预紧力对系统频率漂移的影响

李太平，翁海宽，江浩，洪岩，齐晓军



预紧力对系统频率漂移的影响

李太平1,2，翁海宽1,2，江浩1,2，洪岩1，齐晓军1,2

（1. 上海卫星装备研究所；2. 上海裕达实业有限公司：上海 200240）

文章采用Harmonic的谱估计方法，研究了系统不同构件之间通过螺钉连接时，预紧力对系统动态特性的影响。在预紧力相同的情况下，不同量级的外界激励，会造成系统表现出不同的频率响应特性，呈现非线性时不变特性；大量级的外界激励会造成系统预紧力“失效”，刚度降低，导致系统的固有频率降低，产生频率漂移，在共振处放大倍数降低。

预紧力；频率漂移；共振；非线性；Harmonic谱估计方法；仿真分析；试验验证

0 引言

结构的固有频率设计对结构和系统的可靠性具有重要意义。实际工作环境中，外界环境的变化会导致结构的固有频率发生漂移，从而使系统的传递特性发生变化。如力学试验中，满量级振动试验的结构固有频率往往低于预振试验中的固有频率。这就导致了满量级控制出现超差以及传递函数改变等。国内外对此开展了大量的研究，Woon等人[1]对结构的频率漂移情况进行了大量的研究，但主要研究对象为工作温度对系统频漂的影响。Michel等[2]在实验中检测到了非常小的频率漂移，并且演示了这种频率漂移可能是由于激励的变化引起的，同时，他们认为这种频率漂移不可能是由于系统的结构参数发生了变化。薛宏伟等[3]对大量的频率漂移现象和可能的原因进行了综合分析。卫洪涛等人[4-6]也在此方面做了大量的研究，采用了带间隙连接结构模型和螺栓连接结构的Iwan模型。Chowdhury等[7]研究了材料不同的结构阻尼比造成系统的频率漂移。

以上的研究虽然在一定程度上解释了系统的频漂，但是也存在一定的不足：Woon等的研究无法解释常温下力学试验中存在的频率漂移，而Michel以及Chowdhury的理论都无法解释实际力学试验中存在的较大幅度的频漂以及半功率带宽不变的现象。卫洪涛的方法并没有研究预紧力对系统传函的影响，且由于其采用多点定频取最大值的方法，获得的为幅值谱而不是相位谱，与工程实际存在一定的偏差。

为了研究预紧力对系统频率特性的影响，本文通过对数扫频[8-9]获得了一定量级激励下系统的时域响应，进而通过Harmonic谱估计方法，估计系统的传函。以带间隙的两自由度振动系统为例，对比小量级和满量级扫频实验下传递函数的差异，以及加速度传递函数与位移传递函数的关系。最后通过某卫星力学试验进行验证。

1 对数扫频

力学试验中，一般采用扫频的方法，获得系统在特定激励下的时域响应，进而通过特定的谱估计方法得到系统的传函。本文采用常用的对数扫频方法获得系统的时域响应，系统在每个频点处扫过的弧度一致，与频率无关。对数扫频过程中频率随时间改变，

因此，系统在时刻的频率为

定频试验（即=0）时，式(1)变为

2 谱估计方法

通过对数扫频的方法得到系统的时域响应后，需要通过一定的谱估计方法获得系统的传函。常用的谱估计方法有Harmonic、Peak、RMS和Average等4种。其中，Harmonic谱估计方法也被称为Filter谱估计方法。

一般来说，这4种估计方法中，Harmonic谱估计方法的抗干扰能力最强，RMS和Average次之，Peak较弱；同时，Harmonic在估计出幅值谱的情况下，也能够估计出相位谱，而其他3种方法均不能估计出相位谱。因此，本文选择使用Harmonic谱估计方法。

在时间序列=0,1, …,t内，在激励的作用下，采集到的时域响应序列为=[(1),(2), …,(n)]。该时间段内，任意时刻的时域响应都可以写为y=sin(ωt+)，展开为y=sincos(ωt)+cos× sin(ωt)，对所有时间序列展开后，可得：

式(5)可写成矩阵的形式

=cs。

由于微服务很难切得干净,除了向外部提供以外，微服务之间难免会出现少量的调用关系，可将每次调用产生的相关信息写入追踪中心，通过追踪中心提供的图形化界面查看服务之间的调用轨迹和产生的调用延时，从而分析出服务调用产生的性能瓶颈。

