高中数学概念课教学的重要性探析

李 静，蔡 文

(上海师范大学第二附属中学，上海 200540)

一、引言

高中数学新课程改革中提出，数学核心素养为“学生应具备能够适应终身发展和社会发展需要与数学有关的基本能力和思维品质，包含数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析六大数学核心素养”。其中，数学抽象素养的培养可在数学概念的学习上体现。[1]正确理解和灵活使用数学概念，对于掌握数学基础知识、运算技能，发展逻辑论证和空间想象能力的培养起决定性的作用。

数学概念课，即为如何科学地讲述抽象数学概念并让学生正确理解和准确运用的一堂课。关键要做到：1.要明确数学概念是什么，也就是要帮助学生习得概念，这涉及概念的名称、定义、属性和例证的分析；2.为什么这样定义，分析概念形成的原因和形成的合理性；3.怎样将习得的数学概念运用到各种具体情境中去解决相应的问题。

数学概念的掌握是提高解题能力的前提，也是数学学科的灵魂和精髓。[2]数学概念对学生而言有双重作用，既给出了事物是与否的标准，又刻画了概念的本质属性，具有可操作性。如果能适时地将思维回归到定义上，解决问题效果会很明显。而在实际教学中，发现学生对一些基本概念理解并不准确，没有全面认知数学概念的内涵和外延，如基本不等式、子集与推出关系、函数的概念、函数的奇偶性、单调性、最值、曲线于方程、椭圆、双曲线、抛物线等等。针对只能描述等式，而不能描述其前提条件和实际意义，知其然而不知其所以然的情况，教师应加强概念教学的剖析及重点难点的分层突破，充分引导学生在解题过程中灵活运用概念，不仅可以起到简化思维的作用，还可以培养他们严谨科学的数学思维品质。所以概念教学在数学教学中至关重要。

二、数学概念课教学的现状、问题及原因

学生上数学概念课通常前半节课听得似懂非懂，后半节感觉听懂了，但是做题只能对照笔记，离开笔记无从下手。这种现象很普遍，这是由于概念课的学习和教学出现了问题。剖其原因，前半节课教师是在讲解概念的形成和建立，学生认为抽象，不愿花更多精力深入理解。后半节课是概念应用、实际解题的过程，学生经常会跟着教师的解题步骤一步步模仿下来，以为自己会做了，而不去想为什么这样做，至于每一步的由来，就更不愿深入思考了。

1.从学生学习的角度分析

以函数的奇偶性概念为例，在学习过程中，学生最大的困惑是奇偶性问题的解题方法容易混淆。这个问题的解题，有时要从定义域出发，有时直接找f(-x),f(x)的关系，有时还需要举例说明，有时又不能用举例说明。因此，学生认为这个问题太灵活，都属于奇偶性问题，竟然有不同的解法。究其原因，学生习惯于只对解题方法进行总结，而没有回到数学的概念本质上看问题。因此，时常会出现课堂上跟着教师时，思路非常清晰，每个题目似乎都懂，然而课后自己做题，却出现思路混乱、无从下手的现象。其实这样的现象不只在这个问题上出现，学生在很多数学概念的学习过程中都会碰到。

笔者认为，产生这种问题的关键，是对数学概念的理解不到位，知其然，却不知其所以然，课后做题时只能拿着笔记模仿解题过程，变成了套路的解题模式，解题过程往往容易遗忘。越不会做，越用大量的题目去练习，就产生了题海战术，学习中不能举一反三。课堂简单化和碎片化的学习，让数学概念课变成记忆性的学习过程，这样的过程让数学学习变得艰难，而且学习效果不好，长时间得不到进步，很多学生因此对数学学习失去了兴趣和信心。

2.从教师教学的角度分析

由于数学概念教学会受到课时、考试压力等因素的影响，使数学不得不偏重解题训练。教师对学科内涵的挖掘不到位，教师需要站在更高的高度对教学内容进行研究。课堂上过于偏重概念的应用，忽视概念的理解、公式的推导过程，教师甚至直接给出结论。数学概念的抽象性，决定了学习数学概念需要学生有一定的思维力和理解力，这也是教学的难点。概念的学习，学生普遍觉得枯燥，难度高，在短期实效上不容易有很大变化，普遍不够重视。长期积累，就造成学生对概念的理解混乱，只知其一，不知其二，更不能很好地理解和运用概念，会造成数学概念与解题不对称的问题。数学概念的学习能力将决定学生学习数学的能力，通过大量的训练，学生即便熟练解题过程，过段时间也容易遗忘。在数学的教学上，教师不仅要重视数学概念教学，而且要引导学生重视数学概念的学习。

三、概念课教学的方法及实施

从数学知识发生发展过程的合理性、学生思维过程的合理性上加强思考，更好地落实数学学科核心素养，教师要注重概念形成的过程教学。

1.概念引入

引入概念的过程主要是让学生了解概念形成的过程，是激发学生学习动机的好机会，可以调动学生学习数学的积极性，教师有必要设法帮助学生完成由感性认识到理性认识的过渡。在教学中教师要注重概念的引入，概念引入的方法有：

