转动动能与转动惯量的初步研究

吴雨桐

(北京市第十三中学,北京 100009)

1 问题介绍和分析

1.1 背景

在高中物理的课程中,我学习到了动能这个概念,但主要是质点的平动问题,而我们的生活中有很多物体是在转动的,他们应该也有自己的转动能量,我很好奇他们的能量该如何求解。对于这样一个转动问题,简化一下问题模型,考虑一个不计粗细的质量均匀分布的杆子,质量为m,长度为R,绕着杆子的一端(固定点)在平面内旋转,转动速度为ω恒定,我们研究一下这个杆子的能量,如图1。

1.2 微元法推导

对于一个质点m,当它以匀速度v运动时,我们知道它的动能T如下：

而对于1.1中的杆子问题,难点在于杆子上的每一个点的速度并不一致,我们就需要用微元法的物理思想来分析这个问题。如图2,首先,把这个杆子沿长度均匀分成N份,N非常大,以至于每一份的长度非常短,为Δx,则：

NΔx=R N→∞ Δx→0

因此对于每一小段长度为Δx的部分,我们可以把它当做质点,它的质量为：

建立一个在细杆上的一维x轴坐标轴,细杆固定端为坐标原点,细杆在x轴正方向。

整个细杆的总动能T应该是每一段长度为Δx的部分的动能的总和,即：

了解过定积分的相关知识后,我知道了在N→∞,Δx→0的极限情况下,上式中的

通过以上分析,求出了这个杆子在转动时的能量,它与杆子质量的一次方,杆长的平方,转速的平方成正比。

1.3 细杆的转动惯量

在预先学习一些大学知识后,我们了解到1.2中的推导其实和大学的一个新的物理量很有关系,它就是转动惯量,通过转动惯量,可以更好的理解1.2中的推导。

转动惯量是刚体绕轴转动时惯性(回转物体保持其匀速圆周运动或静止的特性)的量度,它用字母J表示。就像是之前学习的质量是对物体惯性的度量。对于质量为m的物体,沿原点O转动时,转动惯量的定义为：

其中r是每个质量元dm到原点O的距离,积分范围是整个物体。

对于1.1问题中的杆子,我们再用微元法去计算一下上式,同1.2中假设,

由于

所以

1.4 转动惯量的力学意义

在1.2中我们得到结论：

代入1.3中求解出细杆转动惯量,得：

此时,细杆动能在形式上就与课本中写的质点的动能公式一致了,分别于转动惯量和惯性质量的一次方,线速度和角速度的二次方成正比,比例系数为0.5,我想这也应该是转动惯量引入的意义,把平动问题过渡到转动问题。同时,根据1.2和1.3中的微元法和微积分推导,我们也可以看出转动惯量的数学定义的意义。

查阅资料我们可以看出质量和转动惯量在平动与转动问题中的不同形式,如表1。

这样,利用转动惯量,平动问题中的常用物理量都可以过渡到转动问题中并保持形式不变。以后在求解其他几何体的转动问题时,我们就可以先求转动惯量,不用再用1.2中的微元法从质点出发推导了。

表1 平动与转动问题公式比较表

2 结语

本文通过对高中动能概念、微元法、圆周运动公式、定积分及部分大学知识的应用,求解出了细杆定轴转动时的动能;同时,引出了转动惯量这一物理量,做出比较和分析;最后对比平动问题和转动问题中的力学量。

[1] 卢德馨.大学物理学[M].北京：高等教育出版社,1998.

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