有界闭域上二元连续函数有界性的证明

罗华明+彭长文+郑云+金开龙+杨景+杨珊

摘 要：闭区间上一元连续函数的有界性定理有多种证明方法，其中一种方法是利用闭区间套定理从反面去证明.受此启发，本文主要利用闭域套定理来证明有界闭域上二元连续函数的有界性定理.

关键词：二元连续函数；有界性定理；闭域套定理

一、 引言

在19世纪，连续函数的概念是人们探讨的主要对象，波尔查诺、柯西和魏尔斯特拉斯等人给出了连续函数的定义。波尔查诺是第一个开始研究连续函数性质的数学家，也是第一个用极限概念给出函数在某个区间连续的恰当定义的。在柯西、波尔查诺、海涅等一大批数学家的研究下，连续函数的性质和与其相关的定理都已经形成了一个比较严谨的系统。一元连续函数有许多重要的性质，如：一元连续函数在闭区间上有界，并且存在最大值和最小值，以及一元连续函数在闭区间上是一致连续的。在引入二元函数的概念后，一元连续函数的相关性质也就理所当然地被平行推广到二元连续函数上。目前，在国内也有许多的数学爱好者对连续函数的性质进行研究，如在文献中，都有对一元和二元连续函数进行比较系统的研究，还有丽水学院数理学院胡亚红老师在文献中研究了闭区间上一元连续函数的有界性，鄂州职业大学计算机系姜爱国老师在文献中对二元函数连续性进行了探讨。

学完文献《数学分析讲义》下册中的“多元函数的极限与连续”一章后，通常会提出这样的问题：“文献《数学分析讲义》上册中已经用闭区间套定理证明了闭区间上连续函数的有界性定理，那么我们是否可以用闭域套定理证明有界闭域上二元连续函数的有界性定理？”本文就这个问题进行研究，给出用闭域套定理直接证明有界闭域上二元连续函数的有界性定理的证明方法。

三、 讨论与总结

上述用闭域套定理对有界闭域上二元连续函数的有界性定理进行证明，从一侧面反映了此證明与用闭区间套定理证明闭区间上连续函数的有界性定理有异曲同工之妙，但值得注意的是：利用闭区间套定理证明闭区间上连续函数的有界性定理时，只需要将该闭区间不断地二等分，就可以得到一列闭区间套；利用闭域套定理对闭域上二元连续函数的有界性定理进行证明时，我们应该将该闭域几等分，如何去等分却是个难题。

（1） 一般证明连续函数有界性的问题通常采用反证法；

（2） 当一个闭域不停地进行划分时，不仅可以得到一个闭域套，还可以得到一闭域列{Dn}。

参考文献：

[1]刘玉琏等.数学分析讲义（第五版，上册）[M].北京：高等教育出版社，2008.

[2]华中师范大学数学系.数学分析（第三版，下册）[M].北京：高等教育出版社，2001.

[3]胡亚红.用实数完备性证明闭区间上连续函数的有界性[J].丽水学院学报，2010，32（5）：8-10.

[4]姜爱国.二元函数连续的探讨[J].鄂州大学学报，2011，18（2）：12-14.

作者简介：

罗华明，彭长文，郑云，金开龙，杨景，杨珊，贵州省贵阳市，贵州师范学院数学与计算机科学学院。endprint