利用导数的数学本质功能和正交向量的性质探究点到直线的距离

胡世博

摘要：在数学中，求证点到直线距离的公式具有多种方式，本文主要研究通过导数的数学本质功能和正交向量的性质对点到直线的距离进行探讨。

关键词：导数数学本质；正交向量形式；点；直线；距离

导数在数学中的本质就是瞬时变化，其是微积分中的基础概念，并且尤为重要，其主要是通过极限概念实现函数局部的线性逼近，比如在运动学中，物体位移相对于时间导数来说就是物体的瞬时速度，导数实际上就是函数图像中的斜率值。正交向量指的是二维或者三维空间中两个或者三个向量为90°，正交向量的几何就是正交向量组。在数学中，导数及正交向量是尤为重要的概念，在学习过程中要重视从多方面对其本质进行理解。通过导数数学本质及正交向量性质对点到直线距离进行探究，主要是将正交向量積和方程导数相结合实现的。基于此，本文就讲此过程详细的进行论述。数学中，点到直线的距离公式有很多求证方法，这里是一种利用导数的数学本质功能和正交向量的性质探究点到直线的距离的方法，将“方程导数”、“正交向量积”结起来，探究点到直线的距离。

一、导数的数学本质功能

数学中，导数（Derivative）是微积分中的重要基础概念。当自变量的增量趋于零时，因变量的增量与自变量的增量之商的极限。在一个函数存在导数时，称这个函数可导或者可微分。可导的函数一定连续，不连续的函数一定不可导。

导数实质上就是一个求极限的过程，导数的四则运算法则来源于极限的四则运算法则。

二、对圆的方程求导的数学意义

在平面内，设圆心O的坐标为（a1，b1）， 圆的半径为r， 则，圆的方程为：（xa1）2+（y- b1） 2=r2 ----------------①式

我们不是一般性地将①式视为，动点（x，y）到定点（a1，b1）的距离d的函数特殊情况（此时，距离d为常数r）。

距离d的函数f（d）= f（x，y）=（x- a1）2+（y- b1） 2---------②式

对①式、②式进行求导，则有，

f/（d）= f/（x，y）=2（x- a1）·（x- a1）/+2（yb1） ·（y- b1） /=0

化简则有，（x- a1）·（x- a1）/+（y- b1） ·（yb1） /=0 -----③式

即：（x- a1）·x/+（y- b1） ·y/=0 ----------------④式

x·x/+y·y/= a1·x/+ b1 ·y/

观察③式、④式，可以视为：向量OM与向量n正交。

其中，过动点M（x，y）、圆心O（a1，b1）的半径向量OM【记作：向量OM=（（xa1），（y- b1））】

过动点M（x，y）的切线向量n【记作：向量n=（（x- a1）/，（y- b1） /）】

三、根据正交向量的性质求索直线外一点到直线最小距离

我们设过动点M（x，y）的切线方程的一般式为 ：

A x+B y+C=0 ---------------⑤式

因为切线与圆的半径正交，则有OM半径向量=（ A， B）

根据向量内积其数学意义：本向量模长与“彼向量模长在本向量模长上投影长”的乘积，且有OM·n=|OM||n|cosθ。

于是则，|OM·n|≦|OM||n|| cosθ|

取等号时即为圆心到切线的最小距离。

最小

参考文献

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[2] 王楠. 利用导数的数学本质功能和正交向量的性质探究点到直线的距离[J]. 中学生数理化：学研版， 2017（5）：47-47.

[3] 李红武， 王骁力. 空间直线的向量表示及其在求点到空间直线距离的应用[J]. 南阳师范学院学报， 2009， 8（3）：24-26.endprint