结合面参数最小相对误差二乘法拟合

杨帆　刘康华

摘 要：结合文献资料，利用最小相对误差二乘法对原模型进行求解，得到新的回归方程组。结果证明：用最小相对误差二乘法解出的回归方程组相对误差在3.5%以内，相对于高斯最小二乘法解出的结果降低了12.5%，平均绝对百分比误差（MAPE）分别降低18.0%、12.4%、19.0%。

关键词：机床；固定结合面；最小相对误差二乘法；平均绝对百分比误差

中图分类号：TH133 文献标识码：A 文章编号：1671-2064（2017）22-0215-02

数控机床整机的动态优化设计是急需解决的关键问题之一。在零物理样机的情况下，使用虚拟样机对整机动态特性进行预测是现代机床数字化优化设计的重要内容。机床零件结合面的建模及其动态参数的准确识别决定了预测模型的准确性[1]。国内外专家学者针对结合面参数识别进行了大量的研究，吉村允孝等[2]建立了结合面6自由度相互獨立的等效动力学模型；华中科技大学的毛宽民等[3]利用曲面相应法和最小二乘法处理实验数据，建立了结合面参数化模型。许倩钰、秦宇[4]等基于最小二乘法原理及多项式拟合的方法，得到不同速度下动态称重数据的拟合曲线。

高斯最小二乘法忽略了绝对误差对大小不同的数据的影响程度不同。本文将用以相对误差平方和为最小化目标的最小二乘法求解文献[3]中的数学模型，并以平均绝对百分比误差（Mean Absolute Percentage Error）为参考评价两种方法的差异。

1 基于最小相对误差二乘法的模型求解

1.1 文献数据分析

从文献[3]提取部分用高斯最小二乘法拟合所得的数据，比较在相同绝对误差的情况下，相对误差的不同。各实验值与拟合值之间的绝对误差为0.10，其相对误差绝对值则由1.61%缩小到0.35%。最小二乘法的原理是通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配。通常拟合数据往往按与实验数据的相对误差来评价的，实验数据越大，允许的拟合数据的误差也越大。针对这一点，文献[3]中以绝对误差的平方和为最小化的目标，没有考虑到实验数据大范围变化对相对误差造成的影响。

1.2 最小相对误差二乘法

将影响结合面参数的尺寸值代入到式（7）、式（8）中，得到模型拟合刚度值和相对误差，见表1。

新的回归方程计算所得相对误差绝对值基本都在3.5%以内，而高斯最小二乘法求解所得结果相对误差绝对值基本在4.0%以内，采用最小相对误差二乘法使最大相对误差减小了12.5%。

2.2 平均绝对百分比误差（MAPE）比较

新模型不仅误差区间更小，其平均绝对百分比误差比文献[3]中明显减小。

由表2可知，预紧力为9.375KN、18.750KN和28.125KN时，用高斯最小二乘法求解所得结果的平均绝对百分比误差（MAPE）比用相对误差最小二乘法依次降低了18.0%、12.4%和19.0%。

3 结语

本文将相对误差最小二乘法用于结合面参数识别实验中数学模型的求解，对文献[4]中的机床固定结合面动力学参数化模型起到进一步完善的作用，得到以下结论：

对于大范围变化的实验数据的处理，以相对误差平方和为最小化目标的最小相对误差二乘法优于高斯最小二乘法。

参考文献

[1]郭成龙.数控机床滑动导轨结合面动态特性参数测试及应用研究[D].南京：南京理工大学，2012.

[2]Yoshimura M. Making use of CAD technology based on the dynamic characteristics data of joints to improve the structural rigidity of machine tools[J].Machine Tools，1979，1：142-146.

[3]毛宽民，黄小磊，李斌，等.一种机床固定结合部的动力学参数化建模方法[J].华中科技大学学报，2012，04（4）：49-53.

[4]许倩钰，秦宇，杨发武，等.基于最小二乘法与MATLAB软件的动态称重数据拟合[J].计量技术，2012，06（6）：76-79.

[5]徐颖，李明利，赵选民，等.响应曲面回归法—一种新的回归分析法在材料研究中的应用[J].稀有金属材料与工程，2001，30（6）：428-438.