初中数学“图形与几何”领域教学目标与实施策略

摘要：从当前数学课程“图形与几何”领域的教学问题出发，依据课程标准，分析“图形与几何”领域的课程目标是建立空间观念，发展几何直观，提高推理能力的合理性，并提出实现该目标的策略，帮助教师完整理解“图形与几何”的教育价值，全面落实该领域的课程目标。

关键词：图形与几何 空间观念 推理能力 教学策略

一、问题的提出

“空间与图形”是《义务教育数学课程标准（实验稿）》规定的四大领域之一，在《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称“2011年版课标”）中被改名为“图形与几何”。关于它的教学目标，BOll年版课标有明确的阐述，为什么还要提出“图形与几何”的教学目标问题呢？

从新课程实验开始，我们在调研中发现：在初中数学教学中，对于北师大版教材，教师感觉最困惑、最难处理的就是“空间与图形”的教学目标与教学方式问题。比如，对于七年级上册，教师就有以下认识与做法：

对于第一章《生活中的图形》，有相当多的数学备课组长与教研组长认为：“本章没有明确的知识点，可上可不上。”“这一章没有明确的知识点，也不会有明确的考点，将来中考无法出题，可以不上。”“这一章是立体几何，初一学生一开始就学习立体几何，太难，应该移到后面学习。”“在学习中用观察、切、剪、截、裁、拼、摆等方式，总是感觉不踏实、不适应。”因此，一些教师就真的不上了，更多教师则用自己的讲、灌输代替学生的做、体验。

对于第四章《平面图形及其位置关系》，教学“线段中点”时，很多教师总要补充用尺规作线段中点的内容，也会提出用“∵……∴……”的形式化方式表达线段中点概念和解决相关问题的要求。比如，教材第二节的随堂练习第2题如下：

在直线l上顺次取A、B、C三点，使得AB=4cm，BC=3cm，如果O是线段AC的中点，求线段OB的长度。

对此，教师要求学生的解题表述如下：

解：如图1，∵AB=4 cm，BC=3cm，∴AC=AB+BC=4+3=7cm。

这样做明显过度地提高了要求。事实上，这些教师并不清楚教材关于逻辑推理能力培养的设计思路，也不清楚学生对逻辑关系的理解与逻辑关系形式化表达之间的关系。然而，更令人担心的是，这些教师还自以为自己补充得高明。

还有的教师认为“七巧板”“图案设计”是游戏内容，没有明确的知识点，学生可以随意做或不做，自己也就跳过去不上了。

当然，经过十多年的课程改革，上述现象已经有了极大的改变。然而，2011年版课标将“空间与图形”领域的四个方面内容“图形的认识”“图形与变换”“图形与坐标”“图形与证明”改成“图形与几何”领域的三个方面内容“图形的性质”“图形的变化”“图形与坐标”。对此，教师又有什么认识呢？

有的教师简单地认为：“这一改变就是回到传统的几何体系。”有的教师认为：“现在教几何与过去的区别就是几何题目比过去简单。”也有的教师认为：“图形与几何就是增加实验。”……

众多现象表明：课程标准把“几何”拓展成“空间与图形”“图形与几何”，但是教师还是以传统几何的观念、教法、要求来指导当前“图形与几何”的教学，并没有真正理解“图形与几何”的教学目标。所以，有必要使教师明确“图形与几何”的教学目标与实施策略。

