整体性数学思维方式视野下的教材阅读——基于章建跃先生对《实数》一章的教材分析

米 妍 王光明

(天津师范大学教师教育学院 300387)

在天津师范大学承办的2016年“国培”计划——教育部示范性项目培训团队研修项目班上，章建跃先生通过回忆自己对浙江省某中学开展的《实数》一章的教学观摩课堂的点评，进而对《实数》这一章的教材与教学进行深度剖析，引发了学员的广泛好评．

“人教版”七年级下册将《实数》分为平方根、立方根、实数三部分内容来呈现．通过章先生对教材章节的分析发现：“教材编写组对这部分内容做了精心的设计,具有严谨的内在逻辑性，体现知识的整体性．但教师在实际教学中并没有真正理解到教材的编写意图，没有整理出科学合理的教学思路，导致传授给学生的知识呈现碎片化、无序化，不能让学生形成整体性数学思维方式”．数学是一门理性思维的学科，数学的核心是思维．在数学学习过程中，数学思维方式对于数学问题解决十分重要．整体性体现的则是一种全方位的研究视角．所谓整体性数学思维方式，定义为：在研究数学问题时，利用全方位的研究视角去思考知识整体及局部的内在结构．由于教师教学在很大程度上是基于教材的教学，而教材是编者经过长期反复研究、推敲、实践的集体智慧的结晶，尤其数学教材十分注重整体性数学思维方式的体现．教师通过有效阅读教材建立整体性数学思维方式是一个行之有效的途径，为培养学生的整体性数学思维方式打下基础.

目前，关于教材阅读的研究较多，如姚平提出了拉网式、耕耘式、思辨式、理解式四种方式加强学生对数学材料的阅读[9]；陆敏娟从教材的编写思路、编排意图、教材结构等角度阐释读懂教材的意义[10]；张永昌、李斌从教材深度、整体、细节等三个维度谈读懂教材[11]；李建明提出理解教材，活用教材的理念，认为理解教材要逐字逐句阅读教材，活用教材要从学生认知实际出发[12]；曹思齐从数学阅读材料的使用情况、功能价值、教学策略和编排设置出发，认为推进数学教材阅读的理论探究和实践探索能够促进学生的全面发展和教师的专业成长[13]．然而，这些大多是从教材的整体或局部、编写的思路或意图等角度出发的研究，鲜有基于形成整体性数学思维方式的教材阅读研究．但教师若能在教材阅读中把握其蕴含的整体性数学思维方式，对理解数学知识内涵、认识数学结构以及有效教学会有很大帮助．如前所述，整体性数学思维方式是用全方位的研究视角去思考知识整体及局部的内在结构．这里的全方位视角指对教学内容认识的高度、深度和广度，就实际教学设计而言，高度、深度和广度分别落实在整体规划教学的全局思路、局部挖掘已有知识的学习方式、迁移前后相似问题的研究策略，以上三者代表了教学中的系统性、拓广性、同构性数学思维方式．可见，系统性、拓广性、同构性数学思维方式的形成与建构整体性数学思维方式密不可分，关系见图1．结合章建跃先生的《实数》一章教材的分析，从教材的章节引言、教材中的概念学习、教材中相似数学问题的研究策略对构建数学系统性思维方式、拓广性思维方式、同构性思维方式进行说明，对如何有效阅读教材，形成整体性数学思维方式进行初步探索.

图1 整体性数学思维方式结构模型

1 重视章节引言特点 建构系统性思维方式

系统性思维方式，是从整体角度出发考虑问题，研究思路着眼于问题秩序化的思维方式．在数学教学中体现在整体规划教学思路．章引言作为教材的一部分，是编写者精心设计的，在数学知识结构、思想方法、认识规律上具有深刻的内涵．章引言从整体的角度为教师教学提供指导性的建议．教师通过对教材章引言的有效阅读，能够充分了解本章知识的内在联系、整体把握章节教学的思路，为形成系统性数学思维方式奠基．然而,在实际教学活动中，由于章引言内容过于简短,教师缺乏相关的背景资料，加上课堂时间有限,导致有些教师在讲章引言时一笔带过, 或干脆不讲,章引言教学没有引起教师的足够重视[14]．那么，为了更好的实施教学，培养系统性思维方式，教师应该如何把握章节引言呢？

首先，在观念上重视章节引言．将章引言作为备课的开始，不要在章节的开始就一头扎进具体内容的教学中去；

其次，运用系统的眼光审视章节引言．即从章引言中提炼本章的主要内容、内容的呈现形式、教学过程涉及到的数学思想方法，并在具体教学中做好向学生渗透系统性数学思维方式的打算；

再者，关注章引言中引入新知的描述．了解引入的方式，体会引入的必要性，明确研究数学知识的内部规律；

最后，在实际教学中，将对章引言的解读作为章节教学的开始，有意识地引导学生关注章引言，利用问题导学的方式引导学生对章节内容、结构、数学思想方法进行初步提炼，培养学生系统性思维方式.

