初中数学勾股定理的拓展教学

□刘 燕

（杭州市学正中学，浙江杭州 310018）

初中数学勾股定理的拓展教学

□刘 燕

（杭州市学正中学，浙江杭州 310018）

浙教版数学教材对勾股定理的介绍尚不充分，国家标准课程内勾股定理的教学无法满足学生更全面地理解和掌握勾股定理的需求.教师可以从知识点、数学方法、数学思想三个方面进行相关拓展教学.

拓展教学；勾股定理；知识点；数学方法；数学思想

勾股定理在几何定理教学中的重要性不言而喻，它具有丰富的数学史料知识和广泛的实用性.然而浙教版数学教材对勾股定理的介绍尚不充分，国家标准课程内勾股定理的教学无法满足学生更全面地理解和掌握勾股定理的需求，对其进行拓展延伸及教学成为一个热点.

探索勾股定理及其逆定理为教材的主要内容，学生在合作学习环节自由拼图，得出直角三角形的三边关系，验证勾股定理；例题的设置帮助学生进一步理解勾股定理，利用勾股定理解决实际生活中直角三角形三边知二求一的问题，逆定理的学习重点则为判断满足勾股定理的三角形为直角三角形.拓展后的内容为从直角三角形到多边形的面积，勾股定理的多样证明.教学内容包含知识点、数学方法、数学思想三个方面，拓展将围绕知识点、方法、思想应用三个方面展开.

一、知识点拓展

知识点是构成学习内容的相对独立的最小单元，在基础课程里，数学教材中的绝大部分教学内容由必须要学习的知识所组成，它要求知识点的学习程度以理解和掌握为主，了解和应用比较重要.基础课将知识点简化和精细后便于学生学习和掌握，然而仅仅满足国家标准课程来学习数学会破坏数学的完整性，难以展现数学的美.拓展课能弥补不足，最明显的就是知识点的拓展.

【案例1】给定一个直角三角形，在它的斜边上所画的任何图形的面积，等于在它的两条直角边上所画的与其相似的图形的面积之和.

此为浙教版八年级教材阅读内容，经过教学设计后，知识点可从以下方向拓展.

原有的知识点有：

①三角形三边的关系；

②勾股定理，赵爽弦图.

拓展后的知识点将以直角三角形为前提进行以下探究：

③多边形面积及曲变形面积；

④空间立体几何图形体积；

⑤勾股树；

⑥勾股数.

知识点之间都是互相联系的.在基础课程里，可以利用勾股定理求边长.对勾股定理的再认识，不是简单的重复，而是探索从勾股定理到图形面积关系的拓展.拓展课程让学生较完整地认识和理解直角三角形.下面通过问题探究的逐步深入，我们来展示知识点增加的过程.

问题1如图1，给定一个直角三角形，以它的三条边作等腰直角三角形，是否满足结论？如图2，如果以直角三角形的三边为底边分别向外作形状相同的平行四边形（两边比为1∶2，夹角为 60°），则结论还成立吗？

图1

图2

学生对此问题展开行动研究，大部分学生首先猜想结论是成立的，然后利用格子纸数出等腰三角形、平行四边形的面积，证明猜测是对的.少数几个学生发现再画几个类似的多边形尝试后结论也成立.显然，在格子纸上画多边形很容易计算出各个图形的面积，那么曲边形呢？在格子纸上做曲边形是不容易计算面积的，结论是否不变，需要我们继续研究，当以直角三角形各边为底边向外做曲边形的时候，会有哪些有趣的结论呢？这个时候问题1升级为问题2.

问题2如图3，当以直角三角形三边向外做半圆的时候，在斜边上所画的半圆的面积，与在两条直角边上所画的半圆的面积之和还相等吗？在图4中，两个月牙形的面积之和与△ABC的面积又有什么关系呢？

图3

图4

进一步对问题展开行动研究，学生拿出圆规画半圆，用直尺量出直角三角形各边长和所有半圆的直径，利用已掌握的直角三角形边长和圆的面积公式等知识点可以发现图3中两个小半圆的面积之和等于大半圆的面积，对图3进行一个小小的整容得到图4.图4中最大的半圆减掉与两个小半圆公共的部分后剩下△ABC，则两个小半圆所剩下的月牙形面积之和等于△ABC的面积.由于一部分学生对面积公式不熟练，他们发现结论的过程显得很不容易.师生进一步探究后发现，下列图形中结论也成立.

