最小二乘法在泵试验台数据测量曲线拟合中的作用*

江海蛟 常明伟 刘志伟 朱京恩

(北京航天动力研究所流体与旋转机械事业部)

最小二乘法在泵试验台数据测量曲线拟合中的作用*

江海蛟 常明伟 刘志伟 朱京恩

(北京航天动力研究所流体与旋转机械事业部)

为了保证高精度的数据测量，泵试验台所有的测量仪表均由相关检定单位进行了检定，并出具了相应的检定证书，但是一部分检定证书里的检定数据是离散的、未经处理的，这直接导致了检定数据无法应用到测控系统中去。针对这一情况，提出了兼顾整个量程精度的最小二乘法拟合直线的方法来处理这些数据，以方便测控系统应用这些检定数据并保证数据测量足够的精度。在泵试验台，还需要测量试验泵的输入功率即泵配电机的输出功率，这通常需要安装扭矩仪一类的设备，但是这类设备的安装调试工作量太大，针对这一情况，提出了最小二乘法拟合抛物线的方法，仅仅通过分析电机的输入功率就可以得到电机的输出功率。

泵试验台 数据测量 离散 最小二乘法 精度

在利用泵试验台做试验时，为了得到准确的测量数据，所有的测量仪表都是经过精确校准的，有相应的检定证书，但问题是，有一部分检定证书里只有离散的数据而没有这些数据拟合的曲线，这导致检定证书无法应用到测控系统中，更谈不上保证测量数据的精度，这就涉及到如何处理、拟合这些数据的问题。泵试验台存在的另外一个比较大的问题是每次试验时均需要测量试验泵的输入功率，即泵配电机的输出功率，这通常是通过在电机和试验泵之间安装扭矩仪一类的设备来实现的，即通过测量电机的输出扭矩和输出转速来得到电机的输出功率(扭矩和转速的乘积)。这种测量方法带来的问题是安装调试工作量过大，严重降低了工作效率，必须采取新的办法来计算得到电机的输出功率，这个新办法就是通过分析电机的输入功率和输出功率之间的关系，通过对电机输入功率数据的拟合来计算得到电机的输出功率。这二者均涉及到数据拟合成曲线的问题。在数据拟合成曲线的过程中，为了保证拟合的曲线在整个量程范围内都有比较好的精度，曲线拟合都采用了最小二乘法，即各个拟合点的误差平方和最小的方法。

1 拟合曲线的作用

通常现场的各物理量大多都是采用4～20mA的直流电流来传送的，所测物理量值的大小与传送电流的大小是一次线性关系，一部分检定机构会直接给出物理量和传送电流之间的一次线性关系式，例如，有一台压力变送器，检定机构给出的拟合曲线为[1]：

Y=1.334667p+1.001300

其中，Y是4～20mA直流电流在250Ω精密电阻上产生的电压降，单位是V；p是变送器所测量的压力，单位为MPa。这个公式很好地反映了被测量与传送电流之间的关系，并且有足够的精度，精度为0.2级。

将这个电流信号接入到测控系统中进行A/D转换，A/D转换过程中电流信号与转换所得到的数字量之间也是一次线性关系，在本测控系统中对应关系是这样的：4mA转换成数字0，20mA转换成数字27 648。在测控系统软件中编制公式y=ax+b，y是被测物理量的数值，x是变送器传输电流进行A/D转换后的数值，这里就是要确定a、b两个系数，准确地在测控软件中将被测量物理量计算出来。

由曲线拟合公式Y=1.334667p+1.001300可以计算出：当Y为1(即电流为4mA，A/D转换为0)时，p为-0.000 974；当Y为5(即电流为20mA，A/D转换为27 648)时，p为2.996 028,由此可以列出下面两个方程式：

-0.000974=a×0+b

2.996028=a×27648+b

由此可以计算出a、b的值，a=0.000108398，b=-0.000974。将计算得到的a、b的值输入到测控软件相应的内存中。

通过这个拟合曲线的办法，变送器就能准确地将被测物理量传送到测控系统中，并保证足够高的精度。

2 最小二乘法拟合直线

不是所有的仪表检定证书都能给出拟合曲线，有的只是给出了几个离散的点。例如，某计量检定机构给出的转矩转速仪的转速校准结果就没有拟合曲线，而是简单地给出了如下数据，见表1[2]。

表1 转矩转速仪转速校准数据

表1中的标准频率值是检定机构给出的标准值，其中的被测仪器显示平均值是被测仪表自带的液晶显示屏上显示的转速值。这套转矩转速仪是通过4～20mA的直流电流来传送信号的，不过检定机构却并没有检定这套设备输出的直流电流与标准频率值之间的关系。 必须采取一个妥善的办法才能准确地将数据传送到测控系统。将这套转矩转速仪接入测控系统，利用现场的设备调整测量的转速，使转矩转速仪液晶显示屏上依次出现表格中的被测仪器显示平均值，记录下测控系统内存中A/D转换的数值(表2)。

