由扩张法构造带Novikov结构的李代数

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(上海理工大学 理学院,上海 200093)

由扩张法构造带Novikov结构的李代数

胡建华,王资敏,曾博文

(上海理工大学 理学院,上海200093)

在特征为零的数域上给出构造李代数带Novikov结构的一种方法——扩张法.利用2-上循环和李代数表示,由一个阿贝尔李代数和一个任意李代数给出了扩张李代数的定义;带Novikov结构的李代数既具有仿射结构,也具有Novikov结构,恰当定义乘积后,给出了扩张李代数具有仿射结构的充要条件,给出了扩张李代数具有Novikov结构的充要条件.此方法在实际中仅适用于一些特殊的李代数,故给出了一个由扩张法构造带Novikov结构的低维李代数的实例.

2-上循环; 仿射结构;Novikov结构; 扩张

1 仿射结构和Novikov结构

幂零李代数[1-2]和可解李代数[1-3]是李理论中两类重要的李代数,但因其结构的复杂性,还有很多问题有待解决,受到许多学者的关注.Novikov代数是一类应用广泛的代数,文献[4]提出了具有Novikov结构的李代数的概念,并用来研究幂零李代数和可解李代数的结构,同时指出,并不是所有的李代数都能带有Novikov结构.文献[5]证明了任意特征为0的域上具有Novikov结构的有限维李代数是可解的.因此,Novikov结构在讨论李代数的可解性上具有重要意义.文献[6]探讨了k-步可解李代数的 Novikov结构.文献[7]给出了如何利用2-上循环和李代数表示构造扩张李代数的方法.本文将在特征为零的域上给出一种赋予扩张李代数Novikov结构的方法,给出了扩张李代数具有Novikov结构的充要条件.

定义1[1-2,8]设g是域k上的向量空间,在g中定义了一个李括号积(记为[·,·]),对∀x,y∈g,有[x,y]∈g,且以下3个条件成立:

a. 李括号积是双线性的;

b. [x,x]=0,∀x∈g;

c. [x,[y,z]]+[y,[z,x]]+[z,[x,y]]=o,∀x,y,z∈g(Jacobi等式).

称g为域k上的一个李代数.

由条件b易得,当Chark≠2时,有[x,y]=-[y,x],∀x,y∈g.

定义2[ 5,9]设k是任意域,代数A的乘积 (x,y)x·y,若满足等式

(1)

称A为左对称代数.

若此乘法还满足

(x·y)·z=(x·z)·y,∀x,y,z∈A

(2)

称A为 Novikov代数.

定义3[ 5,9]设k是任意域,若李代数g上定义了左对称乘积(x,y)x·y,且满足

[x,y]=x·y-y·x,∀x,y∈g

(3)

则称g具有仿射结构.

若该乘积还满足式(2),则称g具有Novikov结构.

定义4[5,9]一个李代数g的导出列:g(1)=g,g(i+1)=[g(i),g(i)],i∈,若存在整数n,有g(n+1)=o,则称g是n步可解的;一个李代数g的下中心列:g1=g,gi+1=[g,gi],i∈,若存在整数n,有gn+1=o,则称g是n步幂零的.

性质11步可解李代数、1步幂零李代数是阿贝尔李代数.

证明由g(2)=g2=[g,g]=0,结论显然成立.

性质23步幂零李代数是2步可解步李代数.

证明设李代数g是3步幂零的,则g(4)=[g,[g,[g,g]]]=0.由Jacobi等式,∀x,y,z,w∈g,

[[x,y],[z,w]]=[x,[y,[z,w]]]+

[y,[[z,w],x]]=[x,[y,[z,w]]]-

[y,[x,[z,w]]]=0

故g(3)=[g(2),g(2)]=0,g是2步可解李代数.

2 扩张法构造Novikov结构

设k是特征为零的域,a是一个阿贝尔李代数,b是任意李代数.因为,a是阿贝尔李代数,存在自然的b-模[10]结构,记为

φ:b→End(a),(x,a)φ(x)a,∀x∈b,a∈a

且对所有的x,y∈b,有

φ([x,y])=φ(x)φ(y)-φ(y)φ(x)

(4)

记Ω∈Z2(b,a)表示2-上循环,它是斜对称双线性映射Ω:b×b→a,且满足

φ(x)Ω(y,z)-φ(y)Ω(x,z)+φ(z)Ω(x,y)=

Ω([x,y],z)-Ω([x,z],y)+Ω([y,z],x)

(5)

(6)

则g=a×b构成一个李代数,称g为李代数b经由阿贝尔李代数a扩张的李代数.

现在g上构造Novikov结构.

