线性不确定时滞系统的可靠保性能控制

王佑恩，黄华鸿

（三明学院 信息工程学院，福建 三明 365004）

线性不确定时滞系统的可靠保性能控制

王佑恩，黄华鸿

（三明学院 信息工程学院，福建 三明 365004）

研究了线性时滞系统的可靠保性能控制问题，该系统含有不确定性和执行器故障问题。考虑范数有界的不确定性和连续模型执行器故障，根据Lyapunov稳定性理论，给出状态反馈保性能控制器的存在条件，使得无论是否存在不确定性因素和执行器故障因素，均使得闭环系统是渐近稳定的，且控制器满足的性能指标有上界。运用LMI方法，提出了控制器的设计方法。最后通过数值算例验证了设计方法的可行性。

不确定时滞系统；执行器故障；保性能控制；可靠控制；Lyapunov稳定性理论

线性不确定时滞系统鲁棒可靠保性能是一种将时间相关系统和状态控制系统统一起来的一种连续化控制理论方法，这一理论方法现在得到了社会的广泛关注。

在实际控制系统中，经常遇到时滞和不确定性带来的影响。过去由于科技方面的不足，解决时滞和不确定性因素是一个非常艰难的挑战。随着计算机技术的深化发展，使得对这类问题的研究带来方便。近年来，时滞系统的鲁棒保性能分析已经有了很大的进步，并取得大量成果。如文献[1]对包含时滞的一类非线性不确定系统,在执行器可能发生故障的情况下,研究了此类系统可靠控制器的设计和成本上界的确定问题。文献[2]考虑了状态滞后问题和输入滞后问题,并且采用带有时滞项的状态反馈控制器,全面地讨论了时滞系统的稳定性问题。文献[3]运用复变函数理论,将特征方程转化为幅值条件和相位条件,通过分析得到幅值与相位之间的单调特性。将系统的稳定条件对应右半复平面特征方程无解,获得了单时滞系统稳定的充分必要条件。另一方面，在控制系统中，时常会发生一些部件故障，如执行器故障、传感器故障等，所以必须设计出一个控制器来容忍这些故障带来的负面影响，使整个闭环系统都能保持在稳定状态。如文献[4]讨论了具有传感器故障的不确定系统的区域稳定可靠控制问题，给出了系统区域稳定的充分条件.通过求解一组LMI完成状态反馈控制器的设计。文献[5-6]对含有执行器故障的Delta算子系统，提出可靠保性能控制器的设计方法。

本文主要针对一类含有不确定性和执行器故障的时滞系统，根据LMI方法和Lyapunov稳定性理论，给出状态反馈保性能控制器的存在条件，使得闭环系统是渐近稳定的，且控制器满足的性能指标有上界，据此提出控制器的设计方法。

1 问题描述

设线性不确定性时滞系统为：

其中：x(t)∈Rn是系统的状态向量，φ(t)是连续可微初始函数，uf(t)∈Rm是为执行器故障的输入向量，d(t)是为时变时滞，满足 0≤d(t)≤d＜∞，d'(t)≤k＜1，A，A1，B是常数矩阵，ΔA，ΔB表示不确定性矩阵，并且假设

(2)式中E，G1，G2为已知适维常数矩阵，F为满足FTF≤I的适维不确定性参数矩阵。

系统(1)的性能指标定义为：

这里Q，R是对称正定的矩阵，选择如下状态反馈控制：

由于执行器可能存在故障，因此假设被控对象的实际输入信号模型为：

其中M=diag{m1，m2，…，mm}为执行器故障矩阵，mi（i=1,2，…，m）满足 0≤mli≤mi≤mui，1≤mui，当 mi=0时，表示执行器第i条通道完全失效；当mi=1时，表示执行器第i条通道工作正常；当0≤mdi≤mi≤mui，1≤mui且mi≠1时，表示执行器第i条通道部分失效，执行器故障扰动范围为0≤mdi≤mi≤mui，1≤mui。