表2 转矩转速仪的转速显示平均值的A/D转换

4～20mA直流电流传送信号的一般规则是电流大小和被测物理量的大小成一次线性关系，所以这里按一次线性方程来拟合这些数据。

设有方程y=ax+b，为保证被测物理量在整个量程内都有比较好的精度，通过最小二乘法来确定系数a、b的值。

整理得：

解这两个方程可得：

这个计算公式比较复杂，为了方便，编制了Excel计算表格，只需要将几组数据输入进去，就会自动计算出a、b的值。

利用这个公式来拟合转矩转速仪的转速值，但是并不是拟合表2中的数据，而是将被测仪器显示平均值相对应的标准频率值与A/D转换值相拟合，这样能得到更高的拟合精度，被测仪器显示平均值在这里只是起到了一个建立标准频率值和A/D转换值之间联系的作用。拟合数据见表3。

表3 转矩转速仪的转速拟合数据

将这6组数据输入到编制好的Excel计算表格，可以计算得到：a=0.130211156，b=0.229070938，即拟合公式为y=0.130211156x+0.229070938，将这些数据放在一起对比并计算绝对误差、相对误差和引用误差(绝对误差与满量程的比值，这里满量程为3 600r/min)，结果见表4。

表4 转矩转速仪的转速数据拟合和误差计算

从表4可以看出，经过最小二乘法拟合的直线造成的精度损失还是非常小的。对这个表格略作分析就可以给出拟合后仪表的精度等级，这个精度等级可以满足试验台精密测量试验数据的要求。

这种最小二乘法拟合直线的方法，除了应用在转矩转速仪的转速拟合方面，还可以应用在转矩转速仪的转矩拟合方面以及其他类似仪表的数据拟合上。

3 最小二乘法拟合抛物线和抛物线、直线拟合对比

联系电机输入功率与输出功率的参数是电机效率，由于泵试验通常采用的电机是YBXn高效率电机，所以分析YBXn高效率电机的效率。

表5是某防爆集团有限公司出版的YBXn系列高效率隔爆型三相异步电动机样本中的效率数据。可以看出，当电机功率较小的时候，在电机负载逐渐从0.50增加至1.00的过程中，电机效率有一个逐渐增加然后又逐渐减小的过程，即有一个“驼峰”，这是比较明显的抛物线的特征。随着电机功率的增大，尽管“驼峰”逐渐变平，抛物线有变成直线的趋势，但是这个抛物线仍然存在。所以，在通过电机输入功率数据来拟合电机输出功率的过程中，为提高精度，选择最小二乘法拟合成抛物线，而不是直线，但是也将试验数据拟合成直线的结果给出来，以便进行拟合精度对比。

表5 YBXn系列高效率隔爆型三相异步电动机的效率

可解得：

同样通过编制Excel表格，计算出a、b、c的值。

由于是通过电机的输入功率数据拟合出电机的输出功率数据，所以需要先行知道电机的输入功率。在泵试验台，所有的电机都是由变频器拖动的，变频器内存中有变频器输出功率即电机输入功率这一项，可以直接读取过来使用。但需要注意的是，所有的进口变频器均将这一项翻译成电机输出功率。例如，西门子G120变频器，内存r32的标准中文翻译就是“电机轴上输出的功率”，这是一个非常奇怪的翻译，按照GB/T 1032-2012《三相异步电动机试验方法》中的电机效率的确定方法[4]，电机的输入功率可以通过功率表测量等方法很容易地得到，但是电机的输出功率仅仅通过理论分析而不辅助以试验手段是无法得到的，这就是这个翻译奇怪的地方：变频器不可能知道电机的输出功率，只会知道电机的输入功率。

查询r32的外文资料，其英文注释为“Power delivered at the motor shaft”，直译成“输送给电机轴的功率”更合适些，这在字面意思上更接近“电机的输入功率”而不是”电机轴上输出的功率”，也可以查询一下德文资料。

在泵试验台上选取G120变频器拖动某一型号的电机做泵试验，测量得到的数据见表6。

表6 泵试验功率数据

利用最小二乘法拟合抛物线y=ax2+bx+c来拟合这组数据，分两次拟合，每次均有一组数据未参与拟合，然后观察参与拟合的数据和未参与拟合的数据的精度差异。同时为了对比，也用直线来拟合这组数据，观察一下抛物线拟合和直线拟合的差异。

将序号为2的数据排除在外，不参与拟合，其余6组数据参与拟合，将这6组数据输入到编制好的Excel计算表格，可以求得a=-0.008751581，b=1.206496721，c=-2.318187622，即y=-0.008751581x2+1.206496721x-2.318187622。

