数学家如何为中小学数学教育做出贡献*

伍鸿熙 赵 洁 余 蕾 译

(美国加州大学伯克利分校)(北京景山学校朝阳学校 100012)

“为了打破教育研究的壁垒，我们应加强中小学教育工作者与高校教师队伍之间的有效联系.这使得教育工作者能够更好地了解高校学科内和学科之间以及其他专业领域的最新发展.同时，也促进以学科为背景的、对教育感兴趣的学者们在教育研究中更好地进行协作.”

——Lagemann,2000,p241

首先，我想发布一个免责声明.我认为我应该只讨论我所了解的第一手资料.所以我的评论仅限于美国的中小学数学教育，而不是立足于更大的全球视野.但这样的限定并非是必不可少的，因为据我的一个朋友观察发现，在美国发生的事情,一些年以后也可能发生在其他地方.例如，现在法国有一个数学战争就类似于九十年代美国的数学战争(《美国教育周刊》，2005).毕竟，我们是生活在同一个地球村里的.

让我从一个寓言故事开始说起吧.有两个村庄被一座大山隔开了，为了便于沟通，他们决定挖一条隧道.一开始，两个村庄都对自己所挖的那一半隧道方向的准确性坚信不疑.但是，当双方都完成他们各自的工作后，他们发现两半隧道在山的中间无法对接.在已经建好的两段隧道之间建立一个连接的隧道，虽然费不了很大的劲，但两个村庄为了捍卫各自的尊严，宁愿无休止地争吵着.

当我们把这两个村子换成注重教育学理论的教育界和注重数学内容的数学界时，这个寓言故事就与现实离奇地相似了[注]在关于社会现象(特别是教育)的文章中，人们认为，所有断言都必须被解释为统计意义上的结论，因此少数例外是不可避免的.事实上，这段论述也有典型的例外情况(尽管是极少数).提醒读者注意，这也适用于文章的余下部分..数学教育依赖于数学和教育学两大支柱，但数学教育中却不断发生一系列两个学界之间的冲突.这两个学界之间不团结的现象正是我们写这篇文章的原因.事实上，如果有人要写“化学家如何为化学工程做贡献”，那这个人会被认为是一个在不能称其为问题的问题上浪费笔墨的怪人.化学工程是一门定义十分明确的学科，化学工程师能够很好地朝着他们所坚信的方向去努力.他们了解他们工作所需要的化学知识，并且如果有任何疑问，他们会毫不犹豫地咨询化学家，以确保自己具备正确无误的化学知识.基于此，在国际会议的背景下，我们讨论“数学家如何为中小学数学教育做贡献”，说明在数学教育工作者与数学家之间的交流中存在着严重问题.

这篇文章的标题隐含地泄露了数学教育在学术界的权力结构：教育界掌控着权力.由于教育研究正在繁荣发展，研究经费充足，所以教育家们力图在高校的环境下维护其思想的独立性也不足为奇.我们经常会听到诸如此类的抱怨——数学专业水平不合格的老师或在数学专业知识上存在缺陷的课程削弱了数学学习的效果.我们期待人们积极鼓励数学教育工作者与数学家合作，但迄今为止还无人致力于此.其他与数学内容相关的令人不安的争议问题，如在标准化测试中出现的错误题目，同样没有激起数学教育界的真正关心.对于一个局外人而言，数学教育工作者看似更喜欢保护“教育”的领土，而不是与做研究的数学家一起合作来加强中小学数学教育.与之相比而言，如果化学工程系持续用有专业漏洞的化学知识来培养工程师，抑或该系的实验室频繁发生事故，那么化学工程学院会不会立即采取行动呢？这个问题引人深思：或许我们并不真正知道什么是数学教育.所以是时候轮到我们重新审视了.

“工程”这个词的一种含义是将科学理论量身定做从而满足人类的需要的艺术或科学.因此化学工程是一种科学，它将化学理论应用于解决人类的实际问题；电气工程是一种科学，它将电气化理论应用于设计我们生活中必要的、有意思的小器械.我要提出数学教育是数学工程的观点，意思是它将基本的数学原理量身打造，进而满足教师和学生的需求[注]本文完成后，Skip Fennell 让我注意到一篇文章“Access and Opportunities to Learn Are Not Accidents: Engineering Mathematical Progress in Your School”，作者是William F. Tate，文章可参见http://www.serve.org/ downloads/publications/AccessAndOpportunities.pdf.Tate关心教育公平性，他只是用“工程”一词作为比喻来强调设计不同教育政策和教学活动来促进学习，但他没有讨论数学在数学教育中的作用.此外，这篇文章还解释了为什么数学教育是数学工程..在讨论数学家如何为中小学数学教育做贡献之前，我会努力让你们相信，这是一个理解数学教育的好模型.一个合乎情理的结论是，只有数学家和教育家进行平等合作，中小学数学教育现状才可能有所好转.

