弹性边界刚度对充液圆柱壳耦合频率的影响分析

梁 斌，陈金晓，李 戎，刘林霞

（河南科技大学 土木工程学院，河南 洛阳 471023）

弹性边界刚度对充液圆柱壳耦合频率的影响分析

梁 斌，陈金晓，李 戎，刘林霞

（河南科技大学 土木工程学院，河南 洛阳 471023）

研究了弹性边界刚度对充液圆柱壳的振动特性影响。基于Flügge理论并考虑流体的影响，根据波动法建立弹性边界条件下充液圆柱壳的耦合振动特征方程，采用一种改进傅里叶级数的计算方法得到弹性边界条件下的轴向波数，将求得的轴向波数代入耦合方程并利用牛顿迭代法求解方程得到耦合频率。通过与两种边界条件下充液圆柱壳的计算结果进行对比，验证了文中研究方法的有效性和正确性。通过算例，分析了在边界约束刚度变化过程中，充液圆柱壳的耦合频率在不同轴向波数、壳体尺寸等因素下的变化规律。

弹性边界；圆柱壳；充液；波动法；耦合频率

0 引 言

圆柱壳结构是一种在航空航天、海洋工程等领域广泛应用的结构形式，这类结构通常会在非常复杂和极端的环境下应用，如强空气动力作用、流体作用。因此，研究复杂环境下的圆柱壳在不同情况下的动力学行为特性，对这类结构在实际工程中的安全应用具有非常重要的意义。

目前，圆柱壳在不同条件下的动力学性能研究已经取得一些研究成果。Li等[1]在波动法的基础上，研究了圆柱壳在不同边界条件下的自由振动特性，并将波动法与其它方法进行对比，发现了波动法在计算上的优越性。Liang等[2]利用Love薄壳理论，研究了壳体尺寸、环向波数、边界条件、旋转速度等因素对旋转功能梯度材料（FGM）圆柱壳固有频率的影响。Sheng等[3]利用一阶剪切变形理论研究了盛有流体的FGM圆柱壳的振动特性。伊克巴尔等[4]在波动法的基础上，考虑流体的影响，研究了液体、环向波数、边界条件等因素对充液FGM圆柱壳耦合振动的影响。Zhou[5]对充液环肋圆柱壳的振动特性和稳定性进行了研究。Liang等[6]研究了壳体尺寸、边界条件等因素对充液FGM圆柱壳耦合频率的影响。刘等[7]把静水压力作为预应力计入壳体振动方程当中，研究了内部流体静压力对充液圆柱壳振动的影响。Zhu等[8]基于Flügge理论，运用波动法研究了水下圆柱壳的耦合振动特性。马旭等[9]基于波动法，采用改进傅里叶级数方法建立弹性约束边界条件下圆柱壳的振动模型，研究了圆柱壳在弹性约束边界条件下的自由振动和强迫振动特性。李文达等[10]在Sanders薄壳理论的基础上，根据改进的傅里叶级数方法，并结合Rayleigh-Ritz法，研究了弹性边界条件下旋转薄壁圆柱壳的自由振动特性，分析了边界约束刚度、转速、壳体尺寸等因素对固有频率的影响。但是由于弹性边界及充液耦合作用的复杂性，尚未发现考虑弹性边界条件下，充液圆柱壳振动特性的研究文献。

本文在Flügge理论的基础上，采用波动法和改进傅里叶级数方法建立弹性边界条件下充液圆柱壳振动频率的特征方程，运用计算软件MATLAB求解特征方程得到圆柱壳在弹性边界下的耦合频率。通过退化计算，将两端固支和两端简支的充液圆柱壳的耦合频率的计算结果进行对比，验证本文计算的有效性和正确性。最后通过算例，探讨三种边界约束条件下，周向波数和轴向半波数对充液圆柱壳耦合振动的影响，同时研究在三种约束刚度下，耦合作用、壳体尺寸等因素对圆柱壳耦合振动的影响。

1 力学模型

图1所示为圆柱壳的力学模型，R表示平均半径，L表示圆柱壳长度，h表示圆柱壳壁厚，本文在圆柱壳的中面上建立正交坐标系（x，θ， ）z ，其中x，θ和z分别为圆柱壳的轴向、环向和径向坐标。

图1 圆柱壳模型Fig.1 Geometry of cylindrical shell

图2 弹性边界Fig.2 Elastic boundary supports

图2中所示为弹性边界约束模型，k0，k1为径向约束刚度，K0，K1为扭转约束刚度。通过不同的刚度值组合可以实现所有的边界条件。例如，当刚度值均为0时，代表自由边界条件；当扭转刚度值为0，径向刚度值为无穷大时，代表两端简支边界条件；当刚度值均为无穷大时，代表两端固支边界条件。