的值最小化。这需满足

因此，cs的最小二乘估计为

获得cs的最小二乘估计后，将()写成()=sin(+)的形式，则相位为

该相位即对应于传递函数中的相位谱。

3 带间隙的两自由度振动系统

为了研究预紧力对系统频率漂移的影响，本文以通过螺钉连接的两自由度振动系统（如图1所示）为例进行了仿真研究。

1、2分别为m1、m2的位移，g为基座m0连接面的位移；2、2分别为m1、m2之间的弹簧阻尼系数；m1和m0之间通过螺钉J1、J2连接，在预紧力的作用下，m0产生了静变形。因此，m1与m0之间的刚度为

其中：1c表示m1与m0之间的螺钉的连接刚度；1v表示基座在预紧力作用下产生静变形对系统产生的附加刚度。

同时，在m1与m0之间存在一个固定的阻尼系数1。m0对m1存在一个位移扰动g，因此，整个系统的动力学方程可写为

按照传统的线性理论，若、、均为常值，则系统的传递函数可以表示为(2++)-1。但是由式(10)可得：系统的刚度矩阵会随着m0和m1之间的位移发生变化，同时不显含时间，因此该系统为非线性时不变系统，不存在确定的传递函数。

4 仿真分析

对整个系统进行扫频试验，起始频率为5Hz，终止频率为100Hz，扫频速率为2oct/min，谱线数400。对系统作正则化处理：1c=2.45×104；1v=1× 104；2=8883；2=9.4248；1=15.708；=-3。取值为负，表示系统有预紧力存在，间隙为负值。采用MATLAB/SimuLink仿真，如图2所示。其中，SubSytem即代表整个非线性时不变系统，k1即为式(10)中的1。通过Fcn模块产生一个激励施加在g上。当Fcn模块输出位移激励时，直接作用在g上；当Fcn模块输出加速度激励时，通过2次积分转换为位移后，再作用在g上。

4.1 预试验

进行预试验时，由于试验量级较低，式(10)中的1始终为1c+1v，系统表现为线性，整个系统存在传递函数。此时，通过小量级扫频或者宽频带的随机振动试验获得的传递函数是一致的。预试验时式(1)中的Amp取值为0.1。图3为预试验过程中g、1、2的时域响应，从图中可以明显看出：小量级振动试验过程中，相邻周期的幅值连续可导。

图4为预试验输入谱，其中上图为幅值谱，下图为相位谱。在整个频带内，输入谱幅值均为0.1，相位均为0。

4.2 满量级试验

进行满量级试验时，试验量级较高，刚度为1v的弹簧在大位移时处于自由状态，因此系统表现出非线性，整个系统实际上不存在确定的传递函数。此时，通过大量级扫频或者宽频带的随机振动试验获得的传递函数都是不一致的，甚至可能同一功率谱密度的随机振动试验获得的传递函数也是不一致的。满量级振动试验中，式(1)中的Amp取值为1。

图5为满量级振动试验过程中g、1、2的时域响应。由图可得：满量级振动试验过程中，各点的相邻周期响应的幅值连续，但并非连续可导，在40s之后，出现了明显的尖点。图6为满量级振动试验过程中的输入谱，全频段幅值为1。

4.3 传递函数对比

图7为m1预试验和满量级试验中传递函数的对比，可以看出，在满量级振动试验过程中，系统刚度降低导致频率前移，共振区域放大倍数降低。m2表现出的频率漂移特性与m1类似（见图8）。m1位移传递函数频率漂移的特性如表1所示。

表1 m1位移传递函数频率漂移

图9为m2传递函数对比图一阶频率处的局部放大，在13.47Hz处，预振试验中系统的传递函数呈现光滑下降的趋势；但是，满量级振动试验过程中，系统的传递函数呈现向上跳变。这与真实的力学试验过程中出现的情况一致。图10为m2传递函数对比图二阶频率处的局部放大，可以看出，在二阶频率处，也发生了明显的频率漂移，且漂移幅度远大于第一阶固有频率处的漂移量。

4.4 加速度与位移的传递函数

对于线性系统而言，式(11)中的、、均为常数，对其进行Laplace变换可得：

对于线性连续系统，进行Laplace变换可得：

因此，在线性系统内，加速度传递函数与位移传递函数等效。但是对于存在间隙的系统，由于其为非线性时不变系统，所以不存在真正意义上的传递函数。通过谱估计的方法获得的“传递函数”，其加速度和位移的“传递函数”并不等效。图11、图12所示为m1、m2的加速度与位移的“传递函数”，可以明显看出，在共振区域，加速度和位移的“传递函数”并不等效。而在共振区域外，由于系统的间隙并没有起作用，系统呈线性，加速度传递函数与位移传递函数之间关系满足式(13)，所以加速度传递函数与位移传递函数等效。

