数学理性：人文精神的重要体现

○江苏省南京市长江路小学 周卫东

一、引子：理性精神在现实中被“遮蔽”

爱因斯坦是当代著名的物理学家。有一天，爱因斯坦问他的学生：“有两个人同时从烟囱里爬出来，一个人很干净，另一个满脸煤灰，你认为哪一个会立即去洗澡？”学生毫不犹豫地说：“肯定是那个满脸煤灰的人！”“是这样吗？请考虑得再仔细些再回答。”爱因斯坦不置可否又似乎在提醒些什么。“啊，我明白了。”学生说，“那位干净的人会马上去洗澡，因为他看到对方脏，立刻想到自己也脏，所以他马上去洗澡。”这位学生的回答很有把握，可他的导师却又否定了他的想法。“不对！”爱因斯坦这样评价：“你的两次回答都不对，尽管从表面看，你的每个回答都有逻辑性，第一种情形是认为只有脏的人才会洗澡，但忽略了应从什么角度去观察，所以错误；第二种情形是考虑到观察者的角度以及各自内心的心理，但却忽略了最重要的、也是最关键的一点，就是两个人同时从烟囱里钻出来，怎么会一个很脏，而另一个却很干净呢？这显然是不可能的呀！”学生这才明白，为什么回回错误，原因是自己只停留在问题的表面进行分析和推理，没有首先对问题的本身进行重视和判断，而事实上导师给出的却是一个不成立的问题。

难怪爱因斯坦对此这样下结论：“如果你所讨论的命题不合逻辑，那么不管你运用了多么合乎规则的逻辑，你还是找不到正确的答案！”

类似的“学生找不到答案”的例子还有很多。比如，1991年，台湾出版的《数学传播》上刊登了一篇文章，其中提到一个欧洲的笑话：“一条船上，有75头牛，32头羊，问船长几岁？”文章中说，美国的小学生有40%的人说是43岁。因为75和32相加是107，不会是船长的年龄，这两个数乘起来更不可能，只有两数相减等于43才有可能。

为什么学生会找不到答案？究其原因，是因为他们的批判性思维意识与批判性能力严重缺失，归根到底，是缺少一定的理性精神。长期以来，学生对教师的惯常教学早已“心中有数”，学习就是接受、接受还是接受。凡是教师问的问题都是有答案的而且大多数都是唯一的，凡是教科书中的、教师教的知识都是绝对正确的，凡是历史上形成的结论都是不容怀疑或否定的。如此，学生的问题意识被消减，怀疑的眼光被遮蔽，批判性思维等理性精神成为个体素养结构中的“奢侈品”。

二、厘定：数学理性的价值与内涵

人类的文明是靠理性来建构的，因此世界各大文明中均不乏理性。数学作为人类文化的一部分，不仅包括数学的知识、方法，还包括数学的语言、思想、精神等。特别是在自然科学和社会科学发展的过程中，数学将其理性精神发挥得淋漓尽致，不仅为人类的发展提供了理性的思维方式和工具，也为人类思想指引了方向。

数学理性是西方文明极其重要的特点，西方文明发展的各个时期、各个方面几乎都受到数学理性的深刻影响。数学理性是数学科学的精髓，实质上是人文精神的一种。具体来说，数学理性的内涵可以从以下几方面理解：

客观的、理智的研究立场。自然科学研究的对象是不以人类意志为转移的、独立的客观世界，因此我们要采取纯客观的、理智的态度，而不应掺杂有任何主观的、情感的成分。即使像数学这样，其研究对象并非客观世界中真实存在的，而是人类抽象思维的产物，但是在研究中，我们还是应当采取纯客观的立场，把它看成一种不依赖人类的独立存在，并通过严格的逻辑分析去揭示其内在性质和关系。比如三角形的概念是人类的创造，但是研究其内角和存在的规律时，依然要从客观的角度去思考，并讨论在不同几何体系背景下的内角和的差异。

