活用解题法，巧去绝对值

☉重庆市第一中学校 黄勇庆

绝对值是数学中的一个基本概念，以其为核心生成的函数问题也是高考的重点题型，其具有类型多样、知识面涵盖广、综合性强特点.解决该类问题要从方法选取入手，灵活转换去绝对值，实现抽象问题的条理化、简单化.

一、真题解析，试题点评

1.真题呈现

（1）求M；

（2）证明：当a，b∈M时，|a+b|＜|1+ab|.

2.试题解析

分析：（1）首先去掉绝对值，根据自变量x的取值可确定f（x）为分段函数，然后进行分类讨论，确定在每一段上满足f（x）＜2的解集，最后取并集即可.（2）证明|a+b|＜|1+ab|成立，即证明（a+b）2＜（1+ab）2，从而去掉绝对值，证明（a+b）2-（1+ab）2＜0成立，则可证原不等式成立.a，b∈M，利用第（1）问的结论即可证明.

（2）由（1）可知，当a，b∈M时，-1＜a＜1，-1＜b＜1，从而（a+b）2-（1+ab）2=a2+b2-a2b2-1=（a2-1）（1-b2）＜0，因此|a+b|＜|1+ab|.

3.试题点评

本题目主要考查绝对值不等式问题，解题的关键是去掉函数的绝对值.第（1）问采用限制定义域，将函数表示为分段函数的方式来去绝对值，然后利用分类讨论的思想，分段讨论求解集；第（2）问则巧妙利用平方的方式去掉绝对值.绝对值问题是常考题型，同时去绝对值的方式也多种多样，除上述方法外，还可以利用绝对值的几何意义、反解系数、三角不等式等方式来化解绝对值.

二、方法衔接，分段讨论

利用分段讨论的方式不仅可以破解单参数绝对值问题，同样可以用于双参数绝对值问题，其方法思想同样是利用参数的取值范围或限制条件将绝对值消去或合并为同一绝对值，需要注意的是分段需无重复无遗漏，逐层剖析，总结概括.

例1（2015年浙江高考数学卷）已知函数f（x）=x2+ax+b（a，b∈R），记M（a，b）是|f（x）|在区间［-1，1］上的最大值.

（1）略；

（2）当a，b满足M（a，b）≤2时，求|a|+|b|的最大值.

分析：由M（a，b）≤2的关系可以得出|a+b|≤3，|a-b|≤3.求|a|+|b|的最大值，可对其进行分段讨论，转化为特定条件下的值，结合上述推导关系可知|a|+|b|≤3，接下来只需验证|a|+|b|=3，即a=2，b=-1或a=-2，b=-1时的情形即可.

解：M（a，b）≤2，可得|1+a+b|=|f（1）|≤2，|1-a+b|=|f（-1）|≤2，从而有|a+b|≤3，|a-b|≤3.

上述为涉及双参数的绝对值问题，利用约束条件对其分段讨论，达到了合并简化的目的，整个过程思路清晰，求解简洁.分段讨论应是建立在对研究对象充分分类的基础之上，划分的标准应科学合理，讨论过程逐级有序.

三、解法拓展，典题讲解

对于涉及二次函数的绝对值问题，可对分段讨论方法进行拓展，在分段的基础上采用反解系数的方式，将所求参数进行反解，然后结合相关条件去绝对值.该种方法可有效分析函数在各个分段区间内的取值，通过逆转思维的方式巧妙求解.

试题：设f（x）=ax2+bx+c（a≠0），若|f（0）|≤1，f（1）≤1，（f-1）≤1，试证明：对于任意-1≤x≤1，有|（fx）|≤

分析：对于涉及二次函数的绝对值问题，可采用反解系数法.已知f（x），可用f（-1）、f（1）、f（0）表示参数a、b和c，然后在分段区间内采用反解的方式表示|f（x）|，最后利用不等式缩放证明.

有效利用|f（0）|≤1，f（1）≤1，f（-1）≤1进行反解系数，充分结合对称轴处的函数值的绝对值比端点函数值的绝对值要小的特点达到了去绝对值的目的，解法新意，过程简洁.需要注意的是，在解题过程中要充分结合定义域进行分段讨论，力保求解准确合理.

四、深入思考，教学反思

1.把握基础，强调综合

近年来对于绝对值的考查趋近于综合性，不再是传统的单一考法，通常结合函数最值、函数单调性、不等式性质等知识，但无论如何变化，基础知识的学习都是教学和学习的重点.“夯实基础、倡导综合”是课堂教学的主旨，尊重学生的主体地位，从学情出发，努力帮助学生扎实基础，掌握基本知识，在此基础上开展综合教学，完善知识体系，促进知识的有效融合.综合题是一种珍贵的教学资源，合理利用，充分讲解，帮助学生建立解题的综合思维，提升综合能力，为未来的高考做好充分的准备.

2.拓展方法，发散思维

数学是一门注重逻辑思维的学科，不仅涉及的知识点众多，还存在大量解题的思想方法，以绝对值的综合题为例，可以采用分段讨论、反解系数、三角不等式等方法求解，合理选取解题方法，可以达到事半功倍的效果，因此在教学中教师要有意识地引导学生进行针对性练习，通过一题多解，解法拓展等方式培养学生的发散思维，提升解题能力.中学的数学教学不仅是知识的传授过程，更应该是思想方法提升、数学思维培养的过程，帮助学生掌握解题方法，拓展解题思维应该是课堂教学的重点.

五、写在最后

总之，对于含有绝对值的函数问题要将去绝对值作为解题的重点，从解题的策略上来讲，要紧密结合绝对值的性质，合理选取解题方法，有效借助分段讨论区间、反解系数等方式去绝对值，达到高效解题的效果.在教学中教师要注重知识的综合讲解，努力引导学生拓展解题方法，促进思维的发散，从思维层面提升学生的解题能力.

1.王新兵.例谈高考中对绝对值问题的考查［J］.中学数学（上），2017（09）.

2.陈亚娟.例谈高考中绝对值问题的解题策略［J］.中学数学（上），2017（11）.

3.张海峰.一个问题引出的“微专题”——数形结合解绝对值不等式［J］.数学教学通讯，2017（15）.

4.孙世杰.含参绝对值函数及不等式的解法探索［J］.数学教学通讯，2015（32）.F