等效电源法原理及应用

王利福+付艳明+郭继成

摘 要：本文探讨了物理等效电源法的基本方法和思想，并举例说明了等效电源法在很多方面的应用，该方法能够化繁为简，巧妙解决物理问题。

关键词：等效电源；戴维南定理；等效电动势和内阻

一、 举例说明电源的等效电动势和等效内阻的求法

戴维南定理：任意线性有源二端网络可用一个恒压源与一个电阻的串联来等效替换，恒压源的电动势等于被换网络的开路电压，串联电阻的阻值等于被换网络的“除源”（只除掉其电动势而保留其内阻）网络的等效电阻。

求解虚线框内等效电源的等效电动势和等效内阻。

例1 图1中等效电动势E′=E，等效内阻r′=r+R1。

例2 图2中等效电动势E′等于外电路断开时的路端电压，即等于AB两端接上理想电压表时的示数，所以，图2中的等效电动势等于电阻R2两端的电压，E′=R2r+R2E。“除源”网络的等效内阻r′等于r和R2的并联总电阻，也等于将其短路后的等效电动势除以短路电流，图2（c）（d）中理想电流表的示数相同，I=Er（电流表将R2短路）=E′r′，计算得等效内阻r′=E′E·r=r·R2r+R2。

例3 图3中等效电动势E′=R2r+R1+R2E，等效内阻r′=（r+R1）·R2（r+R1）+R2。

例4 图4中等效电动势E′=E1R2+E2R1R1+R2，等效内阻r′=R1R2R1+R2。

求解等效电源电动势：当AB间断路时，流经两电源的电流相等，设在两电源组成的闭合回路里，电流顺时针方向，大小为I，则UAB=E1-I·R1=E2+I·R2①，根据基尔霍夫定律E1-I·R1-E2-I·R2=0得I=E1-E2R1+R2②，将②式代入①式中得UAB=E′=E1R2+E2R1R1+R2。

求解等效电源内阻：当AB间短路时，流经AB的电流最大，Imax=E1R1+E2R2=E1R2+E2R1R1R2，又因为Imax=E′r′，所以等效内阻r′=R1R2R1+R2，即等于除源网络R1和R2的并联总电阻。

当E1=E2=E且R1=R2=r时，E′=E且r′=r2，本結论可以推广到n个相同电源并联的情况，其电动势等于原电源（指每个）的电动势，其内阻等于原电源内阻的1/n。并联电源的好处不在于提高电动势，而在于把负载电流平分给每个电源，从而减轻每个电源的负担。所以，要提供大电流可用并联电源，要提供高电压可用串联电源。

二、 举例说明等效电源法的应用

1. 计算通过某一电阻的电流

例5 如图5所示，已知E1=32 V，E2=24 V，R1=5 Ω，R2=6 Ω，R3=54 Ω，求各支路的电流。

解：由例4得E′=31211V，r′=3011Ω。根据I3=E′r′+R3得：I3=0.5 A，UAB=27 V；根据UAB=E1-I1R1得：I1=1 A；根据UAB=E2+I2R2得：I2=0.5 A，且向下流过R2。通过分析结果，发现流过R1的电流I1是干路电流，它等于流过R2和R3的这两个支路电流之和，这说明电源E2和R2、R3一样，相当于E1的用电器，在实际应用中，一般不将两个电动势不等的电源并联起来给外电阻供电。

例6 如图6所示，若电源与电阻R1、R2的参数均未知，当A、B端接入电阻R3时，测得通过R3的电流为Ix。当R3=10 Ω，Ix=1 A；当R3=18 Ω时，Ix=0.6 A，则当R3等于多少时，Ix=0.1 A？

解：由例3得，将虚线框内的电路等效成一个新的电源，就可以成功避开未知参数R1、R2，再根据题中已知，E′、r′、R3三个未知数，三个方程有唯一解。解得R3=118 Ω。

2. 计算可变电阻的最大功率

例7 如图6所示，若已知E=6 V，r=1 Ω，R1=2 Ω，R2=6 Ω，求可变电阻R3等于多少时它消耗的功率最大？

解：由例3得E′=4 V、r′=2 Ω，所以当R3=r′=2 Ω时，它消耗的功率最大，P3max=2 W。

定性分析：当可变电阻R3的阻值接近等效电源的内阻时，其消耗的功率增大；远离时，其消耗的功率减小。

3. 巧解电路动态问题

例8 在图6中R3两端电压的变化量与其电流的变化量之比随R3的增大/减小而怎么变化呢？

解：根据E′=U3+I3r′和E′=U3′+I3′r′得：ΔU3ΔI3=U3′-U3I3′-I3=r′，与R3的增减无关。

4. 计算可变电阻实际消耗的功率

例9 若将图6中的电阻R3替换成已知伏安特性曲线的白炽灯泡L，且已知电源的电动势E=100 V，r+R1=100 Ω，R2=100 Ω，白炽灯泡L的IU图线如图7中实线所示。求灯泡两端的电压和通过灯泡的电流以及灯泡的实际电功率。

解：由例3得E′=50 V、r′=50 Ω，根据函数关系式I=E′r′-Ur′=1-U50，作出等效电源的IU图像，如图7中虚线所示，与灯泡的IU图像交于N点，从图中读出：IN=0.45 A，UN=28 V，计算实际功率得PN=UNIN=12.6 W。

对等效电源和灯泡只能列出两个欧姆定律的方程，而本题有电压、电流和电阻三个未知数，所以本题是无法通过计算法算出结果的，那么什么情况下才能使得灯泡两端的电压等于等效电源的路端电压，流经灯泡的电流等于等效电源的干路电流？既然不能运用计算法，我们就借助图像法，寻找等效电源的伏安特性曲线与灯泡的交点N，再从坐标轴上读出数据来，这也是解决实际问题的重要方法。

5. 分析伏安法测定电源电动势和内电阻的系统误差

由例2得：采用图8所示的电路，电动势测量值E′=R2r+R2E小于真实值E，内阻测量值r′=r·R2r+R2也小于真实值r。

同理，由例1得：采用图9所示的电路，电动势测量值等于真实值，内阻测量值r′=r+R1大于真实值r。

通过前面的例题总结出：运用等效电源法解题的最大优势就是利用等效电动势和内阻是个常量，与外电路无关的特点，将复杂的混联电路转化为只有等效电源与某一外电阻串联的简单电路，从而实现题目的化繁为简，化难为易，巧妙地解决了很多高中物理中的难题。

参考文献：

[1]梁灿彬，秦光戎，梁竹健.电磁学[M].北京：高等教育出版社，1980.

[2]王平杰.高中物理思想方法提炼与拓展[M].杭州：浙江大学出版社，2012.

作者简介：

王利福，内蒙古自治区呼和浩特市，内蒙古工业大学理学院；

付艳明，郭继成，内蒙古自治区呼和浩特市，内蒙古师范大学附属中学。endprint