二、传统的几何与“图形与几何”的中外对比

（一）我国传统的几何教学

长期以来，我国数学教学把中小学数学分为代数与几何等，又把几何分为平面几何、立体几何与解析几何等。

平面几何体系基本上受欧氏几何的影响，具有严密的逻辑性，以培养学生的逻辑推理能力为核心目标。从初一或初二开始，几何几乎成为一门纯粹的关于证明的学科，教材通篇都是由概念、定理、命题、图形与习题组成的，用一个又一个严谨的、精练的、现成的、定论的、明确的结论或结果去论证或分析一个又一个复杂的问题或习题，而这类问题或习题本身又是规范的，总是可以证明或解决的，学生所需要的是技巧、模仿与熟练程度。所谓的“逻辑推理能力”，就是能用一个又一个的“∵……，∴……”的形式把已知条件与结论联系起来。至于学生是否具有了“审问慎思，言必有据”的意识，是否学会了有条理地思考，是否明确了为什么要证明等问题，是不十分受重视的。对于要证明的数学习题意义在哪里，如何理解它的现实性、发展性、可解释应用的价值等问题，也是不够关心的。从结构布局看，几何教材的三条主线——概念与定理之间的关系、图形之间的相互联系、习题的前后安排——都是围绕培养逻辑推理能力的核心目标逐步展开的。特别是，“∵……∴……”的逻辑关系的形式化表达与逻辑关系的理解基本上同步。这不符合学生的认知规律。

尽管传统的教学大纲也提出要发展学生的空间想象能力，但由于平面几何的核心目标定位在逻辑推理能力上，要依靠平面几何发展空间想象能力就勉为其难了。在具体内容的教学要求中很少有与空间想象有关的素材、理解和说明，所以，在初中难以实现空间想象能力的培养就成为必然。于是，长期以来，初中教师的头脑中就形成了根深蒂固的观念：初中平面几何就是培养逻辑推理能力的，体现了“数学是思维的体操”，而培养空间观念是高中立体几何的任务。

（二）其他国家几何教学的发展

“几何”拓展为“空间与图形”“图形与几何”是国际数学教育的一种趋势。

俄罗斯的几何教学在世界上一直保持着较高的水平。其学校几何教材在不断变化，轨迹如下：

20世纪60年代前的近50年里，学校所用的几何教材是《初等几何》（A.P.吉西略夫）。这是一本典型的欧氏体系教材，供6～10年级学生使用。

20世纪60年代，苏联兴起数学教育改革，导致数学课时数由每周7课时减为每周5课时，数学教材中引人大量的理论概念，几何课程由矢量和笛卡儿坐标构成。这时，学校所用的教材先为著名数学家A.H.柯尔莫哥洛夫的几何教材，结果学生的数学知识与技能下滑；于是，又改为另一位几何学家A波戈列洛夫的几何教材。该教材以10条公理为基础，利用演绎方法推出其余结论。

20世纪80年代，学校开始使用L阿达纳相的平面几何教材。它仍然沿袭欧氏几何风格。

世纪之交，《直观几何》（L.V.沙雷金和L.N.叶尔冈日耶娃合著）进入了学校。《直观几何》的学习内容相当现实、有趣且富有挑战性。比如，用俄罗斯恢宏典雅的建筑展示圆、圆弧的存在及对称的效应，用雅典王泰西战胜弥洛陶罗的古希腊神话引出奥妙无穷的迷宫知识。教材所呈现的数学史话、传说故事、生活事例等可以不经意地引发学生对生活几何的思考，激起学生的学习欲望；同时数学游戏、谜语、问题等使得该书充满了乐趣与挑战。《直观几何》改变过去几何严谨、枯燥、抽象的呈现方式，用生动有趣的生活哲理，变化多姿的可视图形取代公理体系与单调的点、线、面。尽管如此，《直观几何》并没有放弃几何教育的主体目标：在大量的动手实践操作中锻炼学生的逻辑思维、空间想象、演绎推理等多种数学能力。正如N.杜勃林教授在2000年8月第9届国际数学教育大会上的发言所指出的：该书从人类文化的视角展示了几何的古老和美丽的生机，强调了几何的价值不仅在于训练思维和实际应用，更在于它所蕴含的文化因素揭示了它内在的魅力，这也是几何吸引学生的实质。

有人在比较中美教学理念和内容后，指出美国几何教学中值得学习的四个方面：

（1）提高“变换”在学校数学中的地位。美国学生学习多种类型的几何变换，如二维甚至三维图形的平移、反射、旋转、放缩变换，并且利用多种形式来表述这种变换。他们不仅学习单个几何变换，还学习几何变换的组合以及逆变换。

