一种基于薄膜模型的修改方法来计算史瓦西黑洞的熵

韩志茶 高新华

摘 要：由特霍夫特提出的砖墙模型是用来计算黑洞熵的一种常用方法，基于砖墙模型的薄膜模型是它的改进方法。这种方法计算的黑洞熵符合贝肯斯坦-霍金熵的普遍结果。但是，该方法存在两个可能引起困惑的参数，导致薄膜可以趋近于零，这可能会导致其计算中依赖的半经典条件失效。另外，此参数为人为选取，其内在的物理意义也不是非常清楚。通过引入普朗克尺度，我们对这兩个参数进行了替换，计算结果依然满足贝肯斯坦-霍金熵，且更具有物理意义。

关键词：熵；砖墙模型；薄膜模型；普朗克尺度

中图分类号：P145.8 文献标识码：A 文章编号：1671-2064（2018）22-0240-03

1 研究背景

黑洞与热力学定律之间的相似性很早就已经被注意到[1]，二十世纪七十年代，贝肯斯坦[2-3]和霍金[4]首先提出了黑洞热力学这一概念，其中就提出了黑洞熵的猜测，并给出了面积不减定理。他们证明并得出结论，即黑洞的熵与黑洞表面积成正比，具体的关系是为S=，其中S是黑洞熵，A是黑洞的视界面积。这一结果又被叫做“贝肯斯坦-霍金熵”。

在他们之后，黑洞熵以及黑洞热力学被研究了很多年。基于贝肯斯坦和霍金的猜测和计算，人们普遍认为其他黑洞的熵也应该有与贝肯斯坦-霍金熵类似的结果。但是，至今为止，由于黑洞熵的起源一直都是一个未解之谜，因此不同研究者对黑洞熵的本质有就不同的理解，于是便出现了多种不同的计算黑洞熵的方法。尽管方法众多，但这些不同方法计算的结果却大多都支持黑洞熵与其视界面积成正比这一结论[5-8]。对同一黑洞而言，若所采用的方法能得到和贝肯斯坦-霍金熵类似的结论，便是该对计算方法的一种肯定，也是对基于该方法所理解的黑洞熵的起源的肯定。砖墙模型就是计算黑洞熵的一种广泛使用的方法。

1985年，特霍夫特提出了砖墙模型方法[9]。这种方法认为，黑洞的熵源于事件视界外面某一空间壳层区域内的处于热力学平衡状态下的量子气体的熵。该壳层的内表面到事件视界有一个空间距离h，且该壳层具有一定的厚度L。因为这一壳层类似于一堵包围黑洞视界的砖墙，故被形象的称为“砖墙模型”。自从这一方法被提出后，基于该方法来计算黑洞熵的工作层出不穷，并都得到了比较好的结论[10-16]。这种方法的优点是，它能给出计算静态黑洞的统计学熵的清晰简便的计算过程，并且能够对黑洞熵的起源问题提供了一种可以被理解和接受的解释。用该方法计算出来的黑洞熵结果一般会出现多个项，但只有一项提供了黑洞熵的主要部分，其余项是对黑洞熵的一种修正。

因为存在一个主要项和其他修正项，文献[17]便对墙模型进行了修改。他们认为，砖墙模型中最主要的这一项应该来自于黑洞之外非常薄的一个壳层内的量子气体的熵，于是便将砖墙向事件视界靠近，同时不断压缩砖墙的厚度。这样，砖墙就离黑洞很近，而且变得很薄，于是被形象的叫做“薄膜模型”[18-20]。在他们的工作中，用与砖墙模型同样的方法只计算这一薄层依然能得到很好的结果。有很多文献也已经基于这种方法计算了不同的黑洞熵，其结果也非常优美[21-22]。但是，这个方法却带来一个小小的困惑，即在计算中，该方法认为薄膜的厚度可以无限趋近于0，此时，这层薄膜就变成了一个二维膜。从物理角度来看，当薄膜趋近于0时，甚至取为0时，在该方法中使用的半经典近似条件将会失效，基于该条件的计算结果自然也就不再可信。同时，他们引入的两个可以取为0的自由参数∈和δ，似乎也并没有带来更好的物理意义。

另外，砖墙模型和薄膜模型的结算结果都与贝肯斯坦-霍金熵略有不同。为了相同，必须人为的引入截断因子。这种引入也没有任何的道理，只是为了结果的相同而人为引入，无法解释其物理意义。

为了解决上述问题，我们基于薄膜模型对该方法进行了修改。我们认为薄膜模型中引入的两个自由参数不能无限趋近于0，便将该模型中的两个自由参数进行了替换。我们考虑宇宙存在最小尺度这一物理事实，并考虑普朗克尺度和空间的离散性这个逐渐被理论界所接受的结果，于是可以猜测，这两个参数应该和普朗克长度有关，且选取时应该是普朗克长度的整数倍。接下来便演示这一计算过程。

