一类n维椭球体上的n重积分及估计

孙 燕,杨海涛

(内蒙古民族大学 数学学院，内蒙古 通辽 028043)

一类n维椭球体上的n重积分及估计

孙 燕,杨海涛

(内蒙古民族大学 数学学院，内蒙古 通辽 028043)

n维椭球体;n重积分；重积分不等式

1 主要结论

(1)

证明n维球坐标变换[6]:

x1=rcosφ1,
x2=rsinφ1cosφ2,
……
xn-1=rsinφ1sinφ2…sinφn-2cosφn-1,
xn=rsinφ1sinφ2…sinφn-2sinφn-1

(2)

其中：0≤r≤1,0≤φ1,φ2,…,φn-2≤π,0≤φn-1≤2π.

那么n维球坐标变换所对应的Jacobi行列式为

J=rn-1sinn-2φ1sinn-3φ2…sin2φn-3sinφn-2.

(3)

(4)

(5)

则：

定理2 设a=(a1,a2,…,an)，b=(b1,b2,…,bn),bigt;0,i=1,2,…,n,a,b∈Rn，n维椭球体Ω.

(6)

所以：

(7)

由定理2，a1=a2=…=an=0,b1=b2=…=bn=R，代入式(6)可得式(7).

(8)

证明广义椭球坐标变换：

x1=b1rcosφ1+a1,
x2=b2rsinφ1cosφ2+a2,
……
xn-1=bn-1rsinφ1sinφ2…sinφn-2cosφn-1+an-1,
xn=bnrsinφ1sinφ2…sinφn-2sinφn-1+an

(9)

Ω变换为∑={(r,φ1,φ2,…,φn-2，φn-1)|0≤r≤1,0≤φ1,φ2,…,φn-2≤π,0≤φn-1≤2π},

有

(10)

2 应用

由定理3n=3,ai=0,i=1,2,3,b1=a,b2=b,b3=c代入式(8)，

例3 估计五重积分的值

由定理3n=5,ai=bi=i,i=1,2,3,4,5代入式(8)，

0.389 946π2lt;I2lt;0.390 028π2

本文结果可用于计算均匀n维椭球体、n维球体的质量、体积、静矩、惯矩及离心力等.

[1] SUN YAN,YANG HAITAO,QI FENG.Some inequalities for multiple integrals on then-Dimensional ellipsoid,spherical shell,and ball[J]. Abstract and Applied Analysis,Volume 2013,Article ID 904721,7 pages.

[2] 孙燕，关于维球体上的一个重积分不等式[J].内蒙古民族大学学报(自然科学版)，2012，27(4),394-396.

[3] FENG Q I,Inequalities for a multiple integral[J].Acta Math Hungar，1999，84(1/2)：19-26.

[4] 匡继昌.常用不等式[M].4版.济南：山东科学技术出版社，2010.

[5] 孙燕，杨海涛．几个重积分不等式的证明[J]，内蒙古民族大学学报，2012,18(2)：9-10.

[6] 华东师范大学数学系.数学分析(上下册)[M].3版.北京：高等教育出版社，2001：264

[7] 叶其孝，沈永欢．实用数学手册[M].2版.北京：科学出版社，2006．

责任编辑：时凌

AClassofn-MultipleIntegralonthen-DimensionalEllipsoidandItsEstimation

SUN Yan,YANG Haitao

(College of Mathematics,Inner Mongolia University for Nationalities,Tongliao 028043,China)

n-dimensional ellipsoid;n-multiple integrals;multiple integrals inequality

2017-04-19.

国家自然科学基金资助项目(11561052).

孙燕(1964-)，女，副教授，主要从事分析理论及不等式的研究.

1008-8423(2017)04-0409-04DOI:10.13501/j.cnki.42-1569/n.2017.12.012

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