特认为“数的和谐是音乐美的表现”，在音高、泛音比例、节奏等方面都体现了音乐需要“数”的和谐。数学与音乐的结合已经成为当代作曲家研究、创作的热门课题。以下两点是“数”理音乐思想在音乐中运用的典型实例。

1.“黄金比例”在音乐中的运用

“黄金比例”是一种具有美感、和谐的非对称平衡结构关系，它的分割点被称为“黄金分割点”。“黄金分割点”是指把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比，其比值是无理数，约为0.618。

音乐作品是以声音为基本材料在时间中展开的艺术形式，作品结构高潮的布局要与人们最自然的情绪发展规律相吻合，它需要声音的高低、长短、强弱等要素在数量关系上的和谐统一。通过分析一些经典音乐作品会发现音乐高潮部分一般出现在全曲的四分之三处，而这个四分之三处比较接近“黄金分割点”。

例1是著名的《义勇军进行曲》，全曲共31小节。这首作品的高潮是17—21小节那三声振奋人心、催人向前的“起来”。19小节是17-21小节的中心点，而19/31约为0.613，这个恰好同“黄金分割点”相吻合。用“黄金比例”对音乐结构进行布局使音乐具有理智的控制力，能更好地与人类自然情感相融合。“黄金比例”不仅体现在音乐结构上，在音乐的速度变化、强弱变化等方面都可以用“黄金比例”进行划分。

2.“数字序列”在音乐中的运用

“数字序列”是指在满足一定条件下，对字母、数字、图片进行排序的手法。

无调性音乐是20世纪音乐创作的典型手法，可分为无序列音乐和序列音乐。无调性音乐不是毫无规律、随意创作的，它是具有组织性、逻辑性的创作手法。20世纪的无调性音乐是西方音乐发展的成果，它的产生离不开古希腊罗马时期毕达哥拉斯学派“数”理音乐思想的影响。无调性音乐充分利用数学逻辑思维，使音乐在脱离了调性的同时，仍具有独特的整体性。无调性音乐一般是通过某种新动机循环使用行成一种确定的整体，而这个动机在无调性音乐中有个新词汇-音级集合。音级集合是用数字序列表达音与音之间关系的音乐创作技术，在脱离调性的基础上把音乐高度统一起来。本文主要是通过对音级集合的分析证明“数学和音乐”之间具有一定的联系，例2是一组典型的音级集合。

音级集合是以半音为一个单位，例2最佳常态次序的第一个音C看做0，第二个音#C与第一个音相差一个半音所以记作1，第三个音D与第一个音C相差两个半音记作2，第四个音G与第一个音C相差7个半音记作7。例2中P是指音级集合的原型，而将音级集合原型的音按照数学排列法可排列出24种。P加数字是指与音级集合原型相差几个半音的摸进，一个音级集合原型可以摸进11次。例如P8就是音级集合原型上方8个半音的摸进，即：C-降A，#C-A，D-降B，G-降E。音级集合原型还可以通过倒影、逆行等手法进行发展变化。以此排序法可以排列出很多不同的音级集合，本文只取典型的音级集合进行讲述。

所有经典的音乐都不是凭借一时的感性随意创作，而是经过严密的逻辑思考才能创作。如巴伯的《夜曲》和朱践耳的《第一交响曲》都是通过严密的数学序列得出音级集合，把音级集合做为音乐细胞进行发展创作，这样就可以把音乐统一在一个整体。音级集合是比较典型的音乐与数学的结合，它运用数学序列排列出音列，使音乐的创作在表达情感的同时也不失理性。数学作为音乐创作的根源离不开时代的发展，更离不开历史沉淀的文化基础。古希腊时期的音乐理论发展还很抽象、不够具体，考证资料收集难，但是毕达哥拉斯学派提出的数学音乐思想却为西方音乐发展指明了方向，对现代音乐创作具有启蒙的作用。数学与音乐世界的奇奥与美妙一直是作曲家探究的动力，他们关于“数学与音乐”研究的成果有很多，音级集合只是其中的一点。

三、“数”理音乐思想对音乐发展的重要性

大多数人认为数学与音乐是两门毫不相关的学科，然而进一步探究就会发现二者的关系非常密切。普通的数学原理直接影响音乐的创作和表演，而深奥抽象的数学原理能探究到音乐的本质规律。毕达哥拉斯学派提出的“数学”音乐思想一直影响着西方音乐的发展，他们把音乐与哲学思想有机结合，把音乐与数学有机结合。并赋予音乐与数学鲜活的生命，使音乐成为一门学术性学科。21世纪是创新与发展的时代，音乐作为一门学术性的学科把它与社会科学相结合有利于音乐的创新和发展。和声、曲式、复调、配器、乐理、视唱练耳等都存在数学的逻辑，只有认识到音乐存在的科学规律才能推动时代音乐的发展。

结语

数学是音乐的理性基础，音乐是“数字化”的音乐符号。无论是在古希腊时期还是在21世纪，音乐的发展都离不开“数学”。对“数学”与音乐的研究一直都是热门的课题，所以毕达哥拉斯学派提出的“数”理音乐思想对音乐发展的启蒙作用是不可忽视的。我们应该重视音乐发展的精髓，从中取长补短、扩展思路，并創作出具有研究性和可听性的音乐。

注释：

①尼可麦丘是希腊人，他的生活、写作年代在公元2世纪初，是毕达哥拉斯学派重要的代表人。在音乐理论方面，他的重要著作《音乐手册》共包括了十二章，从欧几里德到托勒密的几百年中唯一幸存下来的关于音乐理论的著作。

②巴伯是美国作曲家，毕业于柯蒂斯音乐学院。

③朱践耳生于1922年，中国作曲家。1985年被选为中国音乐家协会第四届常务理事。

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