有关数学教育的本质，贝斯(2005)给出一个类似的建议，即数学教育应当被看作是应用数学的一个分支[注]Hy Bass 于1996年12月在数学研究所的演讲中表达了这个观点，但文献[2]似乎更方便查阅.在完成本文后，Zalman Usiskin告诉我，在2000年日本ICMI-9大会后的关于教师的数学教育的美-日研讨小组会议报告中，他已经写过“‘教师的数学知识’是应用数学中的一个领域，在课程论中它值得拥有自己的地位.”沿着这样的思路，我们指出，Ferrini-Mundy 和Findell的文章[5]做出了同样的断言，同时，与Bass一样，它也没有提到数学教育的工程性.这些教育者也没有提到数学家和教育者需要在数学教育上平等地合作..但是我想强调的是“数学工程”与“应用数学”之间的区别，即中小学数学教育不只是要求将数学直接应用于中小学，而是要将科学原理按照人类的需要量身定做.因此，当赫兹证明发射和接收电磁波的可能性时，他通过对麦克斯韦理论进行科学应用，实现了一个科学上的突破.但是当马可尼利用赫兹的发现创造出收音机时，他又在电子工程方面做出了重大的贡献.这是因为他在驾驭一种抽象的现象方面，又额外迈出了一步来满足人类的需要[注]这项发明事实上属于特斯拉.但是与生活中许多事情一样，普遍的看法会取代真相.感谢S. Simic给我指出这一点..从这种意义上来讲，将作为数学工程的数学教育从作为应用数学的数学教育中分离出来，是将数学量身定制的关键步骤，而不是简单地直接将它应用于课堂上的特殊需求.对于量身定制这个观点，最好的例子就是在小学高段和中学的分数教学.接下来，我将进行说明.

迄今为止，在这个紧要关头，人们为了使学生高效使用分数的能力最大化，已经在如何帮助学生学习分数概念方面做了大量数学教育研究[注]在此我们不提供明确的参考文献.这是因为，我不希望在我的评论中针对某个具体的人或作品.我们只对一些一般性的领域给出一般性的评论..目前，大多数学生从他们的课堂教学中所了解的分数，是一幅分数各种不同“性质”看似随意地潜藏或涌现的支离破碎的画面.这类研究中的绝大部分，是通过强调这些“性质”之间的认知联系来处理这幅支离破碎的画面.通过利用问题，处理活动和上下文语境来帮助孩子建立他们对分数不同“性质”的直观感受.

这是一个良好的开端.但是如果我们超越7年级来彻底考虑学生的数学需求，那么我们可能会得出这样一个结论：仅仅建立知识联系是远远不够的.学生需要的是一个不模糊的分数定义，这个定义能告诉他们什么才是真正的分数.学生也需要接触定义与其他“性质”之间直接的、数学意义上的联系.他们要知道数学是简单的，是可以理解的.也就是说，如果学生能够把握分数的一种清晰的含义并且能自己进行推理，那么他们就能学习关于分数的全部知识，而不需要为任何一个“性质”感到惊愕.

站在一个数学家的视角，对于一个概念不得不做出多种解释是一种再熟悉不过的事情了.在大学课程中，人们处理有理数(包括正分数和负分数)时，或者抽象地把它作为特征为零的素域，或者作为整数的商域.问题是，这两种定义都不适合于五年级学生.数学教育研究者们也承认这一事实，即从有理数的这样一个精确且抽象的定义，人们可以证明有理数的所有各种各样的“性质”.如果我对所读的研究文献没有理解错误的话，这些研究者们已经放弃了探寻一个适合小学生使用的分数的精确定义.这也就是为什么他们选择建立有理数的“性质”之间的认知联系，而不是数学意义上的联系.课堂的需求看起来与数学本质是冲突的.基于此，我们引入了工程的概念.