（2）鼓励学生做出调查与猜想。

（3）丰富几何的学习内容，尽可能引入其他科学与技术工具。

（4）组织丰富多彩的活动，吸引学生对图形与空间问题的兴趣。

国际数学教育的发展表明，随着计算机技术的应用，经济、社会的发展对数学素养提出了新的要求，“空间与图形”的教学呈现出新的特征：更加强调从实际生活出发，联系社会的发展，体验图形的建模过程。此外，基于“演绎推理并非几何所独有，数学的其他分支也具有培养演绎推理能力的素材与功能；科学的发现、创造与发明并非都依靠演绎推理，更多的是依靠观察、实验、类比、归纳等方式的合情推理”的认识，“空间与图形”的教学对几何推理的要求发生了变化：从纯粹的演绎推理转向较少的演绎推理、更多的合情推理；从单纯地强调几何的推理价值转向更全面地体现几何的教育价值，特别是空间观念以及观察、操作、实验、探索等方面的“过程性”教育价值。

当代伟大的数学家M.阿蒂亚先生指出：“几何是数学中这样的一个部分，其中视觉思维占主导地位……几何直觉是增进数学理解力的很有效的途径，而且可以使人增加勇气，提高修养。”作为逻辑推理的体系，几何也许是可以替代的，但作为一种直观、形象化的数学模型，几何是难以替代的。由图形带来的直观能增进学生对数学的理解，激发他们的创造力；特别是随着可视技术的应用，几何直观的作用越来越大。

三、“图形与几何”领域课程目标的理解

（一）“图形与几何”领域的课程目标

2011年版课标对“图形与几何”领域的课程目标作了进一步完善。将知识技能、数学思考方面要实现的总目标修改为：“经历图形的抽象、分类、性质探讨、运动、位置确定等过程，掌握图形与几何的基础知识和基本技能。”“建立空间观念，初步形成几何直观，发展形象思维与抽象思维。在参与观察、实验、猜想、证明、综合实践等数学活动中，发展合情推理和演绎推理能力，清晰地表达自己的想法。”将知识技能、数学思考方面要达到的第三学段（7～9年级）目标规定为：“探索并掌握相交线、平行线、三角形、四边形和圆的基本性质与判定，掌握基本的证明方法和基本的作图技能；探索并理解平面图形的平移、旋转、轴对称；认识投影与视图；探索并理解平面直角坐标系及其应用。”“在研究图形性质和运动、确定物体位置等过程中，进一步发展空间观念；经历借助图形思考问题的过程，初步建立几何直观。体会通过合情推理探索数学结论，运用演绎推理加以证明的过程，在多种形式的数学活动中，发展合情推理与演绎推理的能力。”

从2011年版课标的规定中不难发现，通过“图形与几何”内容的学习，学生要掌握图形的性质与判定，掌握证明方法、推理和作图技能，理解变化的基本知识，建立空间观念，发展几何直观，提高合情推理与演绎推理的能力。由此可见，“图形与几何”领域的课程目标较传统几何的教学目标的定位已经发生了根本性的改变，特别增加了建立空间观念，发展几何直观，提高合情推理能力的目标。

（二）“图形与几何”领域课程目标的合理性

首先，孩子最先感知的是三维世界，从小接触的玩具本身就是立体的实物，学会用眼睛观察时看到的满世界都是立体的事物。人类认识周围世界的事物，描述事物的形状、大小，往往也是立体的、在空间中的。可见，空间观念的培养价值在于促使学生更好地认识自己生活的空间，理解周围的现实世界，促进学生更好地生存与发展。

其次，有研究表明：在初一至初二年级，学生空间图形的认知能力迅速发展，特别表现在图形展开、折叠和旋转方面；到了初二至初三年级，学生空间图形的认知能力仍然快速发展，表现在图形识别与旋转方面。这说明在初中阶段学习平面及立体的图形，对发展空间观念的作用是显而易见的。

再次，尽管空间观念、几何直观的培养是“图形与几何”领域有别于其他领域的核心目标，但必须看到，图形之间的内在联系所构成的严谨、清晰的逻辑体系也是其他领域无法与“图形与几何”领域相比的。所以，“发展合情推理与演绎推理的能力”，“学习有条理地思考与表达”，“掌握证明方法、推理和作图技能”，“掌握应用综合法证明的格式，感受公理化思想”也是恰当的。