2 理论推导

根据Flügge理论[11]，圆柱壳的运动方程为：

用波动法表示的圆柱壳振动位移方程如下：

其中：Um，Vm，Wm分别表示x，θ，z方向的波幅，ω表示固有角频率，km的大小与约束边界的约束刚度有关，文献[12]中采用改进傅里叶级数的计算方法求km。

采用波动法，在圆柱壳的弯曲振动分析中，相应边界条件下的圆柱壳的轴向波数km可以用梁的弯曲振动波数来替代。

梁的运动微分方程为：

其中：DL，ρL，AL代表梁的刚度，密度和横截面面积。

p（x）是为了克服余弦级数的不连续性而引入的辅助函数。

其中：

将（4）式代入（3）式得到：

将（10）式进行推导，最终可以化为标准的矩阵求解特征值问题，求解方程可以得到相应的轴向波数。

计算中需要考虑流体与圆柱壳结构的耦合效应，在流体中用柱坐标表示的声压场为：

其中：Jn（）表示n阶Bessel函数，轴向波数km和径向波数kr满足的关系表达式为：

其中：ρf表示流体密度，Jn′（）表示函数对变量krR的一阶导数。 将相应的轴向波数代入（2）式，将（2）式代入（1）式，并结合方程（11）得到用矩阵表示的耦合系统运动方程：

其中：FL表示流体声场作用所产生的流体荷载项，

将方程（16）代入到方程（15）中求解方程，可以得到：

3 数值计算及分析

3.1 有效性及收敛性分析

为了验证本文研究方法的正确性和有效性，表1和表2分别给出了两端固支条件下和两端简支条件下充液圆柱壳耦合频率的计算结果，并与参考文献[13]和参考文献[6]的计算结果进行了对比，结果表明了本文求解弹性边界条件下充液圆柱壳耦合频率的计算方法的正确性和有效性。表中计算参数均与参考文献中的计算参数相同。m表示轴向半波数，n表示周向波数。在运用傅里叶级数的方法求解轴向波数km时，截取M=10，就可以得到基本收敛的计算结果。

表1 两端固支条件下充液圆柱壳的耦合频率计算结果对比Tab.1 Comparison between the results of calculation of the coupled frequencies for fluid-filled cylindrical shells with C-C

表2 两端简支条件下充液圆柱壳的耦合频率计算结果对比Tab.2 Comparison between the results of calculation of the coupled frequencies for fluid-filled cylindrical shells with SS-SS

3.2 边界刚度对充液圆柱壳耦合频率的影响

本文通过多组算例研究了弹性边界条件下充液圆柱壳的耦合振动特性，在不同边界约束的情况下，通过改变约束刚度、周向波数、壳体尺寸等因素，分析了圆柱壳耦合频率的变化规律，计算结果见图3-11。 本文算例中，选用的圆柱壳几何参数为：E=2.077 88×1011，υ=0.317 756，ρ=8 166，h/R=0.002，L/R=20。

图3 不同m值下耦合频率变化规律曲线 （边界约束A） Fig.3 Variation of coupled frequency with different axial half wave number(boundary constraints A)

图4 不同m值下耦合频率变化规律曲线 （边界约束B）Fig.4 Variation of coupled frequency with different axial half wave number(boundary constraints B)

为了便于分析，计算过程中均采用无量纲约束刚度（约束刚度值除以弯曲刚度 DL），即：k0′=k0/DL，k1′=k1/DL，K0′=K0/DL，K1′=K1/DL。计算中选用三种边界约束情况，第一种为 K0′，K1′为 0、k0′，k1′同时从1增大至100 000，即边界条件从两端自由到两端简支中变化，视为边界约束A；第二种为k0′，k1′为无穷大、K0′，K1′同时从 1 增大至 100 000，即边界条件从两端简支到两端固支中变化，视为边界约束 B；第三种为 k0′，K0′为无穷大、K1′=0、k1′从 1增大至100 000，即边界条件从一端固定、一端自由到一端固定、一端简支中变化，视为边界约束C。计算过程中无穷大均取1010。图3-11中，约束刚度值均取对数值 log k0′，log k1′，log K0′，log K1′表示，其余情况下的约束刚度值均用实际值表示。

图5 不同m值下耦合频率变化规律曲线（边界约束C）Fig.5 Variation of coupled frequency with different axial half wave number(boundary constraints C)

图3-5给出了三种边界约束条件下，充液圆柱壳耦合频率在不同n值情况下随着约束刚度增大的变化规律曲线。计算中取n=2。可以看出，随着m值的增大，三种边界约束条件下的耦合频率均增大；随着约束刚度的增大，不同m值情况下耦合频率的变化规律相似，即均是先增大之后趋于平缓；对比三幅图可以发现，三种边界约束条件下，耦合频率增大过程中的约束刚度的范围明显不同：边界约束A时，m=1和m=2情况下，约束刚度在10～100之间，m=3情况下，约束刚度在10～10 000之间；边界约束B时，约束刚度在1～100之间；边界约束C时，m=1时，约束刚度在1～100之间，m=2时，约束刚度在10～1 000之间，m=3时，约束刚度在10～10 000之间。当m=1时，三种边界条件下的耦合频率的增大幅度都很小。

图6 不同n值下耦合频率变化规律曲线 （边界约束A) Fig.6 Variation of coupled frequency with different circumferential wave number (boundary constraints A)

图7 不同n值下耦合频率变化规律曲线 （边界约束B）Fig.7 Variation of coupled frequency with different circumferential wave number(boundary constraints B)

