l1范数最小化算法在海流流场建模上的应用

周腾壹+李亚鹏

摘要：本文基于高斯基函数的线性组合来建立海流流速场模型。利用先验数据，基于 范数最小化算法对高斯基函数的系数向量进行求解，选出了起作用大的高斯基函数，实现了以较少的高斯基函数建立流场模型。

关键词：高斯基函数；海流流速场建模；范数最小化

1.引言

海流流速场模型在海流要素探测中具有重要的意义，例如，基于海洋流速场模型，能够预测出海流输运的化学羽流（例如溢油羽流）的运动特征，进而进行高效的探测。因此本文就范数最小化算法在海流流速场模型的建立过程中的应用问题进行了研究。

2.流场建模

在海流流场建模方面，已有研究人员对此进行了研究。例如，Dongsik Chang等人将海流流场分为潮汐成分和非潮汐成分[1]，对这两种成分进行叠加，实现了对海流流场的建模。本文对其模型进行了简化，即不考虑潮汐成分和非潮汐成分，而是统一用高斯基函数的线性组合来建立海流流速场模型。

设S*表示区域D内未被采样的点所在的位置，h（s*）表示空间高斯基函数组成的行向量，H（s*）是由h（s*）组成的矩阵，ξ（k/k）为随机的时间函数组成的向量，那么，本文建立的海流流场模型为：

（1）

式中：

为k时刻未测量位置s*（s*εD）处的东西或者南北方向的海流流速值。

由于真实海洋环境复杂，实验以及验证成本高，因此本文用二元二次函数模拟了一个海流流场，若最终估计的流场流速值和这个模拟流场流速相同，则说明算法是正确的，可以用来对流场进行估计，反之，则算法不适用于海洋流场的估计。首先用二元二次多项式函数z（x，y）=a+bx+cy+dx2+ey2+fxy来模拟流场，其中x和y分别为海洋中某一点的横纵坐标，z为点（x，y）处的流速值。设定x，y的范围为（0m，100m），即模拟大小为100m2范围的流场流速值。对于流速z的要求为大于等于0，通过求偏导、设定极值点等技巧确定了参数a=0.27，b=-0.001，c=0.001，d=-0.0000005，e=0.000001，f=-0.000001，即假设的流场流速状态是z（x，y）=0.27-0.001x+0.001y-0.0000005xy+0.000001x2-0.000001。

在该区域内均匀布置了100个高斯函数，即每10m2布一个高斯函数，该位置即高斯函数的中心点坐标cj（j=1，2，3…100），设置高斯函数的方差都为10。

3.流场初始化

对于 ，需要知道权重ξ的初始值，即 ），本文选用l1范数最小化算法[3]来对其初始化，其公式为：

（2）

其中： 表示通过l1范数最小化求出的ξ的最优估计值，是一个稀疏信号， 为向量ξ的1范数。H叫做观测矩阵，ξ为观测矩阵对应的系数，叫做系数向量，y为由观测值组成的观测向量。该算法在保证Hξ=y的前提下，能够使向量 中的零元素尽可能的多。

在羽流所在的区域内随机采集n个位置的流速值，利用采集的n个流速值对海流流场模型进行初始化，即对模型中的参数 进行初始化。公式中的y表示采集的n个位置的流速值，是一个n维列向量，即 。

H是高斯函数组成的矩阵，其形式如下：

（3）

ξ是m维列向量，表示各个高斯函数的权重，可以表示为ξ=[ξ1，ξ2…ξm]T。

从图2所示的海流流速场模型中采集10000个数据作为测量值，用来对系数向量ξ（k/k）进行初始化，即求出ξ（0/0）。通过l1范数最小化之后得到的系数向量内的元素值如图3所示，通过该图可以看出，经过 l1范数最小化，系数向量内的大多数元素成为了0，即成为了稀疏向量。系数向量内的元素越小，意味着对应的高斯基函数对于流场的拟合所起的作用越小，因此为了提高计算效率，只保留起作用大的元素即可。基于 范数最小化后的系数向量元素图以及通过设定不同的保留元素个数，得出不同的初始化误差图，通过对比保留的元素个数越多，得到的结果越接近模拟的流场流速值，但是保留的元素个数越多，计算效率越低，最终保留了50个元素，用这50个元素组成的新的系数向量，用其将50个高斯基函数线性组合得到的效果图以及误差图如图1和图2所示，可以看出误差与海流流速值比起来非常小。

4.结论

本文通过l1范数最小化算法找出了对该流场其作用大的高斯基函數，实现了好较少的高斯基函数建立流场模型的效果，并通过MATLAB编程验证了算法的有效性。

参考文献：

[1]Chang D， Liang X， Wu W， et al. Real-Time Modeling of Ocean Currents for Navigating Underwater Glider Sensing Networks[M]// Cooperative Robots and Sensor Networks， Studies in Computational Intelligence， Volume 507. 2012：61-75.

[2]黄小平， 王岩. 卡尔曼滤波原理及应用[M]. 电子工业出版社，2015.

[3]Hayashi K， Nagahara M， Tanaka T. A User's Guide to Compressed Sensing for Communications Systems[J]. Ieice Transactions on Communications， 2013， E96-B（3）：685-712.endprint