四、“图形与几何”领域教学目标的实施策略

为了将2011年版课标中的课程目标从理念转化为实践，需要在素材选择、素材呈现、教学策略等方面做出努力。

（一）教材的结构与布局

为了实现2011年版课标提出的课程目标，北师大版初中数学教材对“图形与几何”领域，打破了传统的欧氏几何体系，改变了过去图形之间、概念与定理之间严谨的逻辑体系，以“建立空间观念”和“提高推理能力”为两大主线，将“图形的性质”“图形的变化”“图形与坐标”三个方面的内容有机地整合在一起，概括如表1所示。

教材的结构与布局始终关注“空间观念的建立”与“推理能力的提高”。在建立空间观念方面，教材先立体再平面，借助图形的变换，运用翻折、平移、旋转、测量、实验等手段加深对图形性质的认识。在提高推理能力方面，教材又分成两条线索。一条是培养合情推理能力，主要是通过动手操作，如剪、拼、截、折、裁等，运用图形变换的方式发现图形的性质，探索蕴含的规律，以培养创新意识，形成创造技能。另一条是培养演绎推理能力，分三个阶段：先渗透逻辑关系的理解，再明确理解逻辑关系，然后进入演绎推理的形式化表达。这三个阶段合乎学生认知水平的发展，类似人类文字语言能力的发展：先学会说话，再学会写话，后学会作文。

（二）素材的选择与呈现

首先，教材在章节主题图、标题上实现了生活化、趣味化。比如，第一章《丰富的图形世界》的主题图是一张城市照片，其中矗立的高楼大厦拥抱着城市公园、纵横交错的街道；第四章《基本平面图形》的主题图是由时钟、足球射门、窗格、鸟巢、村庄组成的。又如，在修订前的教材中，一些章节的标题是“台球桌面上的角”“有趣的七巧板”“镜子改变了什么”“镶边与剪纸”“蚂蚁怎样走最近”“它们是怎样过来的”“测量旗杆的高度”“你能肯定吗”“太阳光与影子”“车轮为什么做成圆形”等等——可惜，这一特色在修订后的教材中被极大地削弱了。

其次，教材选择了大量现实的、有趣的、富有挑战性的学习素材。比如，第一章第1节《生活中的立体图形》以书桌、书架、学具、玩具等组成的简易书房为学习素材；第四章第3节《角》以时钟、尖尖的屋顶、足球射门为学习素材。又如，八年级上册《勾股定理》一章提供的素材有勾股定理的历史，古巴比伦人、古代中国人、古希腊人、古埃及人的贡献与发现，与“外星人”联系的“使者”，勾股数与费马大定理，蚂蚁爬过圆柱体，《九章算术》中的趣题，买竹竿、拔芦苇、算梯子长等。

再次，教材对素材的呈现采用先立体再平面、先简单再复杂、逐级递进、螺旋上升的方式，从而逐步渗透建立空间观念、提高推理能力。内容的编排则尽可能地展现知识的形成与应用过程，即以“问题情境——建立模型——解释、应用与拓展”的模式展开所要学习的数学主题。教材体例按下列方式展开：问题情境（以学生自身和周围环境中的现象，自然、社会与其他学科中的问题为知识学习的切入点，突出数学与现实世界、与其他学科之间的联系，使学生感受到数学的现实意义和应用价值）——问题串（设立有层次的问题）——活动（自主探索与合作交流）——思考与整理（提炼出数学对象）——表达（用自己熟悉的方式、语言表达学习对象）——明晰（以较为正规的数学语言表达主要的数学对象，形式多样化）——“做一做”“想一想”“议一议”（在提供学习素材的基础上，依据学生已有的知识背景和活动经验，提供大量的操作、思考与交流的学习机会）。