结合《实数》一章教材“章引言”，分析把握章节引言特点来构建系统性思维方式.

章先生指出，大多数教师在讲解本章首节内容时，忽视章引言或对章引言的关注度不够．他提出教材章引言蕴含了三个问题：为什么学、学什么、怎样学，并说明这三点是章引言的核心．“为什么学、学什么、怎样学”体现了数学新知识学习的全局思路，是教材按照知识整体内在结构设计的秩序化学习“程序”，对教师形成系统性思维方式发挥着实质性的作用，具体体现如下:

对为什么学的问题，是教师最容易忽视的．针对这个问题，教材注重与现实的联系．一般从生活的现实和数学的现实两方面来说明引入新知的必要性．生活的现实是联系学生的生活实际抽象出要解决的数学问题，能够让学生体会到数学与外部世界是紧密相连的；数学的现实是一种认知结构，体现了数学知识之间的内部关联，“数学现实”包括已知的“知识”，还包括数学思想方法，数学规律等[15]．在《实数》一章的章引言中，教材从生活的角度提出一个物理实际问题，阐述学习平方根概念的必要性；从数学的角度，即边长为1的正方形的对角线的长不是有理数说明引入一种新数——无理数的必要性．在这部分的教材阅读中，教师不妨对后者——数学角度引入问题的形式作进一步的探讨．从数学史的角度来看，正是由于单位正方形对角线的出现，导致了数学内部的矛盾，从而产生无理数，这种矛盾是实数学习中引进无理数的重要思维导向，是数学中研究数的基本发展规律(见表1)的表现之一．这种数学思维导向往往是通过章引言中现实背景这一载体烘托而出．

表1 数的基本发展规律

对“学什么”和“怎样学”的问题，章引言描述：

“本章将首先学习平方根和立方根；在此基础上引入无理数，把数的范围扩充到实数；然后类比有理数，引入实数在数轴上的表示和实数的运算，并用这些解决一些实际问题”.

在学习内容上，明确本章将学习平方根、立方根、实数三部分内容；在学习方式上，了解平方根和立方根为实数学习做铺垫，并且类比有理数的方式来研究实数．章引言既概括了学习内容，又阐述了学习方法.

“章引言”是起始课教学指路的明灯[16]．章引言对于新知“为什么学”，“学什么”，“怎样学”的描述可以为教师提供整体的章节教学思路，启迪教师要有高瞻远瞩的视野，从而把握知识整体结构，沟通知识内在联系，提炼出教材中蕴含的系统性思维方式．教师若把握于此，是教师教材阅读时的思维高度的体现.

2 把握概念学习方式 建构拓广性思维方式

任何学科的学习，就其实质而言，一般都存在着一个思维方式的建构，而概念则是思维方式建构的基石[17]．教育心理学研究成果表明，概念的学习有两种基本方式——概念形成和概念同化．所谓概念形成，即通过创设情境从客观实例引人，抽象共性特征，概括本质特征,形成数学概念；所谓概念同化，指直接揭示概念的定义，借助已有知识进行同化理解[18]．以上的两种概念学习方式体现了拓广性数学思维方式的两种具体表现形式．实质上，一种表现形式是对内纵向拓广，即对概念研究程序的进一步细化；一种表现形式是对外横向拓广，即根据已有概念的研究性质推想出同类概念是否也具有同样的研究性质．概念学习在教师教学中处于重要地位，有效的概念学习方式对教师和学生形成拓广性数学思维方式大有裨益．即便如此，概念教学并没有引起教师的广泛关注，加之教师对概念教学的方式不甚了解，教学课堂中往往存在止于“告诉”而非“自然形成”、“轻概念，重练习”的现象，如何进行概念教学成为亟待解决的问题.

结合《实数》一章教材“算术平方根”、“平方根”、“立方根”的学习，分析把握概念学习规律建构拓广性思维方式.