图5

图6

在图5中，学生拿出直尺量出直角三角形各边长，用量角器测量六个扇形的圆心角，求出阴影部分面积，得出大扇形重叠部分的面积等于两个小扇形重叠部分的面积之和；在图6中，同学们拿出直尺量出直角三角形各边长和三个正方形的边长，求出正方形和圆的面积，虽然部分同学出现稍有误差的答案，但是大部分同学能得出大正方形挖掉内接正方形阴影部分的面积等于两个小正方形挖掉内接正方形阴影部分的面积之和.

以上研究的图形都满足结论成立，我们还不能说所有的图形都满足此结论，因为我们研究的图形都是二维平面的图形.除了二维平面我们还知道多维空间的存在（现阶段只考虑三维空间），要想所有的图形都满足此结论，我们还得进一步研究三维空间的图形，此时知识点进一步由平面拓展到空间.知识点应用范围变大，问题2升级为问题3.

问题3继续将勾股定理向空间推广，从二维空间到三维空间（如图7），请猜想：以直角三角形的某条边为一边作立方体时，斜边上立方体的表面积与两直角边上两个立方体的表面积之和还相等吗？体积呢？

图7

教师展示制作的立方体模型，给出几组数据——立方体的长、宽、高（不必完全相同），学生利用图形的表面积和体积公式计算，得出立方体的表面积仍然满足结论，即6a2+6b2=6c2.但是体积在结论上则不成立，即a3+b3≠c3.大胆推测其他的立体图形也可以用相同的测量和相应的计算得出此结论，即此结论不仅在二维平面上满足，在三维空间中结论也是满足的.这时知识点的适用范围进一步扩大.此设计的主要目的在于让学生体验研究问题数学思维的发散，在此不进行超出学生理解范围的翔实验证.

从以上解决问题的行动研究中，学生能发现勾股定理与图形面积关系存在规律且可使用的范围从二维平面拓展到三维空间，这是知识点的拓展，它向我们展现了数学规律的一面，丰富了我们所学的课本内容且更利于发散学生思维.

问题4如果以两个小正方形的边长为直角三角形的斜边，分别在小正方形上再作出类似的小正方形，你会画出图案吗？如果循环这个过程，最后的结论是什么？

图8

图9

学生们基本都能画出图8，结论显然成立，循环这个过程，一部分人能猜测结论也成立，能得出结论的同学显然思维已经发散了，这是数学思维的发展.当教师将图9展现在大家面前时，学生们都发出了惊叹，这种不可思议的美让学生能感受到数学的巨大魅力，尤其是数学规律的神奇.学生们对勾股树印象深刻，这种由数学知识带给学生的震撼是基础课程很难做到的，但是在拓展课程上学生能轻易体会到学习数学的逻辑和思维，接受数学之美的熏陶.

经过问题探究，学生积累了不少组满足勾股定理的数，这个时候学习勾股数再恰当不过了.在教师的引导下，学生轻松掌握勾股数这个知识点，在此不做过多陈述.

二、数学方法拓展

数学方法是人们为了解决数学问题而采用的可操作的规则或手段，这些规则手段经过多次运用后都达到了解决问题的目的，久而久之就形成科学研究的数学工具，因此它首先具有普遍的应用性和可操作性.勾股定理本身也是一种数学方法，在解决直角三角形问题中应用频率非常高.课本采用四个小直角三角形拼凑正方形及介绍赵爽弦图来探索勾股定理，其本质都是通过计算面积来得出勾股定理结论，我们在勾股定理学习中比较常见的数学证明方法是面积法.虽然其证明有诸多名称，如总统证明法、欧几里得证明法、实验模型法等，大部分证明都可以归为面积法证明.这其中总统证明法尤其值得推荐给全体初中生（见下文），拓展课将介绍利用相似三角形性质证明和利用切割线定理证明等方法.

（一）伽菲尔德总统法证明

用纸裁剪两个一样的直角三角形，短边AC，DE记为 a，短边CE，BD记为 b，长边AE，BE记为c，按图拼接，使得CE与ED在同一水平线上，如图10（证明过程略）.

图10

总统证明法的思路为：利用三角形的面积公式和梯形面积公式求得三个直角三角形的面积之和等于直角梯形的面积.这个证明极其简洁、完美地诠释了公式法的巧妙之处.相较于其他严密复杂的证明方法而言，此证法最容易被学生理解和掌握.

（二）利用相似三角形性质证明（证明过程略）

相似三角形是学生在九年级学习的内容，用新学的知识来对八年级就接触的勾股定理进行新角度的证明，考查了学生知识运用的综合能力.相似法的优点是简洁、直观，能很好地将直角三角形、勾股定理及三角形相似等知识点结合起来，运用一种新的数学方法从拓展的角度帮助学生理解和掌握勾股定理，改变了学生对勾股定理面积法证明的固有思维模式.将相似法换一种用法，我们就能领会另一种美，再如相似形加上反证法，更加能感受数学证明的逻辑魅力.