5 试验验证

在某卫星的力学试验过程中，首先进行了小量级的扫频试验，之后在完成大量级的扫频试验后，又进行了小量级的扫频试验，整个试验过程的传递函数如图13所示，在10～20Hz、35～45Hz、52～64Hz处的局部放大分别如图14～图16所示。

图15 传递函数对比在35～45Hz处的局部放大

Fig. 15 Magnification of testing TFs at 35-45Hz

图16 传递函数对比在52～64Hz处的局部放大

Fig. 16 Magnification of testing TFs at 52-64 Hz

三次试验的前三阶频率对比如表2所示：小量级的预振和复振试验基本没有发生明显的变化，而大量级振动试验过程中，频率和幅值均发生了明显的变化，频率前移，幅值降低，表明了式(10)的正确性。

表2 三次试验传递函数频率漂移

6 结束语

系统不同构件之间通过螺钉等紧固件连接，连接螺钉上预紧力的大小会直接影响系统在不同外界激励作用下的动态刚度，使系统的动态特性呈现非线性时不变特性，造成系统在大量级激励下的动态刚度降低，固有频率漂移等；同时，使系统的传递函数呈现不连续可导的情况，与实际的力学试验中扫频结果一致。工程实践中，对于存在预紧力的系统，在设计结构固有频率和研究传递特性时，应充分考虑系统的实际工作环境。

[1] WOON C E, MITCHELL L D. Variations in structural dynamic characteristics caused by changes in ambient temperature: I Experimental[J]. Proceedings of SPIE, 1996: 2768

[2] MICHEL C, GUÉGUEN P. Time-frequency analysis of small frequency variations in civil engineering structures under weak and strong motions using a reassignment method[J]. Structural Health Monitoring, 2010, 9(2): 159-171

[3] 薛宏伟, 林益明, 刘天雄. 航天器振动试验的频率漂移问题综述[J]. 航天器工程, 2005(4): 58-62

[4] 卫洪涛, 孔宪仁, 王本利, 等. 非线性连接结构对一个典型卫星频率漂移的影响[J]. 航天器环境工程, 2012, 29(3): 297-303

WEI H T, KONG X R, WANG B L, et al. Effect of nonlinearities in the joints on the amplitude-frequency response of a typical satellite structure[J]. Spacecraft Environment Engineering, 2012, 29(3): 297-303

[5] IWAN W D. A distributed-element model for hysteresis and its steady-state dynamic response[J]. Journal of Applied Mechanics, 1966, 33(4): 893

[6] 王本利, 张相盟, 卫洪涛. 基于谐波平衡法的含Iwan模型干摩擦振子非线性振动[J]. 航空动力学报, 2013, 28(1): 1-9

WANG B L, ZHANG X M, WEI H T. Harmonic balance method for nonlinear vibration of dry friction oscillator with Iwan model[J]. Journal of Aerospace Power, 2013, 28(1): 1-9

[7] CHOWDHURY M A, HELALI M. The effect of amplitude of vibration on the coefficient of friction for different materials[J]. Tribology International, 2008, 41(4): 307-314

[8] 张步云, 陈怀海, 贺旭东. 多输入多输出正弦扫频试验控制新方法[J]. 振动与冲击, 2015, 34(8): 198-202

ZHANG B Y, CHEN H H, HE X D. New control method for MIMO swept-sine test[J]. Journal of Vibration and Shock, 2015, 34(8): 198-202

[9] 张连朋. 双水平向振动试验台正弦扫频振动控制技术研究[D]. 哈尔滨: 哈尔滨工业大学, 2012: 17-20

（编辑：张艳艳）

The influence of preload on system frequency variations

LI Taiping1,2, WENG Haikuan1,2, JIANG Hao1,2, HONG Yan1, QI Xiaojun1,2

(1. Shanghai Institute of Satellite Equipment; 2. Shanghai Yuda Industrial Co., Ltd.: Shanghai 200240, China)

In this paper, the influence of the preload on the dynamic characteristics of a system with screw connections among different components is investigated with the harmonic spectrum estimation method. It is shown that with a preload of the same order of magnitude, the system exhibits different dynamic characteristics or FRFs under excitations of different orders of magnitude, as a non-linear time-invariant system. High level excitation may invalidate the preload, thus lead to reductions of the stiffness, the natural frequency, and the amplification in the resonance region.

preload; frequency variations; resonance; nonlinearity; Harmonic spectrum estimation method; simulation analysis; test validation

V416.2

A

1673-1379(2017)06-0636-06

10.3969/j.issn.1673-1379.2017.06.011

李太平（1989—），男，硕士学位，研究方向为结构振动测试与抑制。E-mail: litaiping168@126.com。

2017-05-13；

2017-11-30