在这一部分，章先生指出引入算术平方根的概念要明确以下几点：(1)了解利用背景引入概念的必要性；(2)归纳出具体实例的共同特征；(3)定义算术平方根的概念(文字语言和符号语言)；(4)对算术平方根进行性质探究．事实上，教材以一个生活实际问题导入：已知一个正方形的面积求这个正方形边长的问题，具体操作让学生通过填表的方式获得；然后教材在表格下面插入“上面的问题，实际上是已知一个正数的平方，求这个数的问题”，试图让学生归纳出实际问题的共同特征，抽象出算术平方根的概念；进而教材以“一般地”为开头给出算术平方根的定义，并且给出符号表示及其读法等；之后教材还在定义后插入“规定：0的算术平方根是0”，至此，算术平方根的概念形成．通过对教材细节的描述，算术平方根的概念学习运用了概念形成的学习方式，即从背景引入，到归纳抽象，再到概念形成．需要强调的是，对于概念的学习，除了读懂教材中概念学习的一般方式，也要读懂概念形成过程中插入语的作用．教师在阅读教材时体会插入语的设置意图，有助于理解概念学习方式中拓广性思维方式的内涵.

在学习完算术平方根之后，教材紧接着安排了平方根和立方根．章先生认为平方根和立方根概念的学习是类比算术平方根，在研究方式上是一种重复和拓展．在这部分的教学中，教师可以利用已经构建好的算术平方根概念的研究方式进行概念同化，建立平方根和立方根的概念．这是教材设计的意图所在.

结合章先生的教学建议，为了更好地渗透概念同化学习方式，建构拓广性数学思维方式，对平方根和立方根的概念学习形成以下几点启示：

(1)注重类比思想，概念同化教学．在学习完算术平方根的概念之后，教师可以引导学生思考：平方根和立方根的概念与算术平方根的概念研究有哪些相同点和不同点呢？

(2)关注内容衔接，抓住问题本质．如在引入平方根时，教材呈现的问题是：如果一个数的平方等于9，这个数是多少？教师可以换个问法：已知一个数的平方等于9与前面学习的已知一个正数的平方等于9是同一个问题吗？如果不同，你认为答案有什么不同呢？

(3)被动变为主动，调动已有经验．教师在教学中可以考虑：如何使学生在算术平方根的基础上发现和提出问题？如何使学生在平方根的基础上发现和提出问题？甚至在对算术平方根和平方根详细学习之后，立方根的内容是否可以让学生自学？

以上思路旨在用已建构的算术平方根概念的研究框架来研究平方根和立方根，启迪教师在阅读教材的过程中深度挖掘已有知识的学习方式和建构新知识的方式，提炼出教材中蕴含的拓广性思维方式．教师若把握与此，是教师教材阅读时的思维深度的体现.

3 迁移相似问题研究策略 建构同构性思维方式

研究的数学问题不同，研究思路和研究方法会有差异．但是，相似问题的研究策略具有相通性和同构性．迁移是实现这种同构、建立同构性思维方式的有效方法．所谓同构性思维方式，指一个系统有某种研究策略，则推想与该系统同构的另一系统是否有相应的研究策略．此思维方式反映了建立数学知识横向关系的一般思路：通过类比，发现同构，建立联系，实现迁移．研究发现，迁移的基础是联系，只有联系的知识之间才能互相影响，迁移的实现是联想，只有从问题联想到已经掌握的知识技能，才能找到解决问题的策略[19]．可见，在教材阅读中，教师迁移需要具备一定的数学经验性思维[20]，在把握基本知识、基本技能、基本数学方法的基础上，厘清数学中同类的研究对象，并掌握运用这种相似性研究数学问题的策略，从而建立同构性数学思维方式.

结合《实数》一章教材“实数的研究结构”，分析通过迁移相似系统的研究策略建构同构性思维方式.

章先生指出数学中类似问题的研究方式具有一定的继承性特点，而迁移是继承的手段．在实数的学习中，教师可以从“有理数”的结构来看“实数”的结构．《有理数》是“人教版”七年级上册第一章的内容，教材是这样呈现研究结构的.

图2 “有理数”一章的教材研究结构

不难发现，《实数》一章中实数的研究结构和有理数的研究结构几乎完全一样，体现了数学研究上的继承性和同构性特点．启迪教师充分利用数学中的继承性和同构性特点教学，在数学知识学习过程中“瞻前顾后”，同构迁移，适当变通，提炼出教材中蕴含的拓广性思维方式．教师若把握与此，是教师教材阅读时的思维广度的体现.

阅读教材的意义不在于简单地读懂教材的内容和结构，而是为了教学的需要．整体性数学思维方式下的系统、拓广、同构性思维方式分别揭示了教学中对教材内容思考的高度、深度和广度等角度，体现整体性．教师实际教学设计中，应首先从整体上规划教学思路，明确教学不是单纯地教知识，更重要的是让学生明白知识的发生发展过程，即用系统性思维把握教学思路；其次，教师应充分利用学生已经接受的学习方式，循着经验，让学生自主探究，发现新知识，即用拓广性思维挖掘教学规律；再者，教师可以利用数学知识之间的内在联系，分析前后不同知识在研究策略上是否有共通之处，必要时可以模仿或继承，即用同构性思维迁移研究策略.