事实证明，如果我们愿意通过彻底改变视角(即不站在数学家的立场)，不考虑商域和有序数对，寻找另一条适合于5—7年级学生理解的数学之路，进而实现在小学里“数学地”讲授分数是可行的.不谈细节，如果根据数轴上的某个点来确定分数，则至少前文中的数学窘境可以解决了.(详见Jensen (2003)，或Wu(2001)等).这种讲解分数的方法特别符合小学的需求，但从这个观点出发，推演出分数基本性质的工作并不十分容易，它必定需要一个数学研究家的专门技能.为了提供这样一个5—7年级可用的方法而进行的更长远的教学计划，教师和教育者的投入也绝对是必不可少的[注]一些曾与我共事的教师正在旧金山与他们的学生一起尝试这种方法..由此我们可看出，为了将一个抽象的数学内容变成课堂教学可用的课程，数学家和教育家二者都是如此地不可或缺.这是为满足特殊的人类需求而进行的抽象理论的特殊化定制，并且这就是工程学概念的实际运用.

通过分数的这个例子，我们初探到数学工程的原理如何控制一门课程的设计.同样地，即使是数学教育研究也不能与数学工程原理脱离.我们发现，如果在一开始讲授分数时就能意识到数学工程的概念，那么学生在学习分数时将减少很多困难.参见本文开始时引用Lagemann的话和他在2000年论文中的表述.

对数学教育的任何问题，我们都可以用一个完全类似的讨论方式进行量身打造.但是我们仅以下面的例子作为例证：

(a)对学困生的“指导方案”. 到目前为止，帮助这些学生的方法大多是以较慢的速度对各个课题进行“缩水”的教育方式，过分简化知识点而损失了它的本质.这从理论和实践的观点上看都是欠佳的“数学工程”.针对这种问题，我们给出一种完全不同的“数学工程”方案，参见Milgram-Wu，2005.

(b)中学初等代数的讲授.在教学中，通常会运用符号，使得关于“等号巧妙性”的研究文献论述冗繁复杂，并且会引入变量作为初中数学的核心概念.从这两种方式明显可以看出，当前我们教给学生的代数，还没有量身改造为适合学生需求的数学.关于这两个问题以及推荐的解决方案，详见Wu，2005d的前言、第1、2部分；Wu，2016.

(c)在国家或州的层次制定数学标准.这是一个所谓“实际最优化问题”的例子.它将数学量身打造，从而满足不同客户的多种多样的、偶尔还有冲突的需求.参考Klein，2005.

数学教育作为数学工程的概念也阐明了Lee Shulman(1986)的关于“学科教学知识”的概念.这就是教师为了提高教学效率所应当掌握必需的教学知识.如何精确描述这些知识，引发了许多人的兴趣.至少在数学领域，到目前为止这个目标已被证明是难以实现的(参考Hill-Rowan-Ball，2004)，但是Shulman的直觉和极具吸引力的设想使高效教学所必备的要素更加具体化.站在数学工程的视角，教师的一项主要职责是将他们的数学知识与学生所处的每个情境的需要相匹配.这项特殊的“工程”知识是学科教学知识的本质.尽管这个处理学科教学知识的观点对它的概念没有添加任何新的东西，但这个观点的确提供了理解这类知识的一种框架.这种框架不同于人们在教育讨论中所通常遇到的.它至少清楚地阐述了有效教学的三个部分：扎实的数学知识；清晰的情境感知(即学生的知识)；在特定情境下将正确的数学知识与用途相匹配.

在“不牺牲数学的完整性”的前提下对数学进行改造，这样的想法对数学工程极为重要.很显然，在工程学中，为了满足人类的需求而改造科学原理时，无论这种需求有多重大，我们都不能违背自然.换句话说，人们因为尊重科学的完整性，而不会尝试进行任何类似于反地心引力仪或永动机的愚蠢设计.同样地，在数学工程中，数学教育应当尊重数学的核心地位.再次以讲授分数为例.数学教育工作者应知道，无论人们尝试何种方式讲授分数，都必须尊重分数的抽象意义本身，尽管这种讲授方式从未被明确地使用过.比方说，如果教师在讲授分数时说道，“学生必须学习分数的新规则，而这些新规则与学生熟知的自然数的规则是冲突的”，那么他就会知道自己正在用一种错误的方式讲授分数.这是因为，无论人们花费多少努力让孩子直观地认识分数，都不能歪曲一个事实：整数环是有理数环的一个子环.在讲授分数时，我们有必要把分数的运算看成是自然数运算的自然延伸.但是长久以来人们却忽视了这一必要性.这导致太多的学生开始有这样的错误认识：继自然数之后，分数的运算是一个全新的开始.不幸的是，在课程设计中，这样糟糕的数学工程是一种普遍的现象.