然后进行直线拟合，将相同的数据输入到编制好的Excel计算表格，可以得到a=0.9440607，b=-0.45616927，即y=0.9440607x-0.45616927。

将这几组数据放在一起对比并计算绝对误差、相对误差，见表7。

表7 抛物线拟合和直线拟合数据对比一

将序号为6的数据排除在外，不参与拟合，其余6组数据参与拟合，将这6组数据输入编制好的Excel计算表格，可以求得a=-0.008118483，b=1.182864869，c=-2.117617769，即y=-0.008118483x2+1.182864869x-2.117617769。

然后进行直线拟合，将相同的数据输入编制好的Excel计算表格，可以得到a=0.938378032，b=-0.39035924，即y=0.938378032x-0.39035924。

将这几组数据放在一起对比并计算绝对误差、相对误差，见表8。

表8 抛物线拟合和直线拟合数据对比二

分析表7、8的数据，可以得出如下结论：

a. 抛物线拟合方法得到的电机输出功率与扭矩仪直接测量得的数据在大范围负载内非常接近，误差非常小，这种拟合方法得到的功率数据完全可以替代扭矩仪测量得到的功率数据用于泵的出厂水力试验；

b. 未参与拟合的数据在拟合曲线中同样能得到高精度的数据复现，表明了这种拟合方法的正确性和可靠性；

c. 直线拟合方法得到的数据在某一小段范围内精度非常高，但是在比较大的范围内误差比较大，精度不如抛物线高，故不适宜在大范围负载内采用；

d. 通常电机的输入功率输出功率的关系测量(即效率)是在额定频率、额定电压并且是正弦波电源条件下得到的，这样得到的对应关系可靠、稳定，但是就本试验来看，在小范围的变频条件下(试验频率在45～50Hz之间变化，v/f恒定控制方式)输入功率与输出功率之间的对应关系也是稳定的。

第1次采用变频器拖动某台电机做泵的水力试验时，需要记录下变频器的输出功率(电机的输入功率)和相对应的扭矩仪测量得到的电机的输出功率，通过记录下来的几个点拟合出系数，下次再有相同的变频器和电机配置时，就可以通过这种拟合方法得到电机的输出功率，在保证比较高的测量精度的情况下省掉扭矩仪安装调试的工作。

4 结束语

最小二乘法拟合数据的优点在于能够兼顾各个拟合点，在一个比较大的测量范围内保证在每个测量点上都能获得比较高的测量精度，而不是在某些测量点上精度很高，而在另外一些测量点上精度又太低。所有的未拟合数据的测量仪表检定证书在泵试验台均采用这种最小二乘法拟合直线的方法来重新处理，很好地保证了泵试验台在数据测量方面的高精度。而最小二乘法拟合抛物线的方法，很好地解决了在不安装扭矩仪的情况下测量电机输出功率的问题，这减轻了泵试验台安装调试设备的工作量，提高了工作效率。

[1] 刘鲁,施仪升.压力变送器检定报告(2016050401)[R].北京：北京航天动力研究所，2016.

[2] 白杰,杜磊.转矩转速仪校准报告(LScs2015-1444)[R].北京：中国计量科学研究院，2015.

[3] 索振,宫爱玲.最小二乘法与灰度重心结合实现圆度检测[J].化工自动化及仪表，2016，43(9)：910～912.

[4] GB/T 1032-2012,三相异步电动机试验方法[S].北京：中国质检出版社,中国标准出版社,2012.

2017-05-12，

2017-06-14)

声明

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EffectofLeastSquareMethodinCurveFittingofDataMeasurementofPumpTestBench

JIANG Hai-jiao, CHANG Ming-wei, LIU Zhi-wei, ZHU Jing-en

(LiquidandRotatingMachineryDepartment,BeijingAerospacePropulsionInstitute)

In order to ensure accuracy of the data measurement, all measurement meters equipped for the pump test bench are certificated and issued certificates by relevant verification offices. Considering the fact that lots of verification data in verification certificates are discrete and untreated, and failed to be applied to the control system, the method of making use of the least square method to fit straight line which giving consideration to the whole range accuracy was proposed to benefit the measurement system in adopting these verification data and to ensure the accuracy in data measurement. At the pump test bench, the output power of the pump motor has to be measured and the conventional method is to install torque meter or other similar equipment and the workload of such equipment installation and adjustment can become too heavy and the method of least square method fitting parabola was put forward and the motor output power can be got only through the analysis of the motor input power.

pump test bench, data measurement, discrete, least square method, accuracy

江海蛟(1982-)，高级工程师，从事高速泵的机械设计、电控设计，以及破渣机、泵试验台的电控设计工作，jianghj@calt11.cn。

TH3；TP301.6

A

1000-3932(2017)10-0953-06