不同驱动力下物理摆运动研究

物理摆动是生活中最常见的运动。大家都知道，物理现象普遍存在我们的生活中。基本的物理摆动包括简谐运动、阻尼运动、受迫运动等等。对于生活中典型的摆动，运用基础的物理知识，分析及运算，得出正确的答案和模拟方案。然后用简单的计算机语言，充分、形象的描述这个摆动过程中各个时期的摆动状况，是我们这次研究的最主要目的。

物理摆动普遍存在于生活中。因为有种种外有作用力的存在，运用能量守恒的知识我们便可发现，对于我们生活在地球上来说，永恒的摆动是不可存在的。简单的概括，可以包括：简谐运动、阻尼运动和受迫运动。本文中我们列举了几种不同驱动力下不同物理摆动的模拟，来一个个认知我们生活中的这些物理摆动。借助于计算机强大的辅助功能，能让我们更清楚全面的了解物理摆动。

1 简谐运动

1.1 理想条件下的单摆模拟

1.1.1 理想模型

理想模型是为了便于研究而建立的一种高度抽象的理想客体。更是为了方便实验和利于计算按实验数据，主观方面省去了很多阻碍实验的数据，将它们全部排出在外。

1.1.2 单摆的组成

假设单摆的绳子不可伸长，且质量不计，线长又比球的直径大得多。排除空气阻力及其一切内摩擦力，统一重力加速度 。当单摆的最大摆角小于5°时，单摆的振动近似为简谐运动。单摆运动的周期公式：

（1-1）

其中 指摆长， 是当地重力加速度。单摆做简谐运动的周期跟摆长的平方根成正比，跟重力加速度的平方根成反比，跟振幅、摆球的质量无关。

1.2 简谐运动动力学方程

简谐波是简谐振动在弹性介质中的传播。波源沿y方向振动，波在z轴上传播的平面简谐波方程为：

（1-2）

式（2-2）描述了介质中各体元在各时刻的振动情形。当变量 取一定值 时，方程只描述介质中 处一个体元的简谐振动，式（1-2）变为：

（1-3）

即为 处体元的振动方程。

当变量 取一定值 时，则方程所表达的是在 ，时刻介质中各个体元的瞬时状态。式（1-2）变为：

（1-4）

即为 时刻的波形方程。

1.3 简谐运动振幅时间图像

设定单摆的周期为T，最大振幅为A，我们建立A关于T的一个函数，拟定程序后，计算机处理的图像如下：

图1 简谐运动振幅——时间图像

由图像可知，单摆在一个周期T完成了一次全振动，之后重复振动，这样的运动我们叫做简谐运动。

2 阻尼振动

振动系统的无阻尼振动时对实际问题的理论抽象。如果现实世界没有阻止运动的能力的话，整个世界将处在无休止的振动中。客观世界是和谐的，有振动又有阻尼，保证了我们生活在一个相对安静的世界里。本章中，我们对单摆施加一个空气阻尼，来完成阻尼振动的实验模拟。

2.1 空气阻力

空气阻力指空气对运动物体的阻碍力，是运动物体受到空气的弹力而产生的。空气阻力跟速度的平方成正比，速度越大，空气阻力越大。

根据空气阻力的公式：

（2-1）

式中：C为空气阻力系数； 为空气密度；S物体迎风面积；V为物体与空气的相对运动速度。由上式可知，正常情况下空气阻力的大小与空气阻力系数及迎风面积成正比，与速度平方成正比。

2.2 阻尼振动微分方程

阻尼振动微分方程：

（2-2）

单摆在受空气阻尼的情况下，C表示空气的阻尼系数，k可以用重力加速度g表示。考虑到单摆的初始条件，

（2-3）

解得： 。其中 （单摆系统的阻尼比）， （单摆系统的固有频率）， （空气阻尼系数）。

当 不同，其他条件都相同时， 越大周期越长，而初相位会越来越小，振幅改变的幅度越来越小。当只有 改变时， 越大振幅改变的幅度越来越大，和周期和初相位无关系。当只有 改变时， 越大初相位也越来越大，周期越来越小。

3 受迫振动

3.1 简谐强迫振动

簡谐强迫振动指激励是时间简谐函数，它在工程结构的振动中经常发生，它通常是由旋转机械失衡造成的。简谐强迫振动的理论是分析周期激励以及非周期激励下系统响应的基础。通过分析系统所受的简谐激励与系统响应的关系，可以估计测定系统的振动参数，从而确定系统的振动特性。

3.3 能量关系与等效阻尼

3.3.1 能量关系

从能量角度看，简谐强迫振动全过程有点像汽车的运动。当在一个周期内外力对系统所作的功与系统消耗的能量相等时，系统做稳态振动。对于无阻尼系统，由于无阻尼，振动时无能量消耗。当激励频率 无能量输入，外力对系统不做功。当 时，外力对系统做功，使系统能量越来越大，以致振动的振幅越来越大。

3.3.2 等效阻尼

振动时振动能量的耗散有各种的形式，并且与许多因素有关，处理起来比较复杂。在线性振动理论中，通常把其形式的阻尼等效为黏性阻尼，以使阻尼力线性化，得到等效的线性系统。其方法是，假定系统做简谐振动，令原系统耗散的能量与黏性阻尼耗散的能量等效通过，从而求出等效阻尼系数。

三个参数不同初相位、幅不同以外，其他大致一致，且周期相同。那么可以看出：阻尼振动周期是由外力的周期决定的，但是系统的能量并不是无限放大的，最后还是做类似于简谐运动的受迫振动。

物理摆是生活中最常见的物理现象，不同的驱动力下能出现不同的物理摆动。第二章中我们介绍了简谐振动及其基本特征，第三章中我们增加了一个空气阻力，以此制造了一个阻尼振动，更详细的分析了阻尼振动的种种性质。第四章中又引进了外力，从受迫振动微分方程出发，以及能量的角度，多方面阐述了简谐强迫振动。从现象认知本质，再从本质理解现象，这个是我们物理历史中进步的源泉。