STL三角形网格模型曲面特征边的提取

汪俊辉 陈 兴 邓益民

(宁波大学机械工程与力学学院 浙江 宁波 315211)

STL三角形网格模型曲面特征边的提取

汪俊辉 陈 兴*邓益民

(宁波大学机械工程与力学学院 浙江 宁波 315211)

针对STL网格模型曲面特征边识别困难的问题，提出一种基于边和面的特征边提取方法。首先遍历网格模型，自适应地获取二面角阈值并根据该阈值识别显性特征边；然后利用最小二乘法估算曲面上顶点的平均曲率，由此计算出三角形面片的近似曲率，并利用相邻三角形的曲率差值来判别其公共的隐性特征边是否为特征边，最后采用改进的断点处特征边提取算法形成完整的特征边界。实验结果表明该方法能够有效地提取STL网格模型曲面网格的特征边，具有很好的鲁棒性。

STL模型 三角形网格 特征提取 二面角 平均曲率

0 引 言

特征边能够反映实体模型的轮廓特征，准确、高效地提取三角形网格模型的特征边对文物碎片的匹配[1]、网格简化[2]、曲面重构[3]以及网格分割[4]等具有重要意义。随着CAD/CAM技术的快速发展，通过CAD软件可轻易获取具有表面三角形网格的STL实体模型，而STL模型运用于计算机辅助制造(CAM)、有限元分析、快速原型制造(RP)、注塑成型模流分析的首要前提条件是能够准确地提取STL三角形网格模型的特征边。因此，如何快速、准确地提取STL模型的特征边是关键所在。

当今关于三角形网格特征边的提取算法有很多，一般将其划分为两大类：1) 基于面的特征边提取算法[5-8]，文献[5]采用张量投票对三角形网格顶点进行分类，然后利用区域生长合并的递归算法实现特征线的提取，但对于三角形网格分布不均匀，尤其是含有较多狭长和面积近乎为零的三角形网格时，算法无法准确地识别特征点。文献[6]在此基础上提出了一种断点连接的方法来保证顶点分类的正确性，能够处理网格分布不均匀，以及含有狭长三角形的模型，但该算法仅对规则数据模型有效，无法识别位于过渡曲面处曲率渐变的特征点[7-8]。2) 基于边的特征边提取算法[9-22]。最初的方法是基于初等几何的方法，如通过计算相邻面的二面角阈值进行模型特征边的提取，但该方法无法提取具有较小二面角的过渡曲面的特征边[9]，文献[10]给出了一种自适应获取二面角阈值的方法，并结合相邻三角形的周长比值来提取网格模型的特征边，该算法仅适用于由简单几何体组合形成的复杂模型，对于自由曲面模型则易失效，尤其是含有过渡曲面的模型，会出现周长比值小于给定阈值的情形而导致这部分特征边出现中断现象。为了避免该现象发生，文献[11]利用断点处特征边提取算法，较好地解决了特征边中断现象，但该算法仅适用于“环状过渡边界[12]”的提取，对于“带状过渡曲面边界”提取易失效，并且由于文献[10]并没有给出判定冗余特征边的算法，仅用二面角和周长比两个判定条件并不能保证所有识别的边均为特征边。因此断点处特征边的提取效果的好坏取决于其特征边提取的准确性。文献[13]综合利用二面角、边角和顶点法向张量矩阵的特征向量等多个指标来识别特征点、特征边和特征边方向。文献[14]在其基础上，采用局部采样追踪算法，依据三角面-三角面的邻接关系进行特征边的检测，但不能识别过渡曲面的特征边。文献[15] 则提出一种基于稀疏性优化的网格特征检测算法，通过Laplacian光顺前后的顶点距离作为度量来识别特征，能够较好地识别过渡特征，但这种算法需要进行全局优化计算，效率较低。文献[16]根据二面角以及相邻三角形的面积比值来识别特征边，该算法依赖于局部几何特性，易识错特征边，需要进一步处理。近年来，一些学者发展了微分几何方法，根据相邻三角形的法矢夹角及采用二次曲面拟合得到的各网格顶点的主曲率，分两次提取特征点，并利用三角顶点加权和均匀化等方法，减少狭长三角形对特征点提取的计算误差影响，但该算法仅适用于一般的自由曲面，并且将无序的特征点连接成特征边的过程中会产生中断现象[17]。文献[18]在此基础上根据主成分分析法(PCA)识别出特征边的主方向，从而实现了特征线的完整连接。文献[19]利用网格顶点处的法向和曲率半径等离散微分几何工具给出了一个判别特征点的指标，但该判别指标仅适用于均匀的三角网格模型。文献[20]在此基础上改进了其特征点的识别指标，使其同样适用于不均匀三角网格模型。而文献[21]利用了二次曲面拟合得到的各网格顶点的平均曲率来提取特征点，然后采用追踪投影法获得了完整的特征线。文献[22]则采用可展曲面拟合各个曲面网格，然后利用相邻曲面的求交获得了特征线，但该算法无法提取变半径的过渡曲面的边界线。