将这种数学工程的错误最小化的唯一办法就是让数学家和教育家紧密地监管每个课程设计.事实上，如果我们认可将数学教育作为数学工程的观念，那么这两个学界必须在数学教育的所有阶段都共同合作：数学中的任何教学计划必须从一个数学意义上正确的概念出发，并且在对数学概念进行量身打造之前必须先清楚地理解教育目标.在这个过程中，几乎没有纯数学或者纯教育的东西；几乎每一步都是二者的结合.数学与教育在数学工程里是相互交织的.如果数学家们被看成是局外人，那么他们很难为中小学数学教育做出贡献[注]这里关于数学家只谈了一部分.更多关于数学家的内容，参见本文结尾部分..数学家们必须在规划、实践和评价每个教学计划时都能与教育工作者通力合作并且处于同等的地位.但是这与目前的现实大相径庭.

到现在至少有三十年了，美国数学界与中小学教育界都不相往来.(参考Washington Post，1999).我们可以逐条列举由这种沟通的隔阂所带给中小学数学教育的一些危害.但是在这之前，让我先指出三个一般性的后果.首先，教育界独立于数学界，导致关于教育的论述过分聚焦于数学教育中的纯教育方面，而似乎对数学避而不谈.结果就是在教育界中出现了一种微妙的病症，即“避开数学综合症”，并且这种病症将在下文讨论沟通隔阂带来的特定危害时反复出现.由于数学在数学工程中处于核心地位，所以毫无争议地说，在数学教育界的所有论述中，我们应该尽快根治这种“避开数学综合症”.

一些数学家在他们的职业生涯中，不仅讲授数学而且还设计数学课程，却似乎没有引起许多教育者的关注.在数学工程中，有一个巨大的知识库和经验库可供随时使用.然而，每当教育者们需要数学工程的帮助时，这两个学界之间的隔阂就使得教育者无法使用这一人类资源.

最后一个后果, 从达尔文的观点很容易理解.达尔文认为，如果一个系统是孤立的，并且按照自己的意愿进化，那么它必将发生突变并脱离正轨.于是，当中小学数学教育与数学界独立起来，中小学数学也独立起来，那么中小学数学必然会在很大程度上发展得不再与数学有相似之处.正确的定义将不复存在，或者即使存在也不会被人们使用(2005，Wu，2001a，2005a，2005c).数学的有机连贯性也将无迹可循(Wu，2002)，或者即使刻意强调“数学联系”时，这种“联系”可能也是微不足道或显而易见的.逻辑推理变成了一种添加剂，而一度被纳入初中几何课程的证明，也不断遭到削减.到现在，初中几何课程或中小学其他课程中几乎找不到任何证明(Wu，2004).诸如此类的例子还有很多.这样的发展变化自然会在许多方面降低数学教育的质量.

两个学界之间缺乏对话，导致数学教育中的许多工程性错误，其中一项就是不正确的数学测试题以及其他标准化测试(Milgram，2002).同样有缺陷的题目也影响到了教师资格证书考试(Askey，2006a，2006b).在评价过程中缺少数学的参与，导致了意想不到的结果，那就是测试分数经常被曲解.学生的测试分数低被认为是数学水平糟糕，但是几乎没有人考虑他们所要关注的可能不一定是学生的学业成绩的好坏，而是有缺陷的课程和有缺陷的教学所造成的不可避免的后果.这种可能性对于数学的“局外人”来说也许不明显，但对数学家来说，不需要任何研究就能证实，如果教给学生的是错误的数学，学生学到的就是错误的数学.根不正，苗必歪.如果不正确的数学随之体现在学生的测验分数中，那么我们如何能区分错误到底是由于学生受到不正确的数学知识导致的，还是由于学生自身理解错误导致的呢？关于这一想法在中学代数中的更详细的研究，参见Wu，2016.很显然，在学生评价的每个阶段，都需要数学家的参与.

