从物理竞赛迁移到高考的应用

温文辉��

摘要：不计重力的带电粒子沿垂直匀强磁场方向运动时将受到洛伦兹力的作用做匀速圆周运动，这是常见问题。若粒子除受洛伦兹力外还受到其他力，则高中学生能处理的问题无非是洛伦兹力与其他力平衡做匀速直线运动或所有其他力平衡后合力为洛伦兹力做匀速圆周运动两种情况。若是出现复杂的曲线运动时，由于速度的大小和方向时刻在改变，洛伦兹力就时刻改变，要求解此类问题的运动情况，高中阶段几乎没有办法解决。但在物理竞赛中，经常会碰到这种题型，处理方法是为带电粒子配上一对大小相等方向相反的速度（其实合速度等于零）或对带电粒子的初速度进行分解，把复杂的曲线运动分解为匀速直线运动和匀速圆周运动的合成，这两种运动是高中生所熟知的。这实际上是借助等效原理和运动的合成分解原理，在全新的数理模型基础上简化了问题，这种方法常称为“配速法”。

关键词：电场；磁场；洛仑兹力；配速法

先复习一下速度选择器模型。如右图所示，空间存在着电磁复合场，匀强磁场B垂直纸面向内，匀强电场E竖直向下，一个带电量为+q的粒子（重力不计）以初速v0沿水平方向进入复合场，则粒子受力情况为：洛伦兹力竖直向上，电场力竖直向下，若满足：qBv0=qE得v0=EB，则带电粒子将受平衡力作用做匀速直线运动。

若粒子进入上述电磁场时速度v≠v0，则运动轨迹将是复杂曲线，解决办法是将粒子的运动可看成是v0与v1两个运动的合运动，即v分解为v=v0+v1，因而粒子可以看做受到的两个洛伦兹力可看成qBv0与qBv1，其中qBv0平衡电场力qE，则粒子在电磁场中所受合力为F合=qBv1，这样，粒子的复杂运动分解成以匀速直线运动（速度v0）和匀速圆周运动（速率v1）的合运动。以下通过几个例子对“配速法”进行剖析，以期进一步理解并掌握。

【例1】如右图所示，在垂直纸面向内的匀强磁场B和竖直向下的电场E中，有一质量m、带电量+q粒子由点P无初速释放，请分析它的运动，求：

（1）粒子向下运动的最大位移dm。

（2）粒子运动过程中的最小速度和vmin最大速度vmax。

（3）定量计算粒子在水平方向运动的特点。

分析：由于粒子初速为零释放，它的运动轨迹如下图所示，是周期性的曲线运动。运用配速法，把初速为零看成是向右的v0与向左-v0两个运动的合运动，同时粒子向右v0运动时产生竖直向上的洛伦兹力平衡電场力，即qBv0=qE，得v0大小为：v0=EB。所以粒子可看成是向右以速度v0做匀速直线运动和以速度v0做逆时针匀速圆周运动的合运动。

解：（1）电场方向上向下最大位移

dm=2RR=mv0qB=mEqB2得dm=2mEqB2

（2）最大速度在最低点Q点处，此时速度

vmax=vQ=2v0

最小速度在最高点与P等高点处vP1=vP2=0

（3）粒子周期性运动，设一个周期向右移动距离L，即pp1=p1p2=…=pn-1pn=L

L=v0TT=2πmqB则得L=2πmEqB2

【例2】空间存在一个垂直纸面向里的水平匀强磁场，有一质量为m、带电量为+q的小球（看做质点），在离地面高为h处从静止开始释放，若小球与地面不会相碰，求磁场磁感应强度的最小值Bmin（忽略小球下落时空气阻力的影响）。

分析：如图所示，初速为零的粒子可看成是向右的v0与向左-v0两个运动的合运动，其中水平向右运动受到的洛仑兹力平衡重力，水平向左的速度受到的洛仑兹力充当向心力做匀速圆周运动，有：

mg=qv0B，qv0B=mv20R，h≥2R

解得：B≥mq2gh，则Bmin=mq2gh

【例3】如图所示，二维坐标系中存在着垂直纸面向内的匀强磁场B和竖直向下的匀强电场E，一电子从坐标原点处静止释放，求电子在y轴方向运动的最大距离ym（电子的重力不计）。

