例析离散型随机变量及其分布列

余锦银

离散型随机变量及其分布列是随机事件及其概率的延续. 通过研究全国和各省的高考题，不难发现，“求离散型随机变量及其分布列”是一种非常重要的题型. 本文通过对这种类型试题的研究，总结了几种常见的基本题型与求解方法，供大家参考.

离散型随机变量的分布列的性质

离散型随机变量的分布列的性质主要有三方面的作用：（1）利用“总概率之和为1”可以求相关参数的值或取值范围；（2）利用“离散型随机变量在某范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和”求某些特定事件的概率；（3）可以根据性质判断所得分布列的结果是否正确.

例1 若离散型随机变量X的分布列为

[X 0 1 P [9c2-c] [3-8c] ]

则常数[c]=________，[P（X=1）]=________.

解析 由离散型随机变量分布列的性质知，

[9c2-c+3-8c=1，0≤9c2-c≤1，0≤3-8c≤1.] 解得，[c=13.]

所以[P（X=1）=3-8×13=13.]

点评 （1）利用分布列中各概率之和为1可求参数的值，此时要注意检验，以保证每个概率值均为非负数. （2）求随机变量在某个范围内的取值概率时，根据分布列将所求范围内随机变量对应的取值概率相加即可，其依据是互斥事件的概率加法公式.

离散型随机变量分布列的求法

（1）找出随机变量X的所有可能取值xi，i=1，2，3，…，n；（2）求出各取值的概率P（X=xi）=pi；（3）列成表格并用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确.

例2 甲、乙两位射击运动员，在某天训练中已各射击10次，每次命中的环数如下：

（1）通过计算估计，甲、乙两人的射击成绩谁更稳；

（2）若规定命中8环及以上环数为优秀，以频率作为概率，请依據上述数据估计，甲在第11至第13次射击中获得优秀的次数[ξ]的分布列和期望.

分析 （1）分别计算甲、乙两人射击的平均成绩与方差，比较其大小即可；（2）由题意得，甲运动员命中8环及以上的概率为[p=25，]分别计算[ξ=0，1，2，3]时的概率，即可得到相应的概率分布列与期望.

解 （1）由题意得，[x甲=1107+8+…+4=7，]

[x乙=1109+5+…+7=7，]

所以[s2甲=1107-72+8-72+…+4-72=4，]

[s2乙=1109-72+5-72+…+7-72=1.2.]

因为[s2乙

所以乙比甲的射击成绩稳定.

（2）由题意得，甲运动员命中8环及以上的概率为[p=25.]

则甲在第11至13次射击中获得优秀次数的情况[ξ]取得[0，1，2，3.]

所以[P（ξ=0）=35×35×35=27125，]

[P（ξ=1）=C13×25×35×35=54125，]

[P（ξ=2）=C23×252×35=36125，]

[P（ξ=3）=253=8125.]

所以[ξ]的分布列为

例3 某商店试销某种商品20天，获得如下数据：

试销结束后（假设该商品的日销售量的分布规律不变），设某天开始营业时有该商品3件，当天营业结束后检查存货，若发现存量少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货，将频率视为概率.

（1）求当天商店不进货的概率；

（2）记X为第二天开始营业时该商品的件数，求X的分布列.

解析 （1）P（当天商店不进货）=P（当天商品销售量为0件）+P（当天商品销售量为1件）=[120+520=310.]

（2）由题意知，X的可能取值为2，3.

P（X=2）=P（当天商品销售量为1件）=[520=14，]

P（X=3）=P（当天商品销售量为0件）+P（当天商品销售量为2件）+P（当天商品销售量为3件）= [120+920+520=34或P（X=3）=1-P（X=2）=34.]

所以X的分布列为

[X 2 3 P [14] [34] ]

点评 在求解随机变量的概率值时，注意结合计数原理、古典概型等知识求解.

超几何分布

若随机变量X满足如下条件，则X服从超几何分布. 第一，该试验是不放回地抽取n次；第二，随机变量X表示抽取到的某类个体的个数（如次品件数或类似事件），反之亦然.

超几何分布的特征：（1）考查对象分两类；（2）已知各类对象的个数；（3）从中抽取若干个个体，考查某类个体数X的概率分布.

例4 某小组共10人，利用假期参加义工活动. 已知参加义工活动次数为1，2，3的人数分别为3，3，4. 现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会.

（1）设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A发生的概率；

（2）设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列.

解析 （1）由题意得，[P（A）=C13C14+C23C210=13.]

所以事件A发生的概率为[13.]

（2）随机变量X的所有可能取值为0，1，2.

[P（X=0）=C23+C23+C24C210=415，]

[P（X=1）=C13C13+C13C14C210=715，]

[P（X=2）=C13C14C210=415.]