数学家和数学教育家之间缺少合作，也影响到了教师培训.教师的质量问题是公认的，并且关于这个问题的严肃讨论已经开始在数学教育界内被广泛进行(参考Ma，1999；数学科学学会理事会，2001[注]无论读者对其中的细节持有任何保留意见，这卷书能在科学机构的赞助下获得出版才是具有重要意义的事.).由于中小学阶段的数学教师无法获得充分的指导，所以他们的数学知识一般都来源于他们在大学里所学的数学课程[注]值得注意的是在高校教育中所谓的“二阶效应”：教师的数学知识也受到他们自身中小学学习经验的影响，而这些教师的教师们本身都是他们所接受的大学数学课程的产物..一般来说，数学教师在大学所学的必需数学课程，数量和质量都不够水平.而且，讲授这些课程的教师，要么是与教师没有密切联系的数学家，不了解中小学课堂需要什么；要么是非专业数学家的数学教育工作者.如果是前者，这种课程常常与课堂无关；如果是后者，这种课程中可能会出现比较肤浅或错误的数学.教师们来自于这样的培训环境，自然会在数学上显得准备不足.

在职的教师培训中也存在着类似的缺陷，因此使得教师几乎没有途径来获得他们职业中所需的数学知识.比方说，过去十年出现了一些案例汇编，包括教师提供的课堂实录[注]明确指出，我所谈到的案例汇编只涉及中小学数学教育方面..其目的是请教师分析这些课堂实录，从而提高自身的教学能力.然而，在太多的案例引用中，编者在评论时忽视了一些明显的数学错误.这不禁增加了人们的担忧：我们正在培养一批精通于给中小学生讲授“错误数学”的教师.在这种情况下，数学工程对尊重数学完整性的需要完全被抛之脑后.

在美国，两个学界缺乏交流导致分裂的极端后果，无疑是由1989年开始的新课程改革造成的冲突.我最后提出这个争论，是因为它让我们直面数学家在参与中小学数学教育时的一些“不起眼的问题”.研制新课程之前，20世纪70年代至90年代之间，主要的出版商们印制的教科书在数学整体性上产生了不可扼制的退化.这一情况在上文中已经提及.这种退化引发了美国数学教师理事会率先做出改革.无论对错，新课程方案是在美国数学教师理事会改革的旗号下制定的，一些改革的新课程对广大学校产生了影响，并最终导致众所周知的“数学战争”(Jackson，1997).人们对这些新课程不满的根源是里面有太多的根本性的数学错误[注]可以肯定的是，这些数学错误大多与上文中的错误不同，但的确也是错误.，包括一些错误被搞科研的数学家认作是“不理解数学的证据”.后者的例证，如在小学数学课程中，不惜抛弃标准计算方法而去推广“新算法”的做法[注]1989年NCTM改革倡导，鼓励孩子们自己发明自然数加、减、乘、除的计算方法，而不是只教会他们如何使用标准的计算方法..尽管这种做法一部分是出于对“强加给学生标准算法而不作出任何解释”的过激反应，但它也反映出人们没有认识到在数学课上进行算法的推理性教学的重要性.

事实上，一些数学家参与了某些改革课程方案的制定.前面提到的“不起眼的问题”正源于此.第一件值得注意的事情是，在数学界与教育界之间基本无交流的情况下，这些数学家是罕见的例外.数学界与教育界确实是没有任何的交流.同时，这些例外的数学家似乎指出了一个明显的冲突：本文提倡的是要获得好的数学教育，数学家与教育工作者必须处于同等的地位通力合作，但现在有缺陷的新课程已经有了数学家的参与.如何调和这个冲突？答案是———根本没有冲突.数学家的参与是中小学数学教育有望成功的先决条件,但并不保证一定就能成功.这里容易让大家回想起八年前经常出现的类似争论，当时，有一些数学家首次公开提出数学教师必须有扎实的数学内容知识.那时最普遍的反对意见是“了解数学还不够(成为一名好教师)”.这也造成了人们普遍的混淆，误将必要条件理解成了充分条件[注]需要指出，有人故意利用这样的混淆，拒绝承认数学内容知识对教师得重要性，或者拒不承认数学家参与到数学教育中对教育的成功至关重要性..对于数学教育这样复杂的问题，不存在任何速战速决的办法.让数学家全面参与进来只是一个开始；数学家的选择和一起付出的努力，仍然是对成功或失败起决定性作用的.