(1)以最近发展区理论引入

最近发展区理论是由苏联教育家维果茨基提出的。[3]他把学生的发展水平分为两种：一种是学生的现有水平，是学生没有外界帮助下所具有的水平；另一种是学生可能的发展水平，也就是通过外界的帮助，即通过课堂学习所获得的水平。两者之间的差异就是最近发展区。教学的难度应该发生在学生的最近发展区，为学生提供带有一定难度的内容，积极调动学生的兴趣，发挥学生的能力，超越他们的最近发展区，从而顺利到达下一发展阶段的水平。

比如幂函数和指数函数、对数函数的学习过程，知识点的层层递进、其中的联系和区别、知识的发展变化与衔接过程，体现了函数研究系统的学习过程。也可以进一步研究：对于这三种新增加的函数，它们的函数值的增长快慢有何差别呢？我们通过对三个具体函数“y=3x,y=x100,y=log3x”的函数值(取近似值)的比较，来体会它们增长的速度，体会指数函数、对数函数、幂函数的图像以及它们各自的增减性。由解析式可以推知函数的变化，同时也能够熟练地由图像还原至所学的解析式，达到灵活运用数形结合来解题的目的。

对于存在相互联系的概念，一定要做好比较，防止负迁移，从而让学生理解概念的本质。例如圆、双曲线、椭圆三个概念之间有联系又有区别，通过对比，学生能方便地掌握各概念之间的内涵与外延。教师要提前为学生设置好相似概念、有内在联系的概念的比较，学生应用才会得心应手。

(2)以生活为背景探究概念

数学源于生活，是生活的提炼与概括，教学中要尽量发掘可操作性的素材，使课堂气氛和谐、学生思维活跃。

比如在讲椭圆概念的过程中，教材以水杯倾斜产生的截面为例，让学生知道什么是椭圆，形成对椭圆的初步印象。然后在课堂中让学生动手画椭圆，学生通过观察和动手探究，可以对椭圆概念形成直观感受，有利于概念的获得，让学生实际操作，体会画椭圆的过程，从而引入椭圆的定义。

(3)以史实情境引入

利用数学史知识来创设数学问题情境，让学生在生动的情境中学习数学知识，领会数学思想、方法。

以“数列”为例， 我国古代数学家早就研究过等比数列的问题[4]，《孙子算经》中有一个有趣的题目“出门望九堤”： 今有出门重九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢，巢有九禽，禽有九雏，雏有九毛，毛有九色，问各几何？数学史反映了数学发展的内部规律，让学生能够欣赏数学智慧之美，喜欢数学，热爱数学。

(4)以直观图形引入

把抽象的概念用直观的图形表示出来，可以让其变为通俗易懂的概念。

比如函数的单调性，用具体图像的上升和下降趋势，引出数学上单调性的概念。数学图形比较直观，而数学语言晦涩难懂。比如“对于给定区间I上的函数y=f(x)，如果对于属于这个区间I的自变量的任意两个值x1,x2，当x1

2.概念建立

概念建立一般有两种方法：一种是概念的直接形成，另一种是概念的同化。

概念的形成是通过大量形象具体的例子概括出这些概念的特性。根据学生的实际经验，以归纳的方法概括出这一类事物的本质属性。比如函数概念中奇偶性，从生活中各种对称美的图片引入；函数的单调性，从各类图像的上升下降趋势引入；反三角函数可以由已知三角比求角的问题引入等等。

概念的同化是以学生原有的概念为基础，通过直接下定义的方式向学习者揭示概念的本质属性。比如复数概念的形成，在原有实数概念的基础上进行扩充，并定义。再如椭圆、双曲线、抛物线的概念等。进行新旧概念的区别联系, 突出新概念的本质属性，实现知识的正迁移。

3.概念的巩固和应用

如何对学习过的数学概念进行有效的巩固?首先要认识到这是一个识记概念与保持概念的过程,也就是加深理解与灵活运用的过程。我们可以通过概念辨析、变式演练的方法进行巩固。

比如函数的最值概念，通过辨析，进一步理解概念中的重要词句。如设函数y=f(x)的定义域为R，判断命题真假：

(1)存在常数M，使对任意x∈R,都有f(x)M成立，则M是f(x)的最大值。

(2)若存在x0∈R，使对任意x∈R,x≠x0,都有f(x)

(3)若存在x0∈R，使对任意x∈R, ,都有f(x)f(x0)成立，则f(x0)是f(x) 的最大值。

针对最值的存在性和不唯一性进行讲解。通过概念的变式辨析，学生可以对最值问题有一个全方位的理解，并进一步理解、深化和巩固概念，进而熟练掌握使用概念解题的方法。

在数学核心素养中，解决问题能力的培养是非常关键的。学习数学概念的目的，就是用于解决实际问题。在概念教学中，不能简单地进行抽象概念的介绍，要让学生通过实际的例题和情景去掌握概念，进而升华概念。概念获取的一般规律是由特殊到一般，而它的应用则是从一般到特殊。学生掌握概念是主动在头脑中进行积极思维构架的过程，不仅要学会新的知识，而且还要使已有知识再一次形象化、具体化，最终形成网络化。

