利用微元思维在国际高中物理课程中实施跨学科融合教学

周全

【摘要】本文主要讨论如何通过微积分作为数学工具来引导学生学习和理解国际高中物理课程中运动学的相关知识。本文使用了微积分中最基本的微分和积分定义，通过将物理量套用到微积分定义公式中来帮助学生推导出匀变速直线运动的位移公式。该方法能够清晰准确地体现物体运动时，位移关于时间非线性变化的运动学过程。从而实现物理老师利用高级数学工具进行跨学科融合教学的方法和手段。

【关键词】国际高中 跨学科 课程融合 运动学 微积分 AP A-Level

【中图分类号】G633.7 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2017）47-0162-01

近几年来，国际高中办学受到社会各界广泛关注，各种国际高中项目层出不穷，百花齐放。其中最受广泛认可的国际高中项目有两个分别是A-Level课程和AP课程。这两个课程中的微积分和物理学都作为必修科目来设置，对学生来说至关重要。而相对从初中就接触的物理学来说，微积分对于学生要陌生得多。很多同学在上了微积分课以后，能够把里面的公式记得滚瓜烂熟，使用公式解决很多纯数学问题。但是学生对于微积分的理解也往往只限于公式的使用，而缺少一种很重要的意识和思路，那就是微积分是一种有效的数学工具，利用这种数学工具可以解决很多别的学科的问题，比如利用微积分来解决物理中的各类问题。因此，如何解决学生在未来能够真正地利用好微积分这一数学工具来解决更多实际问题成为了需要亟待解决的问题。

造成这种情况的原因是大多数同学在高中阶段学习微积分时候，缺少对于微积分作为数学工具来理解的重要引导，只注重单纯的公式套用和解题。老师在讲解定义的时候，同学也没有仔细去理解定义的含义，而是把注意力都放在了解题上。然而，数学本身是抽象的，它实质是一种逻辑思维的体现。如果没有好好理解定义，大家是不可能真正地学好数学，那也就更 不可能在解决问题的时候做到有的放矢了。

所以要真正理解微积分，数学和物理老师要引导学生培养出所谓的“微元”思维。这种“微元”思维是指在处理问题是，从对事物的极小部分（在数学上称之为“高阶无穷小量”）分析入手，即将较为复杂的大系统在微观层面拆分成“无穷多”个相对简单的小系统，并对其进行分析，找到其中规律，再累计求和，将小系统叠加还原成原来复杂的大系统，最终达到对于整体大系统的本质了解。

通过上述思维定义，我们可以知道，“微积分“实际上分为两大部分：微分（differential） 和積分（integral）。微分是将整体的东西拆解成微小的部分，而积分是将微小的部分叠加成整体。由此可以看出微分和积分是互逆的两个过程。而“积分”这个中文名词让很多同学产生了误解，认为”积“是乘积的意思，而实际上”积“是累积的意思。老师在教授微积分定义的时候，必须把这一点说明清楚，以避免学生产生不必要的理解错误。

知道微积分的意思以后，对于我们分析问题就给明的最根本的方向。比如我们在以前的数学课上有一个说法“无数个点可以连成一条线，无数条线可以组成一个面“。这个说法其实错误地影响了很多学微积分的同学。在微积分中，能组成一条线的是无穷多条短线，这些线无穷短，但永远不会是一个点；能组成一个面的是无穷多个小面，这些面的面积无穷小，但永远不会变成一条线。

那么这两种表达方法的区别其实非常的明显：线如果要组成面，必须通过乘积，因为维度不一样，线是一维的，面是二维的。可能学生对于“维度”（dimension）这个词不熟悉，但是对于线和面在坐标系上的函数表达式还是比较熟悉的：线在平面直角坐标系上最少是用一次函数表示的，而面积在平面直角坐标系上最少也是用二次函数表示的。比如y=x就是一条直线，而要表示这条直线和x轴以及任意垂直于x轴的竖线组成的面积是，必须使用三角形面积公式，即底乘以高除以2，得到x？鄢y/2。又因y=x， 所以结果就成了x2/2。这并不符合我们微积分的“累积”原理，而如果是无穷多个小面组成一个大面积，那么自然是符合“累积”原理的。这一点，老师要提醒学生一定特别注意，微分和积分的过程必须要在同一个维度上进行，即”由线到线“和”由面到面”。

上图中就是一个求面积的例子，要求的函数y=p（x）关于x的积分，实际是求函数y=p（x）这条曲线和x轴，以及x=-∞ 和 x=∞两条竖线所包裹的面积。那么首先要把这个大面积拆分成无穷多个小面积，而这些小面积都是矩形。每一个小矩形都是由长（坐标系中任意p（x）的值）和宽（横轴上无穷短的小线段dx）所组成的。所以每一个小矩形的面积都是p（x）？鄢dx，然后再把这无穷多个小矩形的面积加在一起，就得到了最后的面积F（x）的值了，叠加小矩形的符号不适用+号，而是用积分符号∫。

在物理学中，也会遇到很多需要微分和积分思维来解决的问题。比如学生在遇到运动学中匀变速直线运动的相关问题时就往往需要微元思维来更好地理解。我们还是拿上图这个例子来做一个物理量的套用。我们把y=p（x）中各个字母都设定一个对应的物理量： p代表物体的运动速度，x代表时间（当然时间的定义域是从0到+∞），那么函数y就是一个物体运动速度关于时间变化的函数，而无穷短的小线段dx就代表无穷短的时间段了，也可以等效看成某一时刻对应的那一瞬间。这时每一个小矩形的面积p（x）？鄢dx的物理学定义是x时刻物体的运动速度p（x）乘以时间段dx，得到在这一时刻物体进过的位移。最后，无穷多个小矩形的面积累积在一起，就可以得到在整个计算的时间段内物体运动的总位移F（x）。

这个匀加速直线运动位移公式对于学习过运动学的同学来说，应该是非常熟悉的。国内高中物理教学中，要推导出上述公式，老师往往采用的是平均速度的方式。而在国际高中的学习的学生由于具备一定的微积分学习基础，熟悉微积分的基本公式，物理老师可以通过这种微元思维把非线性的运动学公式推导出来。使用这种方式进行跨学科融合式教学，不仅使得公式推导更加地精准，还能够培养学生利用微元思维分析和理解各类物理学问题，帮助学生更好地理解微积分这一数学工具的实际意义。