现在是时候回应文章的开头关于数学教育的权力结构的论述了.到目前为止，一直是教育家在做着决策.从这个事实作为起点，我要详细叙述一下为教育工作选择正确的数学家的困难.数学家们有各不相同的背景和经验，而通常也对教育有各种不同的见解.重要的是，教育家们在做选择的决定时，必须认真考虑这些不同的见解.在中小学数学教育中，近来发生了一些不愉快的事情，正是由于人们根据某些特定的信念去选择数学家而导致的.此外，一些对中小学数学感兴趣的数学家是否熟悉中小学数学，教育家也必须自己作出判断.在对中小学数学感兴趣的数学家中，有一些人具备极强的判断能力和领导潜质，但有些人并不具备.教育家们必须在每一步都做出选择.如果说有什么运算法则可以帮助他们做出正确的选择，本人尚未可知.

每一个数学家都可能为中小学数学教育做贡献：即使是偶然瞟一眼教科书检查一下数学错误，都会非常有用.然而，如果数学家们希望参与到严肃的中小学教育工作中，他们必须具备什么条件？我认为，最重要的是要意识到中小学数学不是数学的一个子集，而且在做数学工程的过程中，能够将中小学数学与数学本身区别开来.特别是，数学家在大学中所讲授的许多数学不能直接带入中小学数学课堂上(Wu，1997；Kilpatrick等，2001，第10章，pp375-376)，因为它必须首先通过数学工程的改造，使得它适用于中小学数学课堂.请允许我再次使用分数的例子.那些有志于为中小学数学教育做贡献的数学家，在了解了 “整数序偶的等价类”对于十二岁左右的孩子来说难以理解之后，可能也会理解为什么尽管是这个年龄的孩子，也需要分数的定义.这个定义当然是越接近于“整体的一部分”越好.他们也会了解，对于这个年龄的学生，什么类型的数学推理是合适的，因为归根到底，只有他们才能保障中小学数学课程里面保留有数学推理.

数学家可能会认为中小学数学从学习技能的意义上讲过于简单，但是他们必须注意到中小学数学概念上的复杂性(Jensen，2003；Wu，2001b，2001c，2005d).最重要的是，数学家必须了解，中小学数学从教学法角度来看是不简单的：无论多么简单的数学材料，能把它们加入到正确的数学知识框架中，进而有益于学生吸收的行为都绝不是微不足道的.想要为中小学数学教育做出贡献的数学家必须意识到，数学教育一定要满足数学的最基本要求——思想发展的有序性和逻辑性，学科的内部连贯性，以及出示概念时的明确性和精确性.任务是艰巨的.如果数学家们希望与教育家以平等的合作关系加入到中小学数学教育来，那么他们有责任通过获取数学工程中的这类知识来完成这一使命.

“数学教育作为数学工程”的概念不建议创造任何新工具来解决持续出现的教育问题.它所做的是为数学教育提供一个有用的知识框架作为准则.数学教育作为一门学科，它也澄清数学与教育的关系，包括数学家在数学教育中的作用.例如，它可能更好地解释为什么20世纪60年代的“新数运动”成为了一场灾难.更重要的是，这一概念点破了为什么把数学家当成“局外人”是一种自我毁灭的行为.如果我们的孩子要受到更好的教育，我们就必须建造一座桥梁来跨越数学家与教育者之间的鸿沟.据我保守地乐观估计[注]做出这一估计的时间是2006年1月.，有足够多的人想重建这座桥梁(参考Ball 等，2005)，更多地是因为有迹象表明，美国数学教师理事会的领导层也在朝着同样的方向努力.我希望在未来，数学教育是数学家与教育家共同努力的产物.

致谢

首先，我要感谢我的同事Norman E. Phillips 为我提供了一个关于化学的重要信息，才使得这篇文章诞生.Tony Gardiner 建议我重新整理早期草拟的一份稿子，Helen Siedel对那份稿子给出极具洞察力的评论，给这篇文章留下不可磨灭的印记.Tom Parker，Ralph Raim和Patsy Wang-Iverson 帮我做了非常细致的校对.David Klein 也做了校对，并使我留意到一个参考文献.此外，e-list mathed的以下成员为也为本文提供了修改建议：R. A. Askey, R. Bisk, E. Dubinsky, U. Dudley, T. Foregger, T. Fortmann, K. Hoechsmann, R. Howe, W. McCallum, J. Roitman, M. Saul, D.singer, A. Toom. Cathy Seeley 和 Skip Fennel 也给出了类似的改进建议.

很高兴向他们所有人表示感谢.