精确的、定量的思维方式。数学理性的“数学味”就体现在它的“精确”“定量”上，而不应是含糊的、直觉的。这既是科学研究的基本方法，也是科学研究的基本目标，即揭示自然界中的数学规律。以“圆周率”为例，从《周髀算经》中的“周三径一”，到“徽率3.1416”，再到祖冲之算出圆周率在3.1415926与3.1415927之间，再到1882年德国数学家林德曼证明π是一个无理数……都体现出对人类对圆周长与直径关系精确、定量的追求。小学数学课程内容中安排的探索规律，也都是期望学生能从数量上发现规律、总结规律、应用规律。

批判的、开放的理性精神。批判的精神让我们时刻提醒自己不要沦为权威主义者，而要重视用可靠的论证来判断真理，正如亚里士多德的名言所述“吾爱吾师，但吾更爱真理”；而开放的精神是对批判精神的重要补充，这就是要以真理为目标，在探索真理的过程中，保持头脑的开放性，不断接纳别人的想法，修正自己的观点。美国数学家乔治·波利亚称前者是“理智上的勇气”，称后者为“理智上的诚实”。

抽象的、超验的价值取向。自然科学研究的目的是为了超越直观经验，通过抽象思维达到对事物本质普遍规律的认识，只要保持这种抽象、超验的思维取向，才能将特殊转化为一般，感性上升为理性，透过现象看到本质，将眼前的现实转化为未来的永恒。

三、求解：数学理性的培养策略

学生数学理性的形成是一个长期积累的过程，对学生数学理性的培养首先需要教师提高自身对数学理性的认识和理解，进而才能在平时的教学中对学生进行有针对性的培养。郑毓信教授曾提到：人们正是经由“理性思维”的学习与应用逐步发展起了“理性精神”，也即由“思维方法”不知不觉地过渡到了“情感、态度与价值观”。也就是说，理性思维的培养是数学理性精神形成的关键。

第一，重视数学抽象能力的培养。

数学抽象就是从数量关系和空间形式的角度抽取事物的本质特征，从而提炼数学概念、构建数学模型，创立数学理论的方法。在教学中重视数学抽象，意味着帮助学生从客观的角度来看待研究对象，从而在定量、精确等角度把握事物的本质特征。

例如，在教学中可以向学生讲解著名的“哥尼斯堡七桥问题”，让学生明白，欧拉正是通过逐步抽象的思想和方法将“哥尼斯堡七桥问题”转化为“一笔画问题”，使问题得到迅速、完美的解决。

再如，教学“分数的初步认识”，如何让第一次接触分数的学生理解分数的含义？我通过创设“猪八戒吃饼”的故事情境，让学生面对图形（图中涂色部分），思考：“猪八戒要的一小块儿到底有多大呢？怎么用一句话或一个数来表示？”学生进行想象与创造，随后在大量原生态的作品中选择有代表性的四幅进行对比：“这些作品，哪些是相同的？哪些是不同的？”最后达成“这些作品中都有4，都有1”“4就是一共分成了4份，1是猪八戒要的其中的一份”的共识。这样的抽象，淡化了形式，扣住了本质，让学生对分数的本质有了实质性的理解。

第二，注重数学推理能力的培养。

当下的数学教学，应特别倡导让学生采用“观察和实验”的方法进行学习，但是如果学生始终停留在“实验和归纳”的水平上是不够的，不能真正获得数学理性。因为数学理性强调有条理、有依据地探究问题和解决问题，因此教学中需要重视“验证和推理”。

例如，在研究“平行四边形面积计算”时，可以直接以“大问题”切入：“我们已经学过了长方形面积的计算方法，请大胆猜测一下，平行四边形面积的计算公式是什么呢？”学生面临这一问题，可能会受长方形面积计算公式的影响，提出“用底乘邻边”的猜想。在此基础上，引导学生用“画小方格数”“割补转化”“反证”等多种方法来验证这种猜想的正确性，从而培养了学生的推理能力。