反证法从结论的反面出发，执果索因，引出矛盾，从而证明了结论成立.反证法一般在直接证明问题有困难时采用，虽然理解和掌握起来不太容易，但是有利于完善学生对问题的综合分析和逻辑思维的严密.

（三）利用切割线定理证明

图11

如图11，在Rt△ABC中，设直角边BC=a,AC=b,则BD=BE=BC=a,

因为 ∠BCA=90°,点C,E在⊙B上,所以AC是⊙B的切线.

由切割线定理，得：

切割线定理本质是相似三角形对应边成比例的另一种形式.证明的整个过程体现了定理的重要性，学生从无从下手的状态到柳暗花明的触动，这种数学方法与勾股定理的巧妙结合体现了方法的魅力.当然，学生在掌握方面是有难度的，但是了解一下新的数学证明方法，理解和分析问题有助于他们思维和逻辑的深入发展.

三、数学思想应用拓展

数学思想反映空间形式和数量关系，是思维活动产生的结果.学生从学习数学开始就在进行数学思想的学习，数学思想体现着比较高的数学层次，注重数学思想的培养利于提升学生的数学能力和素养.

数学思想是很难分离的，它渗透在知识点、数学方法中，学习知识和方法的目的是为了解决问题，在探究问题、学以致用、熟能生巧的过程中形成的数学思想就是数学文化的精髓.在应用型的问题中，数学思想得到较大程度的综合体现，教材中经典的应用是用勾股定理解决靠墙梯子移动距离问题，体现建模思想和方程思想.拓展课进一步强化这些思想的同时，渗透数形结合和分类讨论的思想.以下通过解决数学问题来感受数学思想之美.

（一）用勾股定理及其逆定理解决航行问题

如图12，甲轮船离开港口以16km/h的速度向东南方向航行，在同时同地乙轮船向西偏南某个角度航行，半小时后乙轮船距离出发点6km，此时两轮船相距10km.它们分别到达B，A两地是在一个半小时后，且AB=30km，那么乙轮船每小时航行多少千米.（解答过程略）

图12

大海茫茫难以分清位置和方向，学生解决这类问题需要一类数学思想.建模思想难在如何建立有效模型.在没有学习直角坐标系的学情下，学生会利用其他学科的知识（例如地理中的十字画方向）来解决，这体现的是一类学科渗透的思想.模型建成后，解题的宏观导向已明确，这样就把一个问题化归成熟悉的知识点，用旧的知识点对问题进行解决的过程体现了数学化归思想.

接下来需要注意的是勾股定理只有在直角三角形中才可使用，一定要先判定△ACB是直角三角形.贯穿始终的数形结合思想，将抽象的问题具体化，使得解决问题变得简单明了.

（二）用勾股定理解决共享单车车桩问题

太原市公共自行车的建设速度、单日租骑量等四项指标稳居全国首位．公共自行车车桩的截面示意图如图13所示，AB⊥AD，AD⊥DC，点B，C在EF上，EF∥HG，EH⊥HG，AB=80cm，AD=24cm，BC=25cm，EH=4cm，则点A到地面的距离是多少？

图13

解题思路（如图14）：分别过点A作AM⊥BF于点M，过点F作FN⊥AB于点N，利用勾股定理得出BN的长，再利用相似三角形的判定与性质得出即可．

图14

过点A作AM⊥BF于点M，过点F作FN⊥AB于点N，

此题主要考查了勾股定理的应用以及相似三角形的判定与性质，得出△BNF∽△BMA是解题关键.数学实质上来源于生活，建立模型后在解答过程中需要添加辅助线，化归思想、数学建模、数形结合思想等都有体现.

从上述教学片段中可以发现，在勾股定理中数学思想的拓展主要是解决问题思想方法的拓展，数形结合是最基本的数学思想，建立模型、分类讨论、方程等思想也很常见.数学思想的形成并非一日之功，它伴随在学生对知识的理解和一般技能的掌握过程中，学生由感性到理性、由具体到抽象逐步深入理解事物之间的本质联系.学生对每种思想方法的认识都需要反复理解和运用.按照多次了解、初步理解、简单运用的顺序逐步完成.

拓展课程教学设计的内容不求多，不求细，选择科学的教学方法、新颖的教学内容，运用现代化的教学手段，从数学的角度发现问题，用数学的方法解决问题，追求学生数学思维的发展和数学思想方法的渗透与提炼，感受数学的美 .