关于大学课程学习中梯度、散度和旋度的简单解析

金远航+何开棘+王开明

摘 要：大学生常常被学习中遇到梯度、散度和旋度的问题困扰，本文针对这几个问题进行了简单解析，首先对它们的数学概念、表达方法以及对应的物理含义进行了概括，明确梯度、散度和旋度的区别，然后对学习中遇到的具体问题进行了由表及里地分析、概括和总结，从而加深对这三个问题的理解。

关键词：梯度 散度 旋度 标量函数 矢量函数

中图分类号：G642 文獻标识码：A 文章编号：1003-9082（2017）10-0-01

一、梯度、散度和旋度的概念及意义

1.梯度

设体系中某处存在某一物理参数（如温度、速度、浓度等标量）为w，在与其垂直距离为dy处该参数为W+dW，则称为该物理参数的梯度 ，也即该物理参数的变化率.如果参数为速度、浓度或温度，则分别称为速度梯度、浓度梯度或温度梯度。在向量微积分中，标量场的梯度是一个向量场，标量场中某一点上的梯度指向标量场增长最快的方向，梯度的长度是这个最大的变化率。更严格的说，从欧氏空间Rn到R的函数的梯度是在Rn某一点最佳的线性近似.在这个意义上，梯度是雅戈比矩阵的一个特殊情况，在单变量的实值函数的情况下，梯度只是导数，或者，对于一个线性函数，也就是线的斜率。梯度一词有时用于斜度，也就是一个曲面沿着给定方向的倾斜程度或者说某个物理量的方向导数。

2.散度

散度定义为在矢量场 中的任一点P处，作一个包围该点的任意闭合曲面，当所限定的区域直径趋近于0时，其边界面上的矢量积分和区域体积的比值，即的极限称为矢量场在点P处的散度，表示为。由散度的定义可知，表示在点P处的单位体积内散发出来的矢量的通量，所以描述了通量源的密度。散度可用表征空间各点矢量场发散的强弱程度，当时 ，表示该点有散发通量的正源，表示通量源向外辐射；当时，表示该点有散发通量的负源，表示通量源向内辐合，当说明是无源。散度的物理意义是：（1）矢量场的散度代表矢量场的通量源的分布特性；（2）矢量场的散度是一个标量；（3） 矢量场的散度是空间坐标的函数。

3.旋度

矢量沿某封闭曲线的线积分， 定义为沿该曲线的环量（或旋涡量）， 记为false，然后设想将闭合曲线缩小到其内某一点附近，那么以闭合曲线L为界的面积逐渐缩小，也将逐渐减小，一般说来，这两者的比值有一极限值，即单位面积平均环流的极限，记作：，它与闭合曲线的形状无关，但依赖于以闭合曲线为界的面积法线方向，且通常L的正方向与以闭合曲线为边界的面积法线方向构成右手螺旋法则，旋度的重要性在于，可用以表征矢量在某点附近各方向上环流强弱的程度。旋度的物理意义：（1）矢量的旋度是一个矢量， 其大小是矢量在给定点处的最大环量面密度， 其方向就是当面元的取向使环量面密度最大时， 该面元矢量的方向（2）它描述在该点处的旋涡源强度（3）若某区域中各点，称为无旋场或保守场。

二、梯度、散度和旋度的区别

对于初学这些概念的人来讲，对于散度和旋度的理解仅仅限于数学的层面，往往忽略了他们在物理学里的区别。

（1）求梯度是针对一个标量函数，求梯度的结果是得到一个矢量函数；求散度则是针对一个矢量函数，得到的结果是一个标量函数，跟求梯度是相反的；求旋度是针对一个矢量函数，得到的还是一个矢量函数。这三种关系可以从定义式很直观地看出，因此可以求“梯度的散度”、“散度的梯度”、“梯度的旋度”、“旋度的散度”和“旋度的旋度”，只有旋度可以连续作用两次。

（2）旋度描述的是矢量场中各点的场量与涡旋源的关系，而散度描述的是矢量场中各点的场量与通量源的关系；

（3）如果矢量场所在的全部空间中，场的旋度处处为零，则这种场中不可能存在旋涡源，因而称之为无旋场（或保守场）；如果矢量场所在的全部空间中，场的散度处处为零，则这种场中不可能存在通量源，因而称之为无源场（或管形场）；

（4）在旋度公式中，矢量场的场分量Mx、My、Mz分别只对与其垂直方向的坐标变量求偏导数，所以矢量场的旋度描述的是场分量在与其垂直的方向上的变化规律；

（5）在散度公式中，矢量场的场分量Mx、My、Mz分别只对x、y、z求偏导数，所以矢量场的散度描述的是场分量沿着各自方向上的变化规律。

三、梯度、散度和旋度在物理学中的应用

对于梯度、散度和旋度的深入理解，还要落实在物理学的学习中，常见于电磁场部分。以电场为例，按着它产生的原因分为静电场和感生电场，静电场是静止电荷产生的，而感生电场是变化的磁场产生的。在静电场中，静电场既然是静止电荷产生的，电场线起于正电荷终止于负电荷，电场线有头有尾，那么它一定是有源的，即它对应的散度不为零，则有，它的源就是激发电场的静电荷，若，则为正源即场源电荷是正电荷或场源电荷的代数和大于零；若，则为负源即场源电荷是负电荷或场源电荷的代数和小于零，若，则为无源即场源电荷的代数等于零，其的积分形式就是我们非常熟悉的静电场中的高斯定理（真空中）。然后静电场中的环路定理，可知静电场力所做的功与积分路径无关，故静电场力为保守力，那么静电场力的旋度。既然为保守力，那么必有与之相对应的一个标量函数即电势函数，那么静电场的电场强度与电势函数V之间的关系就可以用梯度来表示，即：，表示电场强度为电势函数的负梯度，说明电场强度的方向一定沿着电势函数减小最快的方向，所以就有顺着电场线的方向电势越来越低的说法。然而对于感生电场，因为它是变化的磁场产生的，它的电场线为闭合曲线即感生电场为无源场，因此它的散度必为零，即；它对应的环路定理，所以感生电场力为非保守力，其旋度，不存在与之对应的电势函数。

通过上面简单分析，对于我们学习中的遇到的梯度、散度和旋度的概念一定会有所帮助，因为事物是普遍联系的，数学中有物理，物理中包含数学。所以我们在今后的学习中，不能简单地学习某一学科，把它与其他学科割裂开，在学习中要运用哲学的普遍联系的观点辩证地看待我们所学习的知识，才会学的好、学的活、学的精，才能做到学以致用。endprint