图8 不同n值下耦合频率变化规律曲线（边界约束C）Fig.8 Variation of coupled frequency with different circumferential wave number(boundary constraints C)

图9 不同约束刚度下的固有频率变化 规律曲线Fig.9 Variation of coupled frequency with different elastic boundary stiffness

以下取m=1。图6-8给出了三种边界约束条件下，充液圆柱壳耦合频率在不同n值情况下随着约束刚度增大的变化规律曲线。可以看出，随着n值的增大，三种边界约束条件下的耦合频率变化规律不同：边界约束A时，耦合频率均随着n值的增大而增大；边界约束B时，耦合频率均随着n值的增大先减小后增大；边界约束C时，在约束刚度为1～10的情况下，耦合频率均随着n值的增大而增大，在约束刚度为100～100 000的情况下，耦合频率均随着n值的增大先减小后增大，两个不同的变化规律是在约束刚度为10～100之间过渡的。随着约束刚度的增大，三种边界约束条件下的耦合频率的变化规律也表现出明显的不同：边界约束A和边界约束C时，约束刚度对耦合频率的影响主要体现在n=2的情况下，随着约束刚度的增大，耦合频率先增大后趋于一个定值，且耦合频率的增大主要在约束刚度为1～1 000之间；边界约束B时，n=2和n=3时，耦合频率随着约束刚度的增大先增大后趋于一定值，且耦合频率的增大主要在约束刚度为1～100之间；随着n值的增大，约束刚度对耦合频率的影响越来越小。

以下取n=2。图9给出了边界约束B条件下，考虑耦合作用和不考虑耦合作用下的充液圆柱壳固有频率随着约束刚度增大的变化规律曲线。从图中可以看出，不考虑耦合作用的固有频率显著大于考虑耦合作用的固有频率。随着约束刚度的增大，两种情况下的频率均是先增大后趋于稳定，但是考虑耦合作用的耦合频率的增大幅度比较小。

图10给出了边界约束B条件下，三种约束刚度情况下耦合频率随着L/R增大的变化规律曲线。从图中可以看出，随着L/R的增大，三种约束刚度下的耦合频率的变化规律相似，均为不断减小，且下降幅度也在在不断减小。

图11给出了边界约束B条件下，三种约束刚度情况下耦合频率随着h/R增大的变化规律曲线。从图中可以看出，三种约束刚度下的耦合频率变化规律相似，随着h/R的增大，耦合频率均增大，且增大幅度比较均匀，而约束刚度的变化只是改变了耦合频率的大小。

图10 不同L/R下的耦合频率变化规律曲线 Fig.10 Variation of coupled frequency with different length-radius ratio of the shell

图11 不同h/R下的耦合频率变化规律曲线Fig.11 Variation of coupled frequency with different thickness-radius ratio of the shell

4 结 论

（1）随着m值的增大，耦合频率显著增大。不同边界约束条件下，随着约束刚度的增大，耦合频率的反应灵敏度不同。

（2）不同边界约束条件下，耦合频率随着n值的增大的变化规律不同。约束刚度对耦合频率的影响只表现在n值较小的情况下：随着约束刚度的增大，耦合频率先增大之后趋于一个定值。

（3）不考虑耦合作用的固有频率显著大于考虑耦合作用的固有频率，耦合作用的存在弱化了约束刚度对固有频率的影响。

（4）壳体尺寸对耦合频率的影响比较明显：随着L/R的增大，耦合频率不断下降；随着h/R的增大，耦合频率不断增大。改变约束刚度，耦合频率随壳体尺寸变化的变化规律并不发生改变，改变的只是耦合频率的大小。

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Influence of elastic boundary stiffness on the coupling frequency of fluid-filled cylindrical shells

LIANG Bin,CHEN Jin-xiao,LI Rong,LIU Lin-xia
(Civil Engineering School,Henan University of Science and Technology,Luoyang 471023,China)

The coupled vibration characteristics of fluid-filled cylindrical shells under elastic boundary conditions are studied.Based on the Flügge theory and considering the influence of the fluid,the coupled characteristic equations of fluid-filled cylindrical shells are derived by wave method,the axial wave number obtained by the Fourier series method is substituted into the coupled characteristic equation and the coupled frequency of fluid-filled cylindrical shells under elastic boundary conditions obtained by Newton iterative method.The present analysis is validated by comparing results with fluid-filled cylindrical shells with clamped supported-clamped supported(C-C).By numerical examples,the vary regular of coupled frequency for fluid-filled cylindrical shells under different axial wave number and shell size with the constantly changing of elastic boundary stiffness is analyzed.

elastic boundary;cylindrical shell;fluid-filled;wave method;coupled frequency

O32

A

10.3969/j.issn.1007-7294.2017.11.011

1007-7294（2017）11-1414-08

2017-08-22

国家自然科学基金资助项目（U1604135；11402077）

梁 斌（1963-），男，教授，博士生导师，E-mail：liangbin4231@163.com；

陈金晓（1991-），女，硕士研究生，E-mail：chenjinxiao0520@163.com。