高分辨直接定位算法研究

欧阳鑫信

(盲信号处理重点实验室, 四川 成都 610041)

多站无源定位因其在无线通信、声呐、雷达与导航等多种领域的广泛应用，成为近年来的研究热点[1-7]。多站无源定位通常需要两步：第一步估计出与辐射源位置信息相关的参数，如时差(time difference of arrival，TDOA)、频差(frequency difference of arrival，FDOA)、到达方向(direction of arrival，DOA)以及接收信号强度(received signal strength，RSS)；第二步再利用估计的这些参数解算出辐射源的位置。时差估计精度与信号带宽有关，窄带信号的时差估计精度不高[8]。频差只能应用于观测站与辐射源存在相对运动的情况，且精度与相对速度成正比，常应用于卫星信号定位[9]。RSS方法因其精度不高，使用场景非常受限[10]。测向定位的研究与应用有着悠久的历史，从十九世纪末出现第一部测向机开始，测向定位技术得到不断发展，近年来更因空间谱技术的出现得到进一步发展。传统的两步测向定位法已被证明不是最优的，因其无法保证观测一致性，参数估计的误差会迭代到位置估计中。并且在多目标情况下，需要经过数据关联才能对多目标进行定位，否则很难消除虚假定位点。

为解决传统两步法的不足，Weiss等人首先提出了直接定位(direct position determination，DPD)的概念，给出了与两步定位法相区别的直接定位法，并研究了多种情况下的直接定位技术[11～15]。直接定位法直接利用采集数据构造最大似然代价函数，在限定的二维网格中进行二维搜索直接得到目标的位置估计，能够在低信噪比条件下逼近克拉美罗下界(cramer-rao lower bound，CRB)。针对多目标的直接定位，Weiss[12]提出了基于信号子空间的直接定位方法，从仿真结果来看分辨率不高，而分辨率是衡量多目标定位算法的重要因子。Weiss[15]在最大似然直接定位基础上，结合直接定位与最小方差无失真响应(minimum variance distortionless response，MVDR)的概念，提出了基于MVDR的高分辨直接定位方法，但其在最大似然直接定位方法推导过程中，未能给出更简洁的直接定位目标函数，并且运算量较大。

本文在文献[15]的基础上，推导了更简洁的最大似然直接定位方法—常规波束形成(CBF)直接定位方法。并基于此，提出了辐射源数量未知的最小方差(MVM)直接定位方法与辐射源数量已知的MUSIC直接定位方法。蒙特卡罗仿真证明了本文提出的两种高分辨直接定位算法的有效性。

1 信号模型

在实际场景中，目标定位问题一般在三维空间出现，为了分析简便，研究中常以二维场景为例[11-12]，再从二维场景推广到三维场景，本文研究也针对二维场景下多阵列的辐射源定位问题展开。假设L个阵列接收信号，各阵列的阵元数量为M。令辐射源的位置坐标为P=(x0,y0)，则第l个阵列的观测信号模型可描述为

rl(t)=blal(P)s(t-τl(P))+nl(t)， 0≤t≤T

(1)

式(1)中：rl(t)为M×1的观测矢量；bl为未知确定参数，表示辐射源到第l个阵列的复信道衰落因子；al(P)表示第l个阵列对从P发出信号的阵列响应；s(t-τl(P))为信号的波形，传播时延为τl(P)；nl(t)表示观测到的噪声与干扰矢量，为零均值的复高斯白噪声。经过采样后，式(1)重新描述为

rl(j)=blal(P)s(j)+nl(j), 0≤j≤Ns-1

s(j)=s(t-τl(P))|t=jTs

rl(j)=rl(t)|t=jTs

nl(j)=nl(t)|t=jTs

(2)

可以看出，观测信号隐含了辐射源的位置信息。首先是阵列响应al(p)与位置P有关，在远场情况下，al(P)是到达角(angle of arrival，AOA)的函数。其次，时延τl(P)也与位置P有关，反映了辐射源与观测阵列的距离情况。经过离散傅里叶变换(DFT)可得到

(3)

式(3)中，fk表示DFT的第k个频率。

2 CBF直接定位方法

文献[15]提出的最大似然直接定位方法，计算量较大，目标函数的表达形式不够简洁。通过研究，我们提出了以下方法，大大降低了计算量，且表达形式更简洁。

式(3)可以重新描述为

(4)

令

al(p,bl)=blal(p)

(5)

则式(4)可以表述为

(6)

令

b=[b1,…,bL]T

(7)

不失一般性，可以假设||b||=1，则有

(8)

在高斯噪声环境下，最小二乘估计与最大似然估计等价。位置的最小二乘估计可通过最小化以下代价函数得到

(9)

(10)

将上式代入式(9)可得

(11)

因此有

(12)

a(p,b)=A(p)Hb

(13)

H=IL⊗1M

(14)

式(13)中：IL表示L×L的单位阵；1M表示M×1的全1矢量；⊗表示kronecker积；H表示LM×L矩阵。将式(13)代入式(12)可得

(15)

考虑到||b||=1，所以

(16)

