广义Improved KdV方程的守恒差分算法及其收敛性分析

叶 超

(西华大学 学术期刊部, 四川 成都 610039)

广义Improved KdV方程的守恒差分算法及其收敛性分析

叶 超

(西华大学 学术期刊部, 四川 成都 610039)

对广义Improved KdV方程的初边值问题进行了数值研究,提出了一个在空间层带有加权系数的两层非线性有限差分格式,该格式合理地模拟了方程本身具有的两个守恒律,并在其差分解的先验估计的基础上利用能量方法分析了该格式的二阶收敛性与无条件稳定性．

广义Improved KdV方程; 差分格式; 守恒性; 收敛性; 稳定性

0 引言及预备知识

广义Improved KdV方程

ut+εupux+γuxxx-σuxxt=0

(1)

(ε,γ,σ>0是确定的常数,p≥1是正整数)是Abdulloev等人在研究非线性波动方程时首先提出来的[1],它也被看着是广义EW方程[2-4](γ=0)和广义KdV方程[5,6](σ=0)的推广形式.方程(1)在许多工程物理领域(如流体力学、等离子物理学等)都有着广泛的应用,因此备受关注[1-6]．

本文考虑如下一类广义Improved KdV方程的初边值问题:

ut+upux+uxxx-uxxt=0,(x,t)∈[xL,xR]×[0,T]

(2)

u(x,0)=u0(x),x∈[xL,xR]

(3)

u(xL,t)=u(xR,t)=0,ux(xL,t)=ux(xR,t)=0,t∈[0,T]

(4)

其中u0(x)是一个已知的光滑函数．问题(2)～(4)满足如下守恒律[1]:

(5)

(6)

其中Q(0)和E(0)均为仅与初始条件有关的常数.

文[7][8]分别对问题(2)～(4)提出了具有二阶精度的两层非线性守恒差分格式和三层线性守恒差分格式,但这两个格式都仅能模拟守恒律(6),而不能模拟守恒律(5);文[9]对文[8]中的线性格式在对非线性项upux离散时引入加权参数,提高了数值模拟的精度,但对守恒量的模拟会有影响,于是本文在保持二阶理论精度的前提下,对初边值问题(2)～(4)在空间层引入加权参数,提出了一个新的加权守恒差分格式,新格式很好地模拟了原问题的两个守恒律(5)和(6),并讨论了其差分解的先验估计、分析了格式的二阶收敛性和无条件稳定性．这个差分格式同时满足守恒律(5)和(6),可以更好地保持解在物理上的守恒性质,可以应用在流体力学、等离子物理学等方面．

1 差分格式和守恒律

(7)

j=1,2,…,J-1;n=1,2,…,N-1,

(8)

(9)

其中

差分格式(7)～(9)对守恒量(5)和(6)的数值模拟有如下结论:

定理1 差分格式(7)～(9)关于以下离散能量是守恒的,即

(10)

(11)

其中,n=1,2,…,N．

证明将式(7)两端乘以h然后对j从1到J-1求和,由边界条件(9)和分部求和公式[10],整理可得

(12)

又由

当p取奇数时有

由此可得

(13)

由Qn的定义,将式(13)带入式(12),然后对n递推即可得式(10).

(14)

由于

(15)

由En的定义,将上式两端乘以τ,然后对n递推即可得式(11)．

2 差分格式的收敛性与稳定性

本小节在先验估计的基础上,运用离散泛函分析方法来讨论差分格式的收敛性和稳定性．

差分格式(7)～(9)的截断误差为:

(16)

j=1,2,…,J-1;n=1,2,…,N-1,

(17)

(18)

‖u‖L2≤C,‖ux‖L2≤C,‖u‖L∞≤C．

证明由式(6)有‖u‖L2≤C,‖ux‖L2≤C,再由Sobolev不等式有‖u‖L∞≤C．

证明由于

(19)

则由式(11),可得

(20)

j=1,2,…,J-1;n=1,2,…,N-1,

(21)

(22)

(23)

类似于式(15)有

(24)

利用引理1、引理2以及Cauchy-Schwarz不等式,有

(25)

(26)

将式(24)～(26)代入式(23),整理得

(27)

(28)

将式(28)从0到n-1递推求和得

2.“三个代表”重要思想。“‘三个代表’重要思想是江泽民为核心的党中央提出的重要战略思想。‘三个代表’即中国共产党要始终代表中国先进生产力的发展要求，始终代表中国先进文化的前进方向，始终代表中国广大人民的根本利益。”［3］“三个代表”重要思想是我党是在新世纪新时期迎接机遇，应对挑战，为实现国家和人民的根本利益而不懈奋斗的时代要求，准确把握了时代特点和党的任务，它创造性地回答了“建设一个什么样的党，怎样建设党”的问题，是我党的立党之本、执政之基和力量之源，是中国共产党从国内外的历史、现状和未来着眼，科学的制定并正确执行的党的路线方针政策的行动指南。

(29)

由式(21)有B0=O(τ2+h2)2,以及

再类似于式(19),有

于是由离散Gronwall不等式[10],有

最后由离散Sobolev不等式[10]有‖en‖∞≤O(τ2+h2)．与定理2类似,同理可以证明如下定理.

定理3 在定理2的条件下, 则差分格式(7)～(9)的解Un以‖·‖∞关于初值稳定．

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ConservativeDifferenceSchemeandConvergenceAnalysisfortheGeneralImprovedKdVEquation

YE Chao

(Academic Journal of Xihua University, Xihua University, Chengdu Sichuan 610039, China)

This paper studies numerical solutions for an initial-boundary value problem of the general improved KdV equation, and propose a two levels nonlinear finite difference scheme which is based on using weighted finite difference method in the spatial layer.The scheme reasonably simulates the two original conservative properties of the KdV equation itself and the second-order convergence and unconditional stability of the difference scheme are analyzed by energy method on the basis of the priori error estimate of the difference solution.

general improved KdV equation; finite difference scheme; conservative; convergence; stability

O241.82

A

1671-6876(2017)03-0200-05

[责任编辑李春红]

2017-04-05

四川省社会科学数据出版研究项目(W14216274)

叶超(1977-),男,讲师,主要研究方向为偏微分方程数值解法. E-mail: 1186109598@qq.com