为了方便起见，记：

这样，在状态反馈控制律(5)的条件下，得到含执行器故障的状态反馈控制时滞系统：

本文主要研究的问题是，对于具有状态时滞和范数有界参数不确定性的线性时滞系统(1)，设计状态反馈控制器，使得对于所有容许的不确定性和执行器故障，闭环系统(6)鲁棒渐近稳定，且闭环性能指标J满足J≤J*，J*是个常数。

2 主要结果

首先给出闭环系统(6)的渐近稳定的一个充分条件，因此提出一个可靠保性能控制器，使得闭环系统渐近稳定。首先介绍以下5个引理：

引理1[7]对给定的对称矩阵，其中S11是r×r维的，以下3个条件是等价的：

（1） S＜0，

引理2[8]对给定合适维数矩阵Y、D和F，且Y是对称的，则Y+DEF+ETFTDT＜0对所有满足FTF≤I的矩阵F成立，当且仅当存在一个常数 ε＞0，使得 Y+εDDT+ε-1ETE＜0。

引理3[9]给定适维矩阵Y、C和D,其中Y是对称的,如果存在对角矩阵U＞0，使得

那么对所有满足H2≤I的对角矩阵H,都有Y+CUDT+DHCT＜0。

引理4[10]X,W是合适维数矩阵，I是合适维数单位矩阵，a，b是同维向量，则下式成立：

引理5[10]在引理4中，如果令Y=I,Z=X-1，则有：

由引理1～5，得到本文主要结论。

定理 1对于系统方程(1)，给定常量 d＞0，存在矩阵 K 和对称正定矩阵 P，S，N 且 P＞0，S＞0，N＞0，对任意的不确定性矩阵F和执行器故障M，以下不等式成立。

这里 x（-t），t∈[0，d]是系统的初始状态。

证明：若定理条件成立，记

通过引理 4、5，把 V(x（t）)沿着闭环系统(6)的状态轨迹关于的导数为：

所以 V'（x（t））=V'1+V'2+V'3

由(9)式，可知 V'（x（t））＜0，根据 Lyapunov 稳定性理论，系统(6)渐近稳定。 又由(7)式和(10)式，可知：V'（x（t））＜-xT（t）（Q+KTMRMK）x（t）。 对上式两边 t从 0 到 ∞ 求积分，可得：

定理得证。

定理 2对于系统(1)，如果存在正定矩阵 X＞0，W，S-1，N＞0以及正定对角矩阵 U，ε＞0使得

Γ7=XAT，* 表示由对称矩阵的对称性的块，如果不等式(10)有

证明：由定理1，如果存在矩阵K,P,S使得式成立，则u（t）=Kx（t)是系统的的一个保性能状态反馈控器。首先记

运用的Schur补性质，Ω＜0等价于：

继续运用Schur，上式等价于：

其中:Γ3=(A+BMK+A1)TP+P(A+BMK+A1)+S+Q+KTMRMK。由引理1,若存在一个标量ε＞0，对所有可能的故障矩阵M，都有：

根据Schur补性质，(16)式等价于：

其中Γ4=(A+BMK+A1)TP+P(A+BMK+A1)+S+Q+KTMRMK+ε1PEETP。式（17）两边分别左乘右乘diag{P-1S-1I N I}，再次运用Schur补性质，上式等价于：

其中:X=P-1，W=KX,Γ5=X(A+BMK+A1)T+(A+BMK+A1)X+XSX+XQX+XKTMRMKX+ε1EET。

再次运用Schur补性质，上式等式为：

其中 Γ6=X(A+BMK+A1)T+(A+BMK+A1)X+ε1EET。

并通过引理3得：

因此，若定理2条件成立，那么定理1的条件成立，从而线性不确定时滞系统(1)存在反馈控制器。

由于(12)式，可以看出整个系统有使用初始条件值，为了解决关于初始条件方面这一问题，可以使用这样的一种处理方法：假设该系统的初始状态是一个未知数的，但都属于集合S={x(-d（t））∈Rn：x(-d（t））=Zvt，vtTvt≤1}，其中 Z 是一个已知常数矩阵，由(12)式可得：