分析：如图所示，水平方向可以看作向右的v0与向左-v0两个运动的合运动，其中水平向右匀速运动受到竖直向下的洛仑兹力平衡竖直向上的电场力，水平向左运动受到的洛仑兹力充当向心力做瞬时间匀速圆周运动，有

eE=eBv0，ym=2R，qv0B=mv20R

则 y轴正方向前进的最大距离ym=2mEeB2

【例4】（08年江苏高考改编）空间有垂直纸面向内的水平匀强磁场B，一质量为m、带电量为+q的小球在O静止释放，小球的运动曲线如图所示。已知此曲线在最低点的曲率半径为该点到x轴距离的2倍，重力加速度为g。求：

（1）小球运动到任意位置p（x，y）的速率v；

（2）小球在运动过程中第一次下降的最大距离ym；

（3）当在上述磁场中加一竖直向上场强为EE>mgq的匀强电场时，小球从O静止释放后获得的最大速率vm。

解：普通解法：

（1）只有重力做功，由动能定理mgy=12mv2-0得v=2gy

（2）设在最大距离ym处的速率为vm，根据圆周运动有：qvmB-mg=mv2mR，由上式vm=2gy和已知条件ym=2R得则ym=2m2gq2B2

（3）小球运动如右图所示，由动能定理得

（qE-mg）ym=12mv2m-0

由向心力公式：qvmB+mg-qE=mv2mR已知条件：ym=2R得：vm=2（qE-mg）qB

用配速法解：

（1）如上解法一样

（2）需要平衡重力，可看成是水平向右的v0与向左-v0两个运动的合成，水平向右做速度v0的匀速直线运动，qBv0=mg得v0=mgqB

水平向左速度-v0在洛伦兹力作用下做逆时间圆周运动，ym=2R=2mv0qB=2m2gq2B2

（3）现在需要平衡电场力与重力的合力，可看成是向右的v0与向左-v0两个运动的合运动，其中水平向左运动受到竖直向下的洛仑兹力平衡竖直向上的qE-mg，水平向右运动受到的洛仑兹力充当向心力做匀速圆周运动，有

qE-mg=qBv0，在最低处两个速度同向最大，vm=v0+v0 则vm=2（qE-mg）qB

【例5】如图所示，电容器中存在正交的场强为E的匀强电场和磁感应强度为B的匀强磁场，一质量为m电荷量为q的质子，以初速度v0从左端沿中线从左方水平射入，若qBv0>qE，当质子从右端距离中心线s的p处射出，求：

（1）质子射出的速度vp大小；

（2）分析质子运动过程中的加速度如何变化，求出p处ap的大小。

解：（1）由于洛伦兹力不做功，只有电场力做负功，则：

-qEs=12mv2p-12mv20得vp=v0-2qEsm

（2）虽然速度大小和方向都变化，同样可以用配速法，现把v0分解成两个方向都向右的v1和v2，则v2=v0-v1，让qBv1=qE，则运动可以分解成水平向右的匀速直线运动（v1）和逆时针方向匀速圆周运动（速率v2），公式如下：

qBv1=qE，v2=v0-v1，qv2B=mv22R，ap=v22R，

则任意位置的加速度都一样为：ap=qBv0-qEm

【例6】（2013年福建高考压轴题最后一小题改编）如下图，空间存在一范围足够大的垂直于xOy平面向外的匀强磁场B和沿y轴正向、大小为E的匀强电场，一粒子从O点以初速度v0沿y軸正向发射。让质量为m，电量为q（q>0）的粒子在xOy平面从坐标原点O沿y轴正方向以初速度v0入射到该磁场中。不计重力和粒子间的影响。求该粒子运动过程中的最大速度值vm和离y轴的最大距离ym。

分析：设想在O处同时存在水平向右的v1与水平向左-v1，粒子水平向右运动受到的洛仑兹力平衡电场力，qBv1=qE，初速度v0与水平向左-v1合成v=v20+v21就是做匀速圆周运动的速度，如下图所示，则有：

qBv1=qE，qvB=mv2R，v=v20+v21

粒子最大速度在运动到最高处时沿水平方向，

解得：vm=v0+v=EB+v20+E2B2

设v与x轴夹角为θ，最大距离为：ym=R+Rcosθ，cosθ=v1v，

则：ym=mqBv20+E2B2+EB

参考文献：

[1]张大同.《物理竞赛教程》高三年级.华东师范大学出版社.

[2]沈晨.《更高更妙的物理》冲刺全国高中物理竞赛.浙江大学出版社.

[3]2008年江苏省高考物理试卷和2012年福建省理综高考物理试卷.