概念学习的高级阶段是概念的应用，一般分为两个层次：(1)在掌握领会的基础上，将习得的概念用于解决同类问题；(2)能够对所学概念进行有效的加工，融会贯通，用所学的概念解决新情景中的问题。[5]

比如在解决同类问题中，我们学习函数的定义域、奇偶性、单调性、最值、零点，研究这些性质的价值在于研究新函数时，可以通过研究以上性质得到其大致函数图像特征。

对于新情景中的实际应用，在数学教学中，教师也可结合生活生产实际以及科技发展过程中遇到的问题，检测学生对数学概念的理解程度和对概念应用的灵活程度，从而了解学生运用已学习过的数学概念、知识解决问题的能力。通过对概念的实际应用，可以发现学生对概念理解的偏差，及时调整教学策略和方法。当发现学生运用概念出现问题时，我们就能很好地得到反馈信息并且及时解决教学问题。比如桥梁的设计、喷水池设计、税收、邮件与邮费问题，学校百草园鱼池的设计，可以利用函数不等式、几何等工具的最优化思想解决。比如上海教育出版社出版的高一年级第一学期数学教材中第61页的研究性课题：上海出租车计价问题。了解上海出租车计费规则，要经历调查研究的过程；将调查所得信息数学化处理，也可加入因拥堵而等待的时间，建立车费与行车里程的函数关系式；可以根据出行目的地的远近，进行简单的优化分析，如何乘车，可以最大程度降低出行成本。涉及写分段函数，并求最值的问题。体现了核心素养中培养学生用数学思想方法分析和解决实际问题的基本能力。

四、实施成效

1.学生作业质量上的变化

很多学生在解题过程中依赖上课笔记，寻找对应的解题过程，由于一知半解，解题过程中会产生很多错误，比如证明奇函数过程中，f(-x)=-f(x)成立，就下结论是奇函数，定义域遗漏考虑；奇偶性证明时会有举例说明；在说明非奇非偶函数时不会否定等。通过数学概念的有效教学，让学生在数学学习中从“总结解题方法”转变成“探讨为什么是这样的解题过程”，进而引导学生进行数学概念本质的探讨，学生的错误明显减少。

2.学生听课效率上的变化

在课堂实例中，教师应把握课堂的重点难点，合理设置有效提问，启发学生分层解剖概念，引导学生抓住数学概念的本质特征，把所有问题回归到数学概念。通过对数学概念的强化教学，也使学生的学习能力有明显提高，学习的注意力更加集中。数学不同题型的解题过程不再是需要记忆的部分，所有解题思路的关键从概念定义入手，引导学生抓住定义的本质特征、成立条件，从更高层面分析定义的内涵和外延。对概念的熟练掌握和应用，可以以不变应万变，解题方法围绕概念进行，避免解题方法和知识点的碎片化，对学生学习数学起到事半功倍的效果。

3.学生测试评价上的变化

笔者所教授班级的数学成绩在平行班中一直名列前茅。笔者认为这与重视数学概念教学、强化数学概念的理解是分不开的，这也是学生数学学习能力提升的重要原因之一。

五、总结及反思

高中数学教学应该化繁为简，把抽象问题变为具体问题，努力揭示数学概念与实际问题之间的关系。数学课程要讲逻辑推理，通过实际情景的分析和学生自主探索，使学生了解数学概念的产生过程，体会其中蕴含的数学思想方法。[6]将核心素养目标渗透到教学设计中，通过科学合理的数学教学活动，让学生在数学学习中实现自我发展、自我超越、自我升华。在数学学习过程中，培养学生的逻辑思维，发展学生的理性思维能力，让学生的学科素养在学习数学的过程中得到自主的发展。教师对概念的讲解要从实际情景出发，精心设计体验过程，要及时有效地解决教学过程中产生的问题；采用不同的教学方法，让学生通过观察、分析，揭示数学概念的本质。为学习新知识打下坚实的基础，要让学生真正理解掌握概念，让学生从死记硬背和“标准”解题步骤中解放出来。

这就决定了教师需要站在更高层面，对数学概念有更深层次的理解，分析每个例题所蕴含的数学概念、数学思想方法，回归数学的本质。数学概念的生成正是体现了数学的严谨性和精确性。[7]数学概念教学的一般过程是：让学生了解概念产生的情景，理解概念的内涵和外延，熟悉表达方式，熟记概念形成的条件，掌握如何正确灵活使用概念来解决实际问题。

概念和定义的熟练掌握在学生数学思维的发展以及向高端数学思维过渡的过程中极其重要，每位教师都要重视概念课教学，熟练运用各种教学方法和教学手段，加强概念定义的教学，帮助学生夯实数学基础，优化课堂教学效率。