这样，定理2就给出了系统(1)控制器的一种设计方法，ε，X,W，S-1,U1-1,N-1,U2这些变量是不等式(11)矩阵里的参数，因此可以通过Matlab软件的LMI工具箱来判断矩阵不等式是否符合条件。如果矩阵不等式满足小于0的条件，则工具箱会给出一个可行解，可以令 K=，状态反馈器u（t）=Kx（t）是系统(1)的一个保性能控制器，且满足闭环系统的性能指标。最后，通过建立一个最优模型，使得性能指标上界最小化，从而得到一个最优的可靠保性能控制器。

3 数值算例

考虑带有执行器问题的线性不确定时滞系统(1)，其中：

假设状态时滞上界d=1，其中执行器故障矩阵为：

系统性能指标如(3)，加权矩阵为：

设初始状态集(20)中，Z=1.5I。

使用Matlab求矩阵不等式(11),最后得到的可行解为：

此时性能指标J的上界Jmax=3.4196。

在根据最优控制器设计方法。使用MATLAB的LMI工具箱，求解最优化问题(21)，结果最优解为：

4 结束语

研究一类具有执行器故障和不确定性时滞系统的鲁棒可靠保性能，据跟Lyapunov稳定性理论和线性矩阵不等式方法，提出状态反馈控制器的存在条件和设计方法，从而给出了满足性能指标的保性能状态反馈控制器。通过实例验证了该方法的可行性。

[1]姚朋朋，付兴建．一类不确定非线性时滞系统的可靠保成本控制[J]．计算技术与自动化，2017，36（1）：1－5．

[2]李飞飞．线性不确定时滞系统的可靠控制研究[D]．沈阳：沈阳师范大学，2014．

[3]刘士亚，肖红军，屈莉莉，等．线性时滞系统稳定的充分必要条件[J]．佛山科学技术学院学报（自然科学版），2016，34（4）：30－33

[4]张榆平，朱宏．具有传感器故障的不确定系统的区域稳定可靠控制[J]．信息与控制，2006，35（6）：679－683．

[5]肖民卿，王佑恩．参数不确定Delta算子时滞系统的可靠保性能控制[J]．福建师范大学学报（自然科学版），2011，27（5）：23－28．

[6]王佑恩．Delta算子时滞系统的可靠控制[D]．福州：福建师范大学，2012．

[7]俞立．鲁棒控制－线性矩阵不等式处理方法[M]．北京：清华大学出版社，2002．

[8]XIE，DE SOUZA C E．Robust control for linear time－invariant systems with norm－bounded uncertainty in the input matrix[J]．Systems ＆ Control Letters，1990，14：389－396．

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[10]HAN Q L，M EHDI D．Robust stabilization for uncertaintime －varying delay constrained systems with delay －dependence[J]．International Journal of Applied Mathematics and Computer Science，1999（b9）：293－311．

Reliable Guaranteed Cost Control for Linear Systems with Time-delay and Parameter Uncertainties

WANG You-en,HUANG Hua-hong

(School of Information Technology,School of Sanming,Sanming 365004,China)

The problem of reliable guaranteed cost control for a class of linear systems with time-delay and parameter uncertainties is studied.In the discussion,norm-bounded parameter uncertainties and actuator failures with continuous model are considered.Based on Lyapunov theory in delta domain,a sufficient condition of existence of the controllers is presented in terms of linear matrix inequalities.And then a design method of the controllers is proposed.A numerical example is given to illustrate the availability and effectiveness of the method.

uncertain time-delay system;actuator failure;guaranteed cost control;reliable control；Lyapunov theory

TP273

A

1673-4343（2017）06-0001-08

10．14098/j．cn35－1288/z．2017．06．001

2017-06-15

福建省教育厅科技项目（JAT160474）；三明学院科研基金项目（B201623）；福建省自然科学基金计划项目（2017J01567）

王佑恩，男，福建三明人，讲师。主要研究方向：Delta算子系统。

朱联九）