利用高中数学建模教学培养学生的元认知

□ 海南华侨中学 黄晓晓

近年来，国际数学教育研究中有两个问题成为了热点：“问题解决”和“元认知”，可见元认知对数学解题能力是起核心影响作用的,而数学建模理念已越来越受到中学数学老师的青睐，元认知策略在建模教学过程中具有“导航器”的作用，同时数学建模的教学对培养学生的元认知也起到重要的作用。

一、数学建模在高中数学教学中的地位和作用

1.什么是数学建模。数学作为一门重要的基础学科和一种精确的科学语言，是以一种极为抽象的形式出现的。这种极为抽象的形式有时会掩盖数学丰富的内涵，并可能对数学的实际应用形成障碍。要用数学方法解决一个实际问题，不论这个问题是来自工程、经济、金融或是社会领域，都必须设法在实际问题与数学之间架设一个桥梁，首先要将这个实际问题化为一个相应的数学问题，然后对这个问题进行分析和计算，最后将所求得的解答回归实际，看能不能有效地回答原先的实际问题。这个全过程，特别是其中的第一步，就称为数学建模，即为所考察的实际问题建立数学模型。

简单地说就是：把实际问题抽象为一个数学问题，并又合理地返回到实际中去，这个过程就是数学建模，数学建模是运用数学思想、方法和知识解决实际问题的过程，数学建模是寻求建立数学模型的方法的过程。

2.高中数学建模在教学中的地位和作用。数学建模是高中开展探究性学习的好题材。数学建模包含了合作学习、自主学习和探究性学习的诸多因素和作用。数学建模是提高参与者数学素养的一种很好的形式。越来越多的国内教育工作者都有这样的认识：数学知识的掌握不全是教出来的，而是自己做出来的，数学建模正好是一个学数学、用数学、做数学的过程，它体现了学和用的统一。

数学建模问题存在于我们的周围和日常生活之中。例如，如何收集数据解决公交站点的合理设置、学校课程表的科学安排等问题。同时，在数学建模教学过程中让学生自己提出问题、解决问题可以培养学生关心社会、服务社会的好习惯。

二、元认知和元认知策略的概念

1.元认知理论。元认知概念是在20世纪70年代初，由美国心理学家弗莱维尔首先提出来的，它的研究在理论上丰富和发展了心理学的学习理论，在实践上对开发学生智力，特别是解决“教会学生如何学习”等问题有着十分重要的意义。元认知能力在一定程度上可以弥补一个人智力的不足。“元认知，就是对认知的认知，实质就是人们对认知活动的自我意识和自我调节。”所谓数学元认知就是人们对数学认知的控制和调节。

2.元认知策略。在人类的学习过程中，学习者要学会使用一些策略去评估自己的理解，预计学习时间，选择有效的计划来学习或解决问题。元认知策略大致可分三种：①计划策略——包括设置学习目标、浏览阅读材料、产生待回答的问题以及分析如何完成学习任务。如：整个建模问题中的思路是“实际问题——数学模型——模型的解——解决问题”。②监控策略——包括阅读时对注意加以跟踪、对材料进行自我提问、做题时监视自己的速度和时间。③调节策略——调节策略和监控策略有关。如：数学建模对最后问题的各种解进行评价，看是否符合实际。

数学元认知策略是整个数学建模教学过程中的“导航器”，在这种策略的指导下，即使学习中思维受阻，也会及时校正思维方向，调整思维路径，形成合理的数学认知结构。

三、高中数学教师应该为在数学建模教学中培养学生的元认知营造氛围

在数学建模教学的开始阶段，让学生了解什么是数学建模，数学建模实际上是用数学工具加以解决我们身边的问题，不要让学生感到高不可攀。数学建模教学既要发挥教师的主导作用，又要发挥学生的主体作用。只有这样学生才会敢想、敢问、敢动手操作、不怕犯错误，也就能够自觉地尝试运用已经有过成功体验的数学元认知策略计划、监控、调节自己的数学建模学习。从而整个教学过程中也就很好地培养了学生的元认知。在这一教学过程中，教师可以采取如下几种做法:

