利用零点定理证明方程在区间内实根存在性问题分析研究

余小飞

【摘 要】在深入分析零点定理的基础上，研究零点定理应用的特殊情况，并给出了定理在方程根的存在性证明中的应用实例。

【关键词】零点定理；根的存在性；辅助函数

1.引言

零点定理是微积分学的一个重要定理，它的一个重要应用是研究函数零点的存在性问题，同时也可以用来研究方程在区间内实根的存在性问题。本文将利用零点定理给出解决实际问题的几个应用实例。

2.定理

设函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，且f（a）与f（b）异号（即f（a）f（b）<0），那么在开区间（a，b）内至少有一点ξ（a<ξ

证明：不妨设f（a）<0，f（b）>0。令

E={x|f（x）<0，x∈[a，b]}

由f（a）<0知E≠ ，且b为E的一个上界，于是根据确界存在原理，存在ξ=supE[a，b]，下面证明f（ξ）=0。

零点定理的条件有三部分组成：一是闭区间[a，b]，二是连续函数f（x），三是两个端点的函数值异号。证明的根的存在性的命题常常只给出上述三个条件的部分条件，另一些条件需要证明。

3.几个应用实例

（1）给出闭区间[a，b]上的连续函数f（x），证明f（x）=0在（a，b）内至少有一个实根。

（3）构造辅助函数，对辅助函数使用零点定理

先从待证的结果出发，将待证的结果转化为右端为零的等式，构造辅助函数F（x），然后验证F（x）在[a，b]上满足零点定理的条件。

例3：设f（x）在闭区间[0，2a]上连续，且f（0）=f（2a），则在[0，a]上至少存在一点x，使f（x）=f（x+a）。

证明：将f（x）=f（x+a）化为f（x）-f（x+a）=0，将x改为x，得到f（x）-f（x+a）=0。则F（x）在[0，b]在上连续，

且F（0）=f（0）-f（a）

F（a）=f（a）-f（2a）=f（a）-f（0）=-[f（0）-f（a）]

（1）若f（0）=f（a），则F（0）=F（a）=0，于是存在x∈（0，a），

使f（x）=f（x+a）成立。

4.结束语

零点定理和介值定理是闭区间上连续函数的两个重要性质，常用于证明方程式根的存在性，通过上面的例子，我们不难发现，利用零点定理研究根的存在性问题有很多种方法。只要我们能够掌握并灵活运用自己的知识，就能从更多的角度求解问题。

【参考文献】

[1]余荣.零点定理的应用[J].武汉工程大学学报，2010（11）：108-110

[2]高新慧，李杰.連续函数零点问题[J].漯河职业技术学院学报，2008.9（5）：116-117

[3]何艳玲，戴立辉.任意区间上连续函数的零点定理[J].宜春学院学报（自然科学），2006.4（2）：39-40