谈导数的几种应用与思路

刘旌扬

【摘要】导数是中学乃至大学数学中微积分部分的基础知识，如复变函数、泛函等都是以导数作为基础。导数在的几种问题，尤其在求函数的极值、单调性等方面，求解非常方便、简洁。同时，在极限求解方面，以导数基本原理为基础的洛必达法则更是一个求解极限类问题的不二法门。不仅拓宽了解题方法，更加快了解题速度。以导数在函数极值、单调性中的综合应用与洛必达法则为例，通过几个问题总结导数的解题思路与方法。

【关键词】导数极值单调性洛必达法则通常来说，导数可以从不同的角度灵活考察知识的综合运用和解决数学问题的能力。与此同时，导数与不等式、数列、函数等知识的交集命题，应用数学知识解决综合能力问题已成为今后命题的趋势和特点。本文试图以导数在函数极值、单调性中的综合应用与洛必达法则为例，通过几个问题总结导数的解题思路与方法。

一、导数在求函数极值中的应用

问题分析：（1）对于给定求函数单调性问题，看清题目所给条件，一般来说，若给条件是函数存在极值，则可推得导数存在零点，且零点非驻点。（2）本题中，不仅需要求函数的单调性，还需要求参数的取值范围。同理，根据所给条件，可确定函数存在零点，后求出极值点对应的x值，进行分类讨论即可。本题也与上一节联系紧密，说明导数的应用穿插于各类问题当中，用途广泛。

三、洛必达法则

解析：（1）对于该类不等式问题，首先应分离变量，并且将不等式一端用函数表示，多次求导可以确定分离变量后一端新函数的单调性；（2）求解出函数极值后，极值未必就在定义域内，若在极值点处函数满足洛必达条件，可利用上节内容求得极限。

四、总结

总之，导数作为大学课程《高等数学》中微积分的学习基础，在新课标的课程大纲中，将导数移至高中数学的学习，虽然，高中数学课程的学习内容增加了，但由于导数本身具有极强的实际应用性，能够非常好地解决一些例如极值问题、最值问题，在单调性问题、不等式证明等问题，并且在这类问题中具有突出的实际运用性，是高中数学学习过程中的一个很好的学习工具。与此同时，导数是在各类考试中重点的考试内容，霸占非常大的分数比例，一般试卷压轴题出导数的题目概率及其之高。因此，在学习导数过程中要注意理解导数的一些常规运用并且理解导数的意义，在基础问题方面勤加练习，做到举一反三，同时熟练的掌握导数的运用，才能在考试中发挥出理想的实力。

参考文献：

[1]王小燕.新课标下导数应用的进一步探索学习[J].中国校外教育，2014，（36） ：75.

[2]孙雪钰.高中生在“导数及其应用”学习中的困難及教学策略研究[D].山东师范大学，2011.

[3]薛爱梅.浅议导数的应用[J].改革与开放，2009，（09） ：156.