1.教师在建模教学中要留给学生读、思、议、练等主动活动所必需的时间，而不是由教师“独占”课堂时间。

2.数学建模问题难易应适中，千万不要搞一些脱离中学生实际的建模教学，题目难度以“跳一跳就可以让学生够得到”为度。

3.教师在课堂教学中应该学会利用元认知提示语，帮助学生激活知识，快速地进入思考问题的状态，以便能够更快地自主找到解决问题的方法。要“民主评价”学生，通过评价给学生以成功的情感体验，增强学生主动参与的自信心，促使他们以愉快、高涨的情绪积极参与课堂学习活动。老师在学生自评、互评过程中给予适当点拨、启迪，并以真诚的语言、亲切的语调、温和的表情、宽容的态度来调控评价过程，使学生从中受到鼓舞，敢于表达自己的看法，养成评价自我与他人的习惯。

下面举一个笔者自己上过的一节函数模型的课例。

问题：按照一定的身高有相应的理想体重的原理，医学专家经过计算得到下面判断未成年男性是否肥胖的标准：若体重超过相同身高男性体重的平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，处于0.8到1.2倍之间为标准。其中体重的平均值称为这地区某一身高对应的标准体重，现在卫生部门要了解该地区未成年男性的肥胖情况，请你给出一个体重标准帮助卫生部门完成这项工作。

问题给出后学生陷入了迷茫甚至是一头雾水的情况，此时我给出一些元认知的提示语，帮助学生进入思考的状态。

提示1：根据上面的介绍可知，某地区平均体重与身高是有联系的，在这里涉及到多少个变量？（身高和体重）

提示2：随着身高的变化所要求的平均体重也相应地变化，我们想知道身高与体重要满足怎样的关系呢？

提示3：为了知道这对于一般人他的身高与体重的关系，需要了解具体一些人的身高与体重的关系，你怎么才能得到？

此时有学生提道：首先第一步我们要收集数据。这样我们就能自然地给出课本上提供的例题。

这样的课堂老师只是一个引路的人，我们只需要做的事情就是不断地用元认知提示语言提示学生，让学生自己动脑和动手，学生非常清楚要思考什么，如何思考。通过不断的练习，学生就能在类似的情境中，进行类似的思维活动，从而形成良好的思维习惯，进而使学生感觉到生活的无穷奥妙，感悟到课本知识的无限魅力，感受到数学之花的万般美丽。

四、数学建模课堂教学要关注题后反思和勤于反馈

罗增儒先生在他的《数学解题学引论》中断言：分析典型例题的解题过程是学会解题的有效途径，至少没找到更好的途径之前，这是一个无以替代的好主意。笔者认为罗先生这里强调的对解题过程的分析就是对解题的一种反思。反思的对象是解题认知过程，因此这种反思实际上就是一种元认知。

课堂上我们要经常有意识地指导学生进行反思。如“等一等”：学生对建模的内容是否理解，并能清楚地向他人进行描述；“想一想”：产生这一问题大致是什么原因造成的，是有些知识没有掌握好，还是缺乏解决问题的技巧；“找一找”：解决这一问题有哪些方法；“看一看”：检查一下采取相应的措施后，原先的问题是否得到解决，“做一做”：记录解决问题的经过，决定以后怎样做。

课后我们教师要提供足够的练习与反馈，鼓励学生在不同情景中运用策略，并指导学生生成新的策略。元认知策略教学的目的就是通过教学过程中不断的练习与运用，使学生认识到什么是策略，策略运用的有效性，并能有意识地去发现策略、总结策略，从而生成适合自己的新的策略。学生能自己生成新的策略，也就标志着他们真正地“学会了学习”，也就真正意义上达到了利用教学完成了元认知的培养。

高中数学建模教学还处在探索阶段，虽然在大多数地方它还不是很普遍，但是随着社会的发展，最终数学建模会走向中学数学的主战场，如同以前的向量。微积分于中学数学一样。而元认知和元认知策略是一个复杂的系统，用于数学建模教学研究还任重道远，本文从高中数学建模教学中如何引进元认知策略来辅助教学，同时在教学中培养学生的元认知做了一点探究，一些方法只是浅尝辄止，笔者希望在今后的数学建模教学中能与广大同行一起努力继续做深入的研究。