有心力问题的初步研究

冯晨

【摘要】在学习高中物理选修3-5时，我想对于散射的问题（卢瑟福α粒子实验）有更深入的了解，于是参考网上资料和大学物理课本开始研究有心力问题。本文在开始时研究了极坐标系下的运动方程，得到了速度与加速度的表达式，同时得到了有心力在极坐标系下的表示形式，由有心力F切向方程和径向方程可得出比耐公式m（-h2u2■-■h2u4）=Fρ。

当有心力为万有引力时，代入比耐公式可得到ρ=■，判断出质点运动轨迹为圆锥曲线，不同情况下可分为椭圆，双曲线，抛物线。

当有心力为两个正电荷电荷间斥力时，代入比耐公式可得到ρ=■，判断出运动轨迹为双曲线。

【关键词】极坐标系  有心力  比耐公式

【中图分类号】G633.7 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2018）40-0160-02

1.背景介绍

在学习高中物理选修3-5时，我学习了碰撞、反冲等知识，但是课本上有的只是简单的两小球相撞后的轨迹的问题和散射问题（卢瑟福α粒子实验），我想对于散射的问题有更深入的了解，于是参考网上资料和大学物理课本开始研究有心力问题。

2.极坐标系下的运动方程

研究有心力问题需要用到极坐标系的一些知识，可是高中数学中的极坐标系的知识还不足够解决这一问题，在《大学物理学》这本书里有这部分的知识。

极坐标系是指在平面内由极点，极轴和极径组成的坐标系。在平面上取定一点O，称为极点。从极点O出发引一条射线，称为极轴。φ表示极轴转过的角度，ρ表示点到极点距离。极坐标下的位矢A可以表示为：

A=Aρeρ+Aφeφ

对于有心力问题，如果把有心力的原点就当作极坐标的极点，那么质点的位置矢量就从极点指向质点位置，位矢就退化为：

ρ=ρeρ

下面我们研究一下极坐标下基矢的求导，利用直角坐标系的基矢来表示极坐标下基矢：

eρ=cosφi+sinφj

eφ=-sinφi+cosφj

对这两个基矢对时间求导：

■=（-sinφii+cosφjj）φ=φeφ

■=（-cosφii-sinφjj）φ=-φeρ

■=■eρ+ρ■=ρeρ+ρφeφ

由此得到速度：

ρ=ρeρ+ρφeφ

进一步对上式速度求导，可以得到加速度：

ρ=（ρ-ρφ2）eρ+（ρφ+2φρ）eφ

3.有心力问题的研究

3.1 有心力问题

质点在有心力场中的运动是自然界的运动之一。对于有心力问题，本文通过牛顿运动定律来解决。

有了2中的知识，我们就可以求解有心力问题，平面内有质点m，受到来自极点O的有心力作用，有心力形式为：

F（r）=F（r）■

由上文2中推导可知，质点m在运动中的牛顿微分方程是F=mρ=（ρ-ρφ2）eρ+（ρφ+2φρ）eφ

把这个方程分为径向和切向：

径向：m（ρ-ρφ2）=Fρ

切向：m（ρφ+2φρ）=Fφ

因为是有心力，F只有径向分量，切向方程可以变为：

m（ρφ+2φρ）=m■■（ρ2φ）=0

因此，ρ2φ≡h，h为与时间无关的常数。

定义u≡■φ=■=hu2

则可求出ρ=-h■  ρ=-h2u2■

从而径向方程变為m（-h2u2■-■h2u4）=Fρ，即比耐公式。

3.1.1如果这里的有心力为高中所学的万有引力，即Fρ=-G■≡-k2■=-k2u2m代入比耐公式得：■+u=■

令ξ=u-■，得■+ξ=0

所以ξ=Acos（φ-φ0）  u=Acos（φ-φ0）+■得：

ρ=■=■

这就是质点m运动的轨迹。

3.1.2如果这里的有心力为两个正电荷电荷间斥力，即Fρ=-■■≡k2■=k2u2m代入比耐公式得：■+u=-■

令ξ=u+■，得■+ξ=0

所以ξ=Acos（φ-φ0）  u=Acos（φ-φ0）-■

ρ=■=■

3.2轨迹分析

对于3.1.1中求得的质点m运动的轨迹，如果转动极坐标轴使得φ0=0，并令p=■  e=A■，则轨迹方程变为ρ=■

这就是极坐标系下的圆锥曲线方程。

所以质点m在万有引力有心力的作用下形成的轨迹为圆锥曲线，当e小于1时，是椭圆，当e等于1时，是抛物线，当e大于1时，是双曲线。

对于3.1.2中求得的质点m运动轨迹，如果转动极坐标轴使得φ0=0，并令p=■ e=-A■，则同样的轨迹方程变为ρ=■

这个轨迹为双曲线的一支。

4.总结

本文在开始时研究了极坐标系下的运动方程，得到了速度与加速度的表达式，同时得到了有心力在极坐标系下的表示形式，由有心力F切向方程和径向方程可得出比耐公式m（-h2u2■-■h2u4）=Fρ。

当有心力为万有引力时，代入比耐公式可得到ρ=■，判断出质点运动轨迹为圆锥曲线，不同情况下可分为椭圆，双曲线，抛物线。

当有心力为两个正电荷电荷间斥力时，代入比耐公式可得到ρ=■，判断出运动轨迹为双曲线。

参考文献：

[1]卢德馨.大学物理学[M].北京：高等教育出版社，1998.