假设g=(a,b,φ,Ω)是如上所定义的扩张李代数,且李代数a有仿射结构(a,b)a·b,∀a,b∈a,[a,b]=a·b-b·a;b有仿射结构(x,y)x·y,∀x,y∈b,[x,y]=x·y-y·x.再设ω:b×b→a是一个双线性映射,φ1,φ2:b→End(a)是李代数表示[11].定义一个双线性乘积g×g→g,∀a,b∈a,x,y∈b,

(7)

引理1阿贝尔李代数a若有仿射结构,则a具有交换性和结合性,即

a·b=b·a;(a·b)·c=a·(b·c),∀a,b,c∈a

证明因为a是阿贝尔的,则[a,b]=a·b-b·a=0,得a·b=b·a.又因a是左对称的,有

a·(b·c)-(a·b)·c=b·(a·c)-(b·a)·c

即a·(b·c)=b·(a·c),可得

引理2若李代数b是阿贝尔的,则g=(a,b,φ,Ω)是两步可解李代数.

证明若李代数b是阿贝尔的,由[(a,x),(b,y)]∶=(φ(x)b-φ(y)a+Ω(x,y),[x,y]),可知

g(2)=[g,g]⊂(a,o),g(3)=[g(2),g(2)]⊂(o,o)=o

定理1式(7)定义了李代数g上的一个仿射结构[12]当且仅当满足下面的条件:

a.ω(x,y)-ω(y,x)=Ω(x,y);

b.φ2(x)-φ1(x)=φ(x);

c.φ2(x)ω(y,z)-φ2(y)ω(x,z)-φ1(z)·Ω(x,y)=ω(y,x·z)-ω(x,y·z)+ω([x,y],z);

d.a·ω(y,z)+φ1(y·z)a=φ2(y)φ1(z)a-φ1(z)φ(y)a;

e.a·(φ1(z)b)=b·(φ1(z)a);

f.φ2(y)(a·c)-a·(φ2(y)c)=(φ(y)a)·c;

g.Ω(x,y)·c=0.

∀a,b,c∈a,x,y,z∈b.

证明∀u=(a,x),v=(b,y),w=(c,z)∈g,需证乘积 ∘ 满足式(3)和式(1).由式(7)及a,b的仿射性得

由式(6),[u,v]=u∘v-v∘u当且仅当

令a=b=0,可得ω(x,y)-ω(y,x)=Ω(x,y),由此再考虑a=0的情况,得φ2(x)-φ1(x)=φ(x).又

经计算,

又

式(1)成立当且仅当以上2个等式相等.令a=b=c=0,可得条件c.令a=b=0,由条件c可得条件g;令b=c=0,由条件c可得条件d;令z=x=b=0,可得条件f;令c=x=y=0,可得条件e.反之,若条件a—g成立,则有式(1)和(3)成立,得证.

定理2式(7)定义了李代数g上的一个Novikov结构当且仅当乘积 ∘ 满足条件a—g,且满足条件:

h.φ1(z)ω(x,y)-φ1(y)ω(x,z)=ω(x·z,y)-ω(x·y,z);

i.ω(x,y)·c+φ2(x·y)c=φ1(y)φ2(x)c;

j. [φ1(x),φ1(y)]=0;

k. (φ2(x)b)·c=(φ2(x)c)·b;

l.φ1(z)(a·b)=(φ1(z)a)·b;

m. (x·y)·z=(x·z)·y.

证明∀u=(a,x),v=(b,y),w=(c,z)∈g,需证乘积 ∘ 满足式(2).

若(u∘v)∘w=(u∘w)∘v,由u,v,w的任意性,比较上两式的右边,令a=b=c=0,得条件h和m.令a=b=0时,结合条件h,可得条件i; 令b=c=0时,结合条件h,可得φ1(z)φ1(y)a=φ1(y)φ1(z)a,由a,y,z的任意性,可得条件j.令y=z=a=0,可得条件k,最后,令x=y=c=0,可得式(l).反之,若条件a—m成立,则g满足式(1)～(3),具有Novikov结构.得证.

推论1设g=(a,b,φ,Ω),若b是阿贝尔的,且a,b上的左对称乘积是平凡的,则式(7)在李代数g上定义一个仿射结构当且仅当满足下面的条件:

a.ω(x,y)-ω(y,x)=Ω(x,y);

b.φ2(x)-φ1(x)=φ(x);

c.φ2(x)ω(y,z)-φ2(y)ω(x,z)=φ1(z)·Ω(x,y);

d. [φ1(x),φ2(y)]=φ1(x)φ1(y).