2 计算方法

这种计算是建立在认为最小尺度就是普朗克长度这一假设之上。虽然我们粗糙地在计算中认为空间尺度是普朗克尺度的整数倍，但是它给薄膜模型赋予一种物理上的解释，也能消除薄膜模型中可能存在的半经典条件失效的情况。而且，我们依然得到了与贝肯斯坦-霍金熵一致的结论。

3 结论

砖墙模型和薄膜模型都是计算黑洞熵的重要方法，但这两种方法都存在人为引入的、物理意义不那么明显的人为截断因子。另外，薄膜模型还存在的半经典条件失效的可能性。我们的修改方法可以解决以上两个问题，而且也得到了贝肯斯坦-霍金熵。另外，非人为的截断还有可能帮助我们理解普朗克尺度上的物理图像。

参考文献

[1]Christodoulou D. Reversible and Irreversible Transformations in Black-Hole Physics[J]. Phys. Rev. Lett. 1970，（25）：1596.

[2]Bekenstein J D. Lett. Black holes and the second law[J]. Nuovo Cimento，1972，（4）：737.

[3]Bekenstein J D. Black holes and entropy[J]. Phys. Rev. D，1973，（7）：2333.

[4]Hawking S. Particle creation by black holes[J]. Commun. Math. Phys，1975，（43）：199.

[5]李国平，蒋青权，冯中文，邓娟.广义Tortoise坐标变换与动态Kerr-Newman-de sitter黑洞的热辐射[J].南大学学报（自然科学版），2012，（2）：196-201.

[6]李港，罗志全，杨娟，曾晓雄.旋转带电BTZ黑洞的修正熵[J].云南大学学报（自然科学版），2010，（4）：437-442.

[7]李慧玲，杨树政，蒋青权.缓变动态Reissner-Nordstrm黑洞的熵[J].云南大学学报（自然科学版），2005，（5）：416-420.

[8]刘雄伟，曾晓雄，杨树政.用协变反常法研究类RN黑洞的霍金辐射[J].云南大学学报（自然科学版），2008，（3）：256-260.

[9]Hooft G. On the quantum structure of a black hole[J]. Nuclear Physics，1985，（4）：727-745.

[10]WT Kim.Entropy of （2+1） dimensional de Sitter space in terms of the brick wall method [J].Phys.rev.d，1999，（4）：59-70.

[11]Liu W B. Reissner-Nordstrom Black Hole Entropy Inside and Outside the Brick Wall [J]. Chinese Physics Letters，2003，（3）：440.

[12]Masakatsu K， Kamal K N and Kazuyasu S. Solution-independent analysis of black hole entropy in brick wall model [J]. Class. Quantum Grav，2005，（22）：3923.

[13]K Ghosh. A few comments on brick-wall model and the entropy of a scalar field in Schwarzschild black hole background [J]. Nuclear Physics，2009，（1）：212-216.

[14]Latham T and Gershon T. A method to measure cos（2β） using time-dependent Dalitz plot analysis of B0→DCP π+ π-[J]. J. Phys. G，2009，（36）：025006.

[15]Wontae K， Edwin J S and Myungseok Y. Entropy of the FRW cosmology based on the brick wall method [J]. Phys. Lett. B，2008，（669）：359-363.

[16]Lee C O. The Thermodynamic Properties of Warped Taub-NUT AdS Black String[J].arXiv：1402.3972v2，2008.

[17]Li X and Zhao Z. Entropy of Vaidya-de Sitter Spacetime [J]. Chin. Phys. Lett，2001，（18）：463-465.

[18]Gao C J and Shen Y G. Fermions Entropy of Vaidya-Bonner Black Hole [J]. Chin. Phys. Lett，2001，（18）：1167.

[19]Li X and Zhao Z. Black Hole Entropy： Membrane Approach [J]. Int. J. Theor. Phys，2001，（40）：903.

[20]Liu W B and Zhao Z. An Improved Thin Film Brick-Wall Model of Black Hole Entropy [J]. Chin. Phys. Lett，2001，（18）：310.

[21]Li X and Zhao Z. Entropy of a Vaidya black hole [J]. Phys. Rev. D，2000，（62）：104001.

[22]李翔，趙峥.Brick Wall Model and the Spectrum of a Schwarzschild Black Hole[J].中国物理快报：英文版，2006，（8）：2016-2018.

[23]Garay L J. Quantum gravity and minimum length [J]. Int. J. Mod. Phys A，1995，（10）：145-166.

[24]Doplicher S， Fredenhagen K and Roberts John E. The quantum structure of spacetime at the Planck scale and quantum fields [J]. Commun. Math. Phys，2003，（1）：187-220.

[25]Kiefer C. Quantum geometrodynamics： whence， whither？ [J].General Relativity & Gravitation， 2008，（4）：877-901.

[26]Rovelli C. Loop Quantum Gravity[J]. Living Rev. Relativity，1997，（1）：1.

[27]Rovelli C. Loop quantum gravity： the first twenty-five years[J]. Classical and Quantum Gravity，2011，（28）：153002.

[28]Ashtekar A， Baez J， Corichi A and Krasnov K. Quantum Geometry and Black Hole Entropy [J]. Phys. Rev. Lett， 1997，（80）：904-907.