所以随机变量X的分布列为

[X 0 1 2 P [415] [715] [415] ]

点评 求超几何分布的分布列的步骤：第一步，验证随机变量服从超几何分布，并确定参数[N]，[M]，[n]的值；第二步，根据超几何分布的概率计算公式计算出随机变量取每一个值时的概率；第三步，用表格的形式列出分布列.

离散型随机变量的交汇问题

高考对随机变量的考查以分布列和期望为主，涉及填空题、选择题、解答题三种形式，且常在解答题中考查；涉及的数学思想方法主要有分类讨论思想、转化与化归思想.

例5 某超市在节日期间进行有奖促销，凡在该超市购物满400元的顾客，将获得一次摸奖机会，规则如下：奖盒中放有除颜色外完全相同的1个红球、1个黄球、1个白球和1个黑球. 顾客不放回地每次摸出1个球，若摸到黑球则停止摸奖，否则继续摸球. 规定摸到红球奖励20元，摸到白球或黄球奖励10元，摸到黑球不奖励.

（1）求1名顾客摸球2次停止摸奖的概率；

（2）记[X]为1名顾客摸奖获得的奖金数额，求随机变量[X]的分布列和数学期望.

解析 （1）这是一个古典概型问题，摸2次后停止摸奖，说明第一次不是黑球，而第2次摸的是黑球；（2）因为是不放回地摸球，因此得奖金额可能为0元、10元、20元、30元、40元，这样随机变量[X]的分布列就要求出. 奖金0元，说明第1次摸的是黑球；奖金10元说明第一次摸的是拍球或黄球，第2次黑球；奖金20元，说明第1次红球，第2次黑球或第1、第2次是白球或黄球，第3次黑球；奖金30元，第1次与第2次里有1次是红球，另一次为白球或黄球，第3次黑球；而奖金40元说明第4次是黑球. 由上可计算出分布列、期望.

（1）设“1名顾客摸球2次停止摸奖”为事件[A]，

则[P（A）=A13A24=14].

故1名顾客摸球2次停止摸奖的概率为[14].

（2）随机变量[X]的所有取值为[0，10，20，30，40].

[P（X=0）=14]，[P（X=10）=A12A24=16]，

[P（X=20）=A22A34+1A24=16]，[P（X=30）=C12A22A34=16]，

[P（X=40）=A33A44=14].

所以随机变量[X]的分布列为

[EX=0×14+10×16+20×16+30×16+40×14=20].

点评 本题考查利用古典概型求分布列，具有一定的综合性. 求离散型随机变量的分布列有三个步骤：①明确随机变量取哪些值；②利用排列、组合与概率知识计算随机变量取每一个值时的概率；③将结果用二维表格形式给出. 计算概率时注意结合排列与组合知识.

而解决分布列、期望与方差及应用等问题时，一般利用它们相关的性质就可以求解，或通过建立方程来解决.

例6 据IEC（国际电工委员会）调查显示，小型风力发电项目投资较少，且开发前景广阔，但受风力自然资源影响，项目投资存在一定风险. 根据测算，风能风区分类标准如下：

假设投资A项目的资金为[x（x≥0）]万元，投资B项目的资金为[y（y≥0）]万元，调研结果是：未来一年内，位于一类风区的A项目获利30%的可能性为0.6，亏损20%的可能性为0.4；位于二类风区的B项目获利35%的可能性为0.6，亏损10%的可能性是0.1，不赔不赚的可能性是0.3.

（1）记投资A，B项目的利润分別为[ξ]和[η]，试写出随机变量[ξ]与[η]的分布列和期望[E（ξ），E（η）]；

（2）某公司计划用不超过100万元的资金投资于A，B项目，且公司要求对A项目的投资不得低于B项目，根据（1）的条件和市场调研，试估计一年后两个项目的平均利润之和[z=E（ξ）+E（η）]的最大值.

解析 （1）A项目的利润[ξ]的分布列为

[[ξ] [0.3x] [-0.2x] [P] 0.6 0.4 ]

[E（ξ）=0.18x-0.08x=0.1x].

B项目的利润[η]的分布列为

[[η] [0.35y] [-0.1y] 0 [P] 0.6 0.1 0.3 ]

[E（η）=0.21y-0.01y=0.2y].

（2）由题意知，x，y满足的约束条件为

[x+y≤100，x≥y，x，y≥0.]

由（1）可知，[z=E（ξ）+E（η）=0.1x+0.2y]，

当x=50，y=50时，z取得最大值15.

所以对A，B项目各投资50万元，可使公司获得最大利润，最大利润是15万元.

在高考解答题中，离散型随机变量常常与等可能事件、互斥事件、相互独立事件等多种事件交汇在一起进行考查. 另外，在近几年的高考题中也出现了离散型随机变量与函数、不等式等知识的交汇创新题. 因此在透彻理解各类事件的基础上，准确把题中所涉及的事件进行分解，明确所求问题所属的事件类型.endprint