结合认知规律高效教学三角函数

摘 要：三角函数是高中数学中的重点与难点内容。在本文中，笔者根据多年的教学实践经验，针对学生们在学习三角函数这部分内容时经常遇到的困难和容易出现的错误，浅谈了几点高效教学三角函数的策略，旨在对症下药，提高课堂教学的有效性。

关键词：高中；数学；三角函数

新课标强调，教师在教学时应当坚持以生为本，充分发挥学生的主体地位。因此笔者认为，教师开展课堂教学时，应当根据学生的实际情况与认知规律采取适当的教学策略。笔者通过教学实践发现，学生们在学习三角函数这一章节时，普遍存在概念掌握不到位、对于三角函数公式变形的规律掌握不够、综合应用能力差等问题。针对这些问题，笔者在不断的模式与实践下，总结出了下述三点策略，与各位同行共享。

一、 理解与概括，适度抽象

正确理解相关概念是学生们应用三角函数解决问题的基础，很多学生因为对概念的理解比较模糊或者存在偏差，导致在推理能力方面比较差，解决问题时常常思维阻塞。由此可见，强化概念教学是三角函数教学的重中之重，教师可以通过引导学生进行适度的抽象，提高学生们的理解能力与概括能力，深入数学本质。

比如笔者在对《任意角的正弦函数、余弦函数的定义》这一节内容进行教学时，通过一系列的提问，引导学生们通过自主探究，抽象概括出了任意角的正、余弦函数的定义。首先笔者向学生们提问道：“根据初中所学锐角三角函数的定义，大家说一下下图1中∠A的正弦值和余弦值。”学生们迅速回答道：“正弦值为BC/AB，余弦值为AC/AB。”紧接着笔者提问：“∠A的正弦值、余弦值会随着三角形的大小而发生改变吗？”学生们通过探究发现，根据相似三角形的知识可知，只要角度确定了，无论角的边长如何改变，正、余弦值都不会发生改变。随后笔者引入了这节课的重点内容：“现在我们将角的范围扩大到任意角，请同学们通过在直角坐标系中探究，重新定义一下正弦函数与余弦函数。”如图2所示，α是平面直角坐标系中的任意角，点B是角α终边上的一点，点B到坐标原点的距离记为r。学生们通过计算得到结论：sinα=y/r，cosα=x/r。紧接着笔者通过改变了角α的大小，得到了如图3所示的变式。经过一段时间的思考与分析后，学生们得到了如下的结果：sinα=b/r，cosα=a/r。最后笔者引导学生们通过对上述问题进行概括，抽象出任意角正、余弦函数的定义：“既然我们已经知道，只要角度确定，角的边长变化不会改变角的正余弦值，那么我们可以假设P、Q都是角α的终边与单位圆的交点，即r=1。现在请大家试着总结一下任意角正、余弦函数的定义。”最后学生们成功抽象出了任意角正、余弦函数的定义，例如对于正弦函数来说，∠α与单位圆的交点P的纵坐标与圆半径的比值叫做正弦，即sinα=y。

在上述教学活动中，笔者通过引导学生们自主探究，使他们成功抽象出了三角函数的定义，深化了学生们对概念的理解与认知，取得了很好的教学效果。

二、 局部与整体，联系对比

数学的很多知识之间是相互联系的，教师在教学时，应当有意识地引导学生们建立一个整体的意识，通过对相关知识进行多元的联系与对比，促进他们学会把局部的知识放到一個更大的知识框架中进行理解与应用，提高数学素养。

比如在最后的总复习环节，为了让学生们对数学知识建构一个完整的知识体系，能够灵活应用三角函数解决复杂问题，笔者设计了相关例题引导学生们进行解答，使他们体会到三角函数与非三角函数部分之间的联系。例如：已知x、y都是正实数，1/x+9/y=1，求解x+y的最小值。刚开始学生们都摸不着头脑，找不到解题的思路，于是笔者提示道：“可以尝试利用cos2α+sin2α=1这一性质。”在笔者的提示下，学生们假设cos2α=1/x，sin2α=9/y，那么x+y=1/cos2α+9/sin2α=10+tan2α+9/tan2α，最后利用基本不等式的相关知识可以得到10+tan2α+9/tan2α≥10+6=16（当且仅当tan2α=3时等号成立），即x+y的最小值为16。

在上述教学活动中，笔者通过有意识地引导，使学生们认识到了三角函数知识与其他知识点之间的联系，提高了他们应用三角函数解决问题的基本能力，显著提高了课堂教学的效率。

三、 抽象与综合，学会反省

三角函数这章的公式较多且灵活性很强，学生们若不能将这些琐碎的知识点整合起来，很容易造成综合应用能力差的问题。笔者认为，教师采用传统的灌输式方法去帮助学生梳理整章的知识点远不如引导学生自我整理效率要高，因此可以通过引导他们自我反省，促进他们提高自身的抽象与综合能力。

比如笔者在对《正弦函数的性质》这一节的内容进行教学时，在基本完成教学目标后，笔者对学生们讲到：“现在大家对这节课的内容做一个总结，你学到了什么知识，掌握了哪些数学思想？收获了什么？”随后笔者随机选择学生进行发言，例如有的学生谈到：“我学会了用五点作图法绘制正弦函数的图像，掌握了正弦函数的值域是[-1，1]……”在该学生回答完毕后，笔者让其他学生进行补充。例如有学生补充道：“我体会到了数形结合思想的巨大用处，比如在比较正弦值大小时，可以首先做出函数图像，然后结合函数图像实现快速地比较与判断。”

在上述教学活动中，笔者通过引导学生进行自我反省与总结，促进他们对整堂课的内容进行了综合与梳理，不仅使他们进一步巩固了所学知识，查漏补缺，同时也加强了学生们的反省抽象能力，显著提高了课堂教学的效率。

综上所述，教师通过引导学生“适度抽象”“联系对比”以及“学会反省”，能够有效增强学生们对三角函数的理解与掌握，提高他们的思维能力，深化其数学素养！

参考文献：

[1]张安涛，汤强.新课程背景下高中三角函数教学中的问题及对策[J].教育教学论坛，2013（37）：117.

[2]吴义平.高中数学三角函数教学要点分析[J].学周刊，2016（28）：8.

作者简介：

张英，云南省曲靖市，富源县胜境中学。endprint