进一步,若式(7)在g上定义了一个Novikov结构,还需满足条件:

e.φ1(z)ω(x,y)=φ1(y)ω(x,z);

f.φ1(x)φ2(y)=0;

g. [φ1(x),φ1(y)]=0.

证明因为,a,b上的左对称乘积是平凡的,即a·b=x·y=0,∀a,b∈a,x,y∈b.由定理1和定理2,结论显然成立.

3 实 例

定理1和定理2给出了扩张李代数g=(a,b,φ,Ω)具有Novikov结构的充要条件,即找寻一系列方程的解,实际中这样的解并不容易求出,因此,此方法在实际中只适用于一些特殊的李代数.现仅考虑一种低维的情况.

例1设g为五维李代数,其基为(a,b,c,x,y),非零李括号为

[x,y]=a,[x,a]=b,[y,a]=c

不难验算g是一个3步幂零李代数,因此,g是2步可解的.现分3步在g上构造一个Novikov结构.

a. 将g看成一个扩张李代数,取a=span{a,b,c},b=span{x,y},a,b为阿贝尔李代数,令

则g=a×b=(a,b,φ,Ω)是b经由a扩张的李代数.

b. 寻找满足推论1中等式a—g的解φ1,φ2,ω.可假设a,b有一个平凡的左对称乘积,只需简单验算,可取

c. 根据式(7)定义乘积∘.因为,g=a×b,a≅(a,o),b≅(o,b),根据式(7),可取非零乘积

a∘x=-b/2,x∘a=b/2,y∘a=c,y∘x=-a

即可,这样g=a×b=(a,b,φ,Ω)就具有Novikov结构.

[1] HUMPHREYS J E.Introduction to Lie algebras and representation theory[M].New York:Springer-Verlag,1972.

[2] 苏育才,卢才辉,崔一敏.有限维半单李代数简明教程[M].北京:科学出版社,2008.

[3] DE GRAAF W A.Classification of solvable Lie algebras[J].Experimental Mathematics,2005,14(1):15-25.

[4] ZEL'MANOV E.On a class of local translation invariant Lie algebras[J].Soviet Mathematics-Doklady,1987,35:216-218.

[5] BURDE D.Classical r-matrices and Novikov algebras[J].Geometriae Dedicata,2006,122(1):145-157.

[6] BURDE D,DEKIMPE K,VERCAMMEN K.Novikov algebras and Novikov structures on Lie algebras[J].Linear Algebra and its Applications,2008,429(1):31-41.

[7] BENKART G M,MOODY R V.Derivations,central extensions,and affine Lie algebras[J].Algebras,Groups and Geometries,1986,3(4):456-492.

[8] 胡建华,赵卫萍.一类特殊幂零李代数的结构[J].上海理工大学学报,2015,37(3):215-219.

[9] BURDE D,DEKIMPE K.Novikov structures on solvable Lie algebras[J].Journal of Geometry and Physics,2006,56(9):1837-1855.

[10] 刘绍学,郭晋云,朱彬,等.环与代数[M].2版.北京:科学出版社,2009.

[11] 胡建华,刘国华.有限域上型A1的Chevalley群之间的同态[J].上海理工大学学报,2009,31(4):307-310.

[12] BURDE D.Affine structures on nilmanifolds[J].International Journal of Mathematics,1996,7(5):599-616.

ConstructionofLieAlgebraswithNovikovStructureviaExtensions

HU Jianhua,WANGZimin,ZENGBowen

(CollegeofScience,UniversityofShanghaiforScienceandTechnology,Shanghai200093,China)

A method via extension was proposed to construct Lie algebra with Novikov structure over a field of characteristic zero.Using 2-cocycle and the representations of Lie algebras,the definition of extended Lie algebras was given by an Abelian Lie algebra and an arbitrary Lie algebra.A Lie algebra with Novikov structure is endowed with both affine structure and Novikov structure.With a proper product defined,the necessary and sufficient conditions for the extended Lie algebras endowed with affine structure was given.And the necessary and sufficient conditions for the extended Lie algebras endowed with Novikov structure was given.In practice the method is only suited to some special Lie algebras.An example was presented of the low-dimensional Lie algebra with the Novikov structure constructed by extension.

2-cocycle;affinestructure;Novikovstructure;extension

1007-6735(2017)05-0416-04

10.13255/j.cnki.jusst.2017.05.002

2017-03-29

上海理工大学教师教学发展研究基金资助项目(CFTD17015Z, CFTD17016Z)

胡建华(1978-),女,讲师.研究方向:代数群及其表示理论.E-mail:smilydragon2011@163.com

O152

A

(编辑:石 瑛)