（三）空间观念的建立策略

首先，要重视第一章《丰富的图形世界》的教学。原因有三：其一，本章的内容是从立体到平面地编排的，它合乎人们认识周围世界的规律，合乎空间观念的认知规律。其二，这些内容在以往的几何教学中无足轻重，它们没有系统性，没有严密的逻辑联系，很难用定义、定理、性质等串到一起；没有知识点，用模糊的日常语言描述常常会不够清楚，用严格的数学语言描述常常会难以接受。这就决定了学生的学习方式要从传统的坐在位置上听讲或在草稿纸上写、画转变为触摸、裁剪、模拟、观察、思考、尝试、描述、交流、辩论，甚至走出课堂。这种自主探索、动手实践、合作交流的学习方式，能够较好地帮助学生建立空间感。其三，本章的教学能促进教师改变初中平面几何就是培养逻辑推理能力、高中立体几何才是建立空间观念的观点。正如有教师备课时所说：“这样的立体几何，学生年龄稍微大一些时就不会觉得难了，能否移到后面去上？”这种观念不改，就不可能理解“几何”拓展为“图形与几何”的意义与价值。

其次，空间观念建立的初期要关注两个方面：第一个方面，要先做再想。比如，要通过切萝卜或其他可切的材料制作的正方体，认识正方体的截面，学生会发现要切出六边形截面是不容易的。第二个方面，要先想再做。比如，对于什么样的“连方图”可以折叠成正方体，要先进行“如果……那么……”的思考，再通过动手折的操作加以验证。这样将体验与思辨结合起来，促进空间观念的建立。另外，要加强学生用语言描述实物的堆砌与图形的位置的训练。比如，打电话向同学描述自己所在的位置，观察图2所示的实物组成与形状等。

再次，随着空间观念的发展，生活经验的丰富，认知水平的提高，要让学生逐步用对折、平移、旋转、分解、组合、运动、确定方向和位置等方式设计、理解图形，从而进一步发展空间观念。已有研究表明：儿童的知觉经验和对客体的熟悉因素是空间认知发展的重要条件。所以，教学中呈现的学习素材要尽可能是实物的，尽可能是可感知、可触摸的；要重视演示实物教具和模型，重视让学生动手操作，加强直观教学。同时，有条件的学校应积极发挥计算机技术在建立空间观念方面的作用，比如使用《Z+Z智能教育平台》《几何画板》等数学教学软件。

总之，空间观念是从现实生活中积累的丰富几何知识体验出发，通过活动逐步积累起来的。其途径是多样的，应该包括：生活经验的回忆、实物观察、动手操作、想象、描述、联想、表示、分析和推理、分解和组合、变换和运动等。

（四）推理能力的提高策略

2011年版课标中的推理能力是指合情推理能力与演绎推理能力。合情推理是根据已有的知识和经验在某种情境和过程中运用观察、实验、类比、归纳等方式推出可能的结论的推理，主要形式为类比推理和归纳推理。演绎推理的主要形式为三段论，在数学中的表现形式为“∵……∴……（根据……）”。

长期以来，在几何教学中，我们强调的是“形式化”的演绎推理，忽视了合情推理能力的培养。而事实上，几何中许多结论的发现都是从观察、实验、类比、归纳开始猜想，然后再寻找严密的演绎推理给予证明的。由此可见，学生获得数学知识亦应该从合情推理开始。更何况，传统的几何教学把演绎推理搞得很难，使所解决的问题都是规范的、可证明的、可解决的。这本身缺乏创造性与挑战性。传统的几何教学对推理能力的培养还有一个问题：把学生对逻辑关系的理解与逻辑关系（演绎推理）形式化的表达混在一起。这犹如孩子才刚开始学习说话，就要求他讲究语法、会写文章一样，不符合学生的认知规律。演绎推理的形式化表达是较高的、抽象的要求。学生刚开始学习几何就提出这一要求，当然困难重重，学不好，学不会，没有兴趣。

“图形与几何”教学关于演绎能力的培养要遵循下列原则：

1.提早渗透“理解逻辑关系”，推迟“逻辑关系的形式化表达”，采用三步走的策略。

第一步，学习“说话”——渗透“理解逻辑关系”。从七年级上册第一章，比如在“展开与折叠”与“从不同的方向看”中，开始渗透运用“如果……那么（就会）……”的方式思考。在第四章中继续渗透“理解逻辑关系”，比如对于比较线段的长短、角的大小，利用中点、角平分线计算，说明平行、垂直关系等，都可以让学生用自己喜欢的方式学习用“如果……那么……”的方式思考。