综上所述，三角形网格特征边的提取算法无论是基于边的方法还是基于面的方法主要采用了二面角或者顶点处的曲率作为特征边或特征点的判定条件，但都存在以下两个问题：① 二面角阈值均为定值，虽能够快速、准确地识别出某些简单模型特征边，不必采用耗时的曲率计算方法。但它无法识别平滑过渡边界处的特征边，并且二面角阈值的确定一般是凭借经验，不够精确，从而缺乏普适性；② 曲率极值法[23]的顶点处法矢量以及曲率计算均存在计算误差且耗时，并且无法识别曲率变化较小的特征点，只适合于三角形网格分布较均匀的模型，但在网格分布不均匀的地方或存在狭长三角形网格时，该方法对特征点的识别不如二面角阈值准确。本文通过改进文献[10]特征边的提取算法以及文献[11]断点处提取特征边算法的不足之处，提出了一种新的采用基于边和面的特征边二次提取算法。该算法结合基于边和基于面的算法的各自优点，不仅能够根据STL网格模型的精度进行自适应调整二面角阈值，还适用于分布不均匀的三角形网格的过渡曲面的特征边提取，并且利用本文改进的断点处的特征边提取算法能够形成完整的特征边界，避免了特征边的中断。另外，在第二次基于面的特征边提取过程中并不需要遍历所有的三角形面片来得到各顶点的曲率，计算效率有所提高。

1 特征边提取

本文提出一种基于STL网格模型的特征边提取算法，该算法结合基于边和面的各自优点，采取针对不同类型的三角形网格边应用不同方法的思想，通过对显性、隐性特征边的提取，实现了所有特征边的高效、完整地提取。具体的算法流程如图1所示。

图1 特征边的二次提取算法流程示意图

1.1 三角网格模型

三角网格模型通常由一对线性表表示，M={V，E}，V={Vi|Vi∈R3,2≤i≤n}为顶点V1周围的所有顶点组成的集合，E={ei|ei=V1-Vi，2≤i≤n}为顶点V1周围所有边的集合集合，ei其中为向量。

图2 顶点V1的一阶邻域

1.2 第一次边界特征提取

定义1如图2所示，含有公共边ei+1的相邻三角面片其中一个面片的面法矢量为ni，另一个面片的面法矢量为ni+1，它们之间法矢量形成的夹角φ就是三角面片公共边ei+1的二面角。

相邻三角形的二面角的计算式表示为：

cosφ=(ni·ni+1)/(‖ni‖·‖ni+1‖)

(1)

二面角的大小能够反映出模型三角形网格边的光滑程度，二面角越小，则表示两个相邻的三角形越平滑，当二面角为0°时，表示两个三角形共面；反之，二面角越大，超过了某个二面角阈值时，则就会出现棱线，可视为特征边。

1.2.1 三角形网格边的分类

为了能够识别对应二面角较小的特征边，文献[10]利用扰动零度以及特征线阈值将三角形的边分为平面边、非平面边以及特征边。文献[20]利用两个二面角阈值将三角形边划分为特征边、次特征边以及非特征边。本文的算法也将需要用到两个二面角阈值φ1和φ2，其中φ1是显性特征边阈值，φ2隐性特征边阈值。根据这两个二面角阈值可将三角形的边划分为三类：若三角形边所对应的二面角位于[φ1，180°),则称之为显性特征边；若该边所对应的二面角位于(0，φ2]，则称之为隐性特征边；否则，称之为非特征边。

1.2.2 特征阈值的确定

CAD中STL网格模型的精度是由参数Facetres控制的，其取值为(1,10)，Facetres越大，STL网格模型的精度越高，对应的二面角越小。文献[24]对STL网格模型的二面角进行了统计分析，发现二面角大于20°所对应的三角形网格边比较能够反映模型的特征。文献[20]将20°作为特征边的判定阈值，由于该特征边阈值是在精度一定的情况下确定的，而CAD中STL网格模型的精度是随产品发生变化的，因此常二面角阈值不具有普适性。文献[10]在Facetres=5时，采用二面角大于10°的最小二面角的2倍作为特征边阈值，该方法虽在同等精度下具有自适应性，但并不适用于其他的精度等级。本文在此基础上确定了显性特征边阈值φ1：首先计算所有三角形网格边所对应的二面角的平均值β，若β大于20°，则二面角阈值为20°+β(1+λ1)/4；否则二面角阈值为β+β(1-λ1)/4，具体计算式表示为：

(2)