又如，在探索长方体特征的时候，不能仅仅通过分类计数发现长方体的棱数，还要积极引导学生通过面数，顶点数推出棱数，并用算式表达为6×4÷2=12和8×3÷2=12。只有在教学中重视验证和推理，才能发展学生的数学理性。

第三，注重发现问题、质疑批判意识的培养。

“问题是学习的心脏”，我们要特别留意并珍视那些可能瞬息即逝的“问题”，而那些“旁逸斜出”的“问题”往往就是理性思维的“发端”。在学习“七巧板”这一内容时，一位学生摆弄着学具，满脸疑惑地问我：“老师，不是说随便怎么摆这七块，总面积都是不变的吗？我的第二种摆法怎么会多出这么一部分呢？”这一问题让我困惑了很多天，到现在还没有找到一个贴切的答案。我鼓励学生利用课余时间大胆猜想、小心求证、不懈求解，一时间，因批判、质疑所带来的一股“探究热”“问题热”，极大地驱动了思维的积极性，提升了学生发现问题、质疑批判的思维品质。

第四，注重追根溯源、开拓超越精神的培养。

数学有着强大的教化功能，有着较浓的“善”的品质，比如数学探索过程中的执着与坚韧，比如论证过程中的务实与谨严，比如数学创造过程中的开拓与超越，乃至耐心、责任感、敬业品质、民主精神等。

刘德武老师在教学“用字母表示数”这一内容时，围绕“在乘法中，乘号如何简写、省略”这一难点的教学，令人拍案叫绝。他模拟了一个数学痴迷者探索追求的感人故事，通过主人公三次向世界数学家大会写信，陈述自己“把‘×'号逐渐缩小写成‘·'，以示与‘X'相区别——为免于与小数点相混淆，那就干脆不要了——符号不写会混淆，那就在前面加一个前提条件”的阶段“研究成果”。故事形象有趣，亦庄亦谐，驱人奋进。让学生不断经历着矛盾冲突时的“心潮激荡”和问题解决时的“峰回路转”，在其脑海中勾勒出一位执着的数学痴迷者：在厚厚的稿纸前，时而冥思苦想，时而奋笔疾书的久远的历史画卷。让学生从中“经历”数学思想的逻辑重演，体验这位探索者每一次创造的快慰，等待中的期盼，受拒后的苦闷，成功时的欣慰，从而催生出一种不畏失败、越挫越坚的高尚的人文情怀。

第五，注重实事求是、服膺真理精神的培养。

“我思故我在”是笛卡尔全部认识论哲学的起点，也是他“普遍怀疑”的终点。笛卡尔主张用理性来审查一切，他认为，获得真理的唯一正确途径就是通过怀疑一切来排除那些可疑的命题，而后发现那唯一不可怀疑的第一原理，再从它推演出其他一切真理。听过一节课“三角形的内角和”，学生们撕下三角形纸片的三个角拼在一起，用量角器量，都说180度。一个男生说：“不对啊，我的就是182度！量了两遍……”教师不置可否，面对全班大声地说：“通过刚才的验证，我们知道了——”学生齐答：“三角形的内角和是180度”。“量，根本就不好……”男生嘀咕着。课后，教师解释这个男生很另类。令人心痛，“另类”的背后恰恰是理性精神、可贵的数学品格！那些稍纵即逝的时机，正是我们涵养学生理性思维的契机。

杜威曾经指出：“在教学中，以外在的成果为标准的做法，表现在人们只重视“答案正确”，从而使教师无法集中注意力去培养学生的理性思维；而在学生的操行方面，仅仅要求学生遵守校训、校规，而忽略了学生积极探索和深思习惯的养成，这都不利于学生反思思维习惯的养成。”因而，在实践层面，我们一定要引导学生养成独立地发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的习惯，养成不怕困难、百折不挠的精神，培养学生服膺真理、实事求是、言必有据、一丝不苟、严谨认真、崇尚科学的理性精神，以此引导学生学会用数学来修行、立言、做人，这才是教育的应有之义、原本之意！