第二步，学习“写话”——理解逻辑关系。让学生用自己熟悉的喜欢的方式、语言表达逻辑关系，表达清楚即可。开始出现在七年级下册第二章《相交线与平行线》，到第四章《三角形》、第五章《生活中的轴对称》，到八年级上册第一章《勾股定理》、第三章《位置与坐标》。至此，相继出现了“图形的性质”“图形的变化”“图形与坐标”三个方面的内容。在这个阶段，教材对逻辑推理能力的要求定位是理解逻辑关系，可以用不同方式表达逻辑关系。比如，教学中给出如下问题：

如图3，已知AD与BE交于点C，且CD=CA，CE=CB，说明AB=DE。

无论学生给出下列哪种说明方式，教师都应该给予肯定与鼓励：

方式2（借助图形）因为有两边及其夹角对应相等，所以△ABC与△DEC全等，这样AB就等于DE。

方式1

（用言语表达）在△ABC与△DEC中，CA=CD，CB=CE，又有∠ACB与∠DCE是对顶角，所以∠ACB=∠DCE，根据“边边角”可得△ABC和△DEC全等，可以推出AB等于DE。

第三步，学习“作文”——演绎推理形式化表述。直到八年级上册第七章《平行线的证明》，才开始真正意义上的演绎推理。有了前面“说话”“写话”的积累，学生能较好地理解逻辑关系；在此基础上再用规范的数学语言表述出来，犹如水到渠成。然后，系统学习演绎推理，具体的内容有八年级下册第一章《三角形的证明》、第六章《平行四边形》，九年级上册第一章《特殊平行四边形》。至此，完成了初中阶段几何证明的学习。

2.2011年版课标力图通过调整证明依据，减少题量，降低证明难度，以达到学生既能掌握证明的基本方法，又能领会学习证明的意义的目的。“图形与几何”领域中列出了九条可以作为证明依据的“基本事实”，这是一个局部扩大的公理化体系。而由“基本事实”出发证明的有关线段、平行线、三角形、四边形等的性质也可以作为证明的依据。因此，教师在教学中，达到“审问慎思，言必有据”的目的即可；不要用偏题、难题、怪题，借培养推理能力之名，增加学生不必要的负担。

3.教材关于证明的编排遵循反复呈现、螺旋上升的原则。这也提醒教师在教学中，不要过早地随意拔高；要在七、八年级各章节中重视动手操作、实践体验，加强理解逻辑关系过程的教学。

4.培养演绎推理能力的同时，也要重视合情推理能力的培养。无论是2011年版课标还是北师大版教材，都十分重视这一点。比如，2011年版课标中就有一例，如下：

例62探索并了解：过圆外一点所画的圆的两条切线长相等。

[说明]通过探索和了解此结论的证明，帮助学生体验发现结论到验证结论的过程。

教学中可以参考安排如下的过程：

（1）发现结论。在透明纸上画出如图4的图：设PA、PB是00的两条切线，A、B是切点。让学生操作：沿直线OP将图形对折，启发学生思考，或者组织学生交流。学生可以发现：

PA=PB，∠AP0=∠BPO。

这是通过实例发现图形性质的过程。启发学生由特殊到一般，通过合情推理推测出切线长定理的结论。

（2）证明结论的正确性。如图5，连接OA和OB。因为PA和PB是00的切线，所以∠PA0=∠PBO=90°，即△POA和△POB均为直角三角形。又因为OA=OB和OP=OP，所以△POA和△POB全等。于是有

PA=PB，∠APO=∠BPO。

这是通过演绎推理证明图形性质的过程。

由此可见，合情推理与演绎推理是相辅相成的两种推理形式，都是研究图形性质的有效工具。

上述证明过程没有采用形式化的三段论，但有利于初学者把握证明的条理和说理的逻辑。

正如张奠宙先生在《直观几何》的前言中所说：“几何学习概括为四个步骤：直觉感知——操作确认——思辩论证——度量计算。”我国传统的几何重视后两个步骤，忽视了前两个步骤。2011年版课标把“几何”拓展为“图形与几何”，为我们协调地将四个步骤融会贯通创造了条件与空间。有意义的几何教学应该从学生的生活体验出发，建立在学生已有的认知水平上，实现发展学生的空间观念、几何直观，培养学生的推理能力的目标。