可以看出与文献[15]提出的算法相比，我们提出的CBF直接定位算法大大降低了计算量，文献[15]提出的算法中，每个网格点的代价函数需要计算K次三个LM阶矩阵的连乘，我们提出的算法只需要计算一次，且表现形式更简单，能直接给出CBF方法的表现形式。基于式(12)的CBF方法表现形式，我们提出基于MVM和MUSIC高分辨测向直接定位方法。

3 高分辨直接定位方法

3.1 MVM直接定位方法

(17)

其中wopt(p,b)满足

s.t.wH(p,b)a(p,b)=1

(18)

可得wopt(p,b)的解为

(19)

把式(19)代入式(17)，可得MVM测向直接定位如下

(20)

因矩阵为Hermitian矩阵，式(20)也可表示为

(21)

3.2 MUSIC直接定位方法

文献[12]提出的多目标测向直接定位方法是基于信号子空间的，分辨率不高，无法体现基于噪声子空间的MUSIC方法的高分辨性能。在此，将提出基于MUSIC的测向直接定位方法。

根据MUSIC算法的定义，MUSIC算法是以最小优化搜索噪声子空间与阵列流型的正交性。根据MUSIC算法定义，可将式(12)的代价函数改为

b=[b1,…,bL]T

(22)

其中UN为ML×(ML-Q)的噪声子空间矩阵，由R的ML-Q个最小特征值的特征矢量构成。a(P,b)包含了L个未知的复衰减系数与未知的位置信息。F(P,b)的最小值取决于所有的未知参数，因此需要2(L-1)+D维的搜索。为了降低搜索维度，利用式(13)可得

(23)

前文已经假设b的范数为1，对于任意假设的位置P，F(P,b)的最小值对应矩阵D′(p)的最小特征值，即

F(P)=λmin[D′(p)]

(24)

因矩阵为Hermitian阵，因此，可简化为

F(P)=λmax[D′(p)-1]

(25)

很明显，式(25)也只需要一次D维搜索，在二维情况下只需要二维搜索。相比MVM直接定位法，MUSIC直接定位法需要先确定辐射源个数，并且需要协方差矩阵进行特征值分解，运算量较大。

4 仿真分析

为验证提出的直接定位方法的性能，通过仿真在单目标场景下与CRB和传统两步法进行比较。为验证提出的直接定位方法的分辨率，通过仿真在多目标场景下与最大似然直接定位方法进行了比较。仿真场景设置如下：三个观测站坐标分别为[0,-5 km]，[0,0]，[0,5 km]，阵元间距为半波长，信号为10 kbit/s速率的BPSK信号，搜索步进50 m。

仿真1： 单目标直接定位性能对比。信号与场景如上所述，辐射源坐标[30 km,0]，阵元数为5，搜索范围为20 km×20 km的方形区域，快拍数为24，仿真次数100次，仿真结果如图1。其中MUSIC-LSM表示先通过MUSIC测方位角，再利用方位角通过最小二乘方法解算目标位置的两步法。

仿真2： 多目标直接定位分辨率对比。其他场景不变，辐射源数量为2，坐标分别为[30 km,-1.5 km]，[30 km,1.5 km]，信噪比20 dB，搜索范围为10 km×10 km的方形区域，得到的二维谱图如图2。

图1 单目标直接定位性能

仿真3： 多目标直接定位性能对比。将阵元数增加到9，信噪比为0到20 dB，仿真结果如图3所示，其中直接定位谱为20 dB的情况。

从仿真1结果可以看出，在单目标情况下，定位性能最优的是CBF直接定位方法， MUSIC直接定位方法与CBF直接定位方法性能非常接近，在高信噪比下能达到CRB。MUSIC测向两步定位法性能在低信噪比下性能最差，在高信噪比下也能达到CRB。MVM直接定位方法性能则差于其他两种直接定位方法。

仿真2和仿真3结果表明，MUSIC直接定位具有最优的分辨率，在5阵元的情况下能够清晰分辨出相距3 km的二个辐射源。而MVM直接定位法则无法分辨出两个辐射源，CBF直接定位法分辨力最差。在9阵元的情况下，MVM直接定位法能分辨出两个辐射源，但MUSIC直接定位法的分辨率仍优于MVM直接定位法。从图4还可以看出，多目标情况下MUSIC直接定位法的性能也优于MVM直接定位法，但二者性能相差不大。

图2 多目标直接定位谱

图3 多目标直接定位谱

图4 多目标直接定位性能

综合上述仿真可知，CBF直接定位法分辨率差，只适用于单目标的定位。MVM直接定位方法和MUSIC直接定位方法都具有较高的分辨率，可用于多目标定位。其中，后者具有更好的分辨率和定位性能，但需要先判定目标数量并且运算量较大。因此，MVM直接定位方法和MUSIC直接定位方法有各自的适用场景。

5 结论

本文在已有的最大似然直接定位算法的基础上，推导了计算量更低、表达式更为简洁的CBF直接定位算法。在此基础上，针对辐射源数量未知和辐射源数量已知的情况，分别推导了MVM直接定位算法和MUSIC直接定位算法。提出两种算法都可不经过数据关联即实现对多目标的高分辨直接定位。仿真结果验证了提出算法的性能。

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