容斥问题大作战

阿贝尔博士的数学小课堂开讲啦！

本期主讲内容是容斥问题，主讲嘉宾们已经摩拳擦掌、跃跃欲试了，他们分别是：成语小王子；诗词女侠客；引经据典怪。

阿贝尔博士人称小浣熊，就俩字：干脆。话不多说，先了解一下容斥原理的基本思想：

在先不考虑重叠的情况下，把包含于某一内容中的所有对象的数目计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无重复也无遗漏。

这个原理是不是有点复杂呢？没关系，看例子就懂啦！下面，容斥原理中最常见的两个问题：

二元容斥

如果被计数的事物有A、B两类，那么：是A类或B类元素个数= A类元素个数+ B类元素个数-既是A类又是B类的元素个数。

三元容斥

如果被计数的事物有A、B、C三类，那么：A类或B类或C类元素个数= A类元素个数+ B类元素个数+ C类元素个数-既是A类又是B类的元素个数-既是A类又是C类的元素个数-既是B类又是C类的元素个数+既是A类又是B类而且是C类的元素个数。

哇，字也太多了吧！都读晕了！如此复杂的容斥原理，我们该如何理解？

阿贝尔博士有方法——画图呗！

既属于A又属于B，我们用符号“∩”表示；属于A或B，我们用符号“∪”表示，这样就有了下面的图——

怎么样？转换完图形后，是不是既清晰又养眼？简直是拯救“一见长题就晕症”于水火之中啊！这就是大名鼎鼎的“韦恩图”啦！

敲黑板：韦恩图——用于显示元素集合重叠区域的图示。

看懂韦恩图，容斥问题也就迎刃而解了。

一次期末考试，某班有15人数学得满分，有12人语文得满分，并且有4人语、数都是满分，那么这个班至少有一门得满分的同学有多少人？

早就迫不及待了，就让我先来抛砖引玉、举一反三、循循善诱、海纳百川……

这是道简单的二元容斥问题，包含数学和语文都得满分以及至少有一门得满分的学生。我们可以根据已知直接画出韦恩图。

A类是数学得满分的人，有15人；B类是语文得满分的人，有12人。既是A类又是B类（A∩B）的就是数学、语文都得满分的人，有4人。

根据二元容斥公式：至少有一门得满分的人A∪B=A+B-A∩B=15+12-4=23人。

孔子云：“三人行，必有我师焉。”前面的家伙太小儿科，容斥问题的花样还多着呢！嗯，就让为师来“诲人不倦”吧。

某校六（1）班学生，每人在暑假里都参加体育训练队，其中参加足球队的有25人，参加排球队的有22人，参加游泳队的有34人，足球、排球都参加的有12人，足球、游泳都参加的有18人，排球、游泳都参加的有14人，三项都参加的有17人。那么这个班至少有一项参加的同学有多少人？

三元容斥看起来复杂，但只要画出韦恩图，难题立马变简单。

A类（参加足球队）：25；

B类（参加排球队）：22；

C类（参加游泳队）：34。

A∩B=12；A∩C=18；

B∩C=14；A∩B∩C=17。

再带入三元容斥公式，至少有一项参加的人A∪B

∪C=A+B+C-A∩B-A∩C-B∩C+A∩B∩C=25+22

+34-12-18-14+17=54人。

“巾帼不让须眉”，前面的怪物同学别看了本《论语》就觉得天下无敌啦，要知道“山外青山楼外楼”！

某学校六年级共有学生200人，学号分别是：1，2，……100。学校在该年级做了一个用手机、平板电脑、笔记本电脑上网人数的调查，结果出现了一个非常有趣的现象：学号是2的倍数的学生用手机上网，学号是4的倍数的学生用平板电脑上网，学号是5的倍数的学生用笔记本电脑上网。问：这个学校的六年级学生中，有多少个学生不用这三种设备上网呢？

这个三元容斥问题要复杂不少，直接画韦恩图可有些摸不到头脑，我们要先计算出至少用这三种设备中的一种上网的人数，再用总数减去这些人数，就是不用这三种设备上网的人数。

A（学号为2的倍数）（用手机上网）：200÷2=100（人）；

B（学号为4的倍数）（用平板电脑上网）：200÷4=50（人）；

C（学号是5的倍数）（用笔记本电脑上网）：200÷5=40（人）；

A∩B（学号为2×4=8的倍数）：200÷8=25（人）；

A∩C（学号为2×5=10的倍数）：200÷10=20（人）；

B∩C（学号为4×5=20的倍数）：200÷20=10（人）；

A∩B∩C（学号为2×4×5=40的倍数）：200÷40=5（人）。

所以，根据三元容斥公式，至少用这三种设备中的一种上网的人A∪B∪C=A+B+C-A∩B-A∩C-B∩C+A∩B∩C=100+50+40-25-20-10+5=140（人）。

那么，不用这三种设备上网的人为：200-140=60（人）。

算与不算，题就在那里

某班全体学生进行短跑、游泳、篮球三个项目的测试，有4名学生在这三个项目上都没有达到优秀，其余每人至少有一个项目达到了优秀。这部分学生达到优秀的项目、人数如下表：

这个班的学生人数是多少？