空间曲线的切线与法平面探讨

设空间曲线：

，

在点处的切向量为

，

切线方程为：

，

法平面方程为：

.

如果空间曲线是方程组表示，则可将一个变量（如）看作参量，利用隐函数求导法，求出，，则切向量为.

例1 求曲线，在点处的切线和法平面方程.

解析设，则有，.于是，因此切线方程为

，

法平面方程为

即

.

例2 求曲线，在点处的切线和法平面方程.

解析当曲线以两个曲面方程

，

交线形式给出时，可先求出两曲面在交点处的法向量：

，

则曲线在该点的切向量为

，

本题中，，，

.

于是，切线方程为

或

.

法平面方程为

即

.

例3证明曲线

，，

与锥面的各母线相交的角度相同.

解析圆锥的顶点在原点，过圆锥上任一点的母线也过原点.因此，母线的方向向量.

曲线在点的切向量为

.

因为，所以有

，

于是，交角相同.

例4求函数在点沿曲线

，，

在此点的切线方向上的导函数.

解析，

，

，

在点，它们的值分别是.

又曲線在该点的切线的方向余弦为.于是所求的导数为

.

（作者单位：河南工业职业技术学院）