式中，φ1—显性特征边阈值，β—STL网格模型中所有三角形网格边所对应的二面角的平均值，其中权值λ1取值(0, 1)，与STL网格模型的精度成正比，在实际应用中Facetres≥5时，STL网格模型能够有效地逼近实体表面，经过反复试验确定λ1=log(Facetres)。

为了准确识别自由曲面以及过渡曲面边界处的特征边，文献[10]利用扰动零度为0.1°作为隐性特征边的判定阈值，该阈值虽然能准确地区分隐性特征边与非特征边，但在不同的STL网格模型精度下，扰动零度有可能使隐性特征边的判定数量增加而降低特征边的识别效率，不具有自适应性。本文引入了隐性特征边阈值作为判定条件，以期对于不同精度下的STL网格模型具有自适应性。隐性特征边阈值的确定方法如下：

(1) 筛选出二面角φ位于[0,λ2β)的网格边，其中权值λ2取值(0, 1)，与STL网格模型的精度成反比，本文取值为λ2=1-λ1可满足条件。

(2) 计算出符合(1)条件的二面角的平均值，将其作为隐性特征边阈值φ2，φ2的计算式表示为：

(3)

式中，n—STL网格模型中所有二面角位于[0,λ2β)的三角形的边数。

通过φ2，能够快速、准确查找到位于过渡曲面边界处对应的具有较小二面角的隐性特征边。

本文将所有的显性特征边视为特征边，而对于隐性特征边是否为特征边需要进一步地判定。

1.3 第二次边界特征边提取

通过上述1.2节第一次边界特征边的提取，识别并提取出所有的具有棱角分明的显性特征边以及位于过渡曲面处对应具有较小二面角的隐性特征边。显性特征边一定是特征边，但隐性特征边不一定是特征边，存在是特征边的可能。利用单纯的二面角无法准确判断二面角较小的隐性特征边是否为特征边，本文通过计算相邻三角形的近似平均曲率来判别。

由曲面论可知，零件的棱线、脊线和曲面交线等处曲面的曲率较大。为了计算每一顶点的曲率，可在顶点V1处建立曲面S(u，v)=(u，v，h(u，v))，其中h(u，v)=au2+buv+cv2。如图3所示，原点是点V1，h轴为曲面在点V1处的法矢量N1的方向，u，v相互正交且在V的切平面内，局部坐标系(V1uvh)由绝对坐标系(Oxyz)经坐标变换得到，即O平移至V1，再旋转使得z轴与h轴重合，此时u、v可取x、y轴。建立的曲面在V1点处存在无数条主法矢量和曲面的法矢量N1重合的曲线，该曲线族的曲率k是曲面的法曲率。法曲率中的极小值k1和极大值k2称为主曲率，对应的曲线的切线方向分别为m1、m2，称为主方向，两者总是相互垂直。

图3 点V1的局部坐标系

1.3.1 网格顶点法矢量的计算

为了获得曲面在点V1的曲率，需要先估算每个三角形顶点的法矢量。本文采用基于顶点领域平面拟合的方法来估算网格顶点法矢量。

(4)

要使得顶点V1的邻域三角形网格的投影面积最大，必须使每个三角形与投影平面π的法矢量夹角θi最小，也即是邻域内的每个顶点V1到投影平面的距离di最小。因此，求解顶点邻域三角形的投影面积最大的投影平面π转化为求解每个三角形顶点V1到投影平面的距离di最小值问题，对顶点V1的邻域顶点Vi(2≤i≤n)进行平面拟合。

对平面c0x+c1y+c2z+c3=0进行变换得到：

(5)

则：

z=a0x+a1y+a2

(6)

要使邻域内的顶点Vi(xi，yi，zi)，2≤i≤n到平面π的距离的平方和最小，即满足：

(7)

要使f(a0,a1,a2)→min，将式(9)对a0、a1、a2求偏导，并令偏导数为零，得到：

(8)

将式(8)构成线性方程：

Bx=D

(9)

解上述线性方程组，可得a0、a1、a2，进而得到投影平面π的参数c0、c1、c2、c3。

采用基于顶点领域平面拟合的方法来估算网格顶点法矢量，其估算精度与顶点V1的邻域内的三角形顶点与投影平面的拟合精度有关，而与邻域内三角形的几何特性关系不大，降低了对其依赖性。这有别于从力学角度提出的单位法矢量加权[17-18,21]及以三角网格顶点一阶邻域三角形的形状因子与顶点到三角形质心距进行综合加权的方法[26]。

1.3.2 平均曲率的计算

求得各个顶点的法矢量后，在顶点V1处建立二次曲面S(u，v)=(u，v，h(u，v))，且V1点的一阶邻域顶点Vj(1≤j≤m)在局部坐标系下的坐标值为(xj，yj，zj)，由m个邻域顶点得到的线性方程组为：

(10)

用最小二乘法[27]解上述方程组，可得到曲面S(u，v)。由此可得到该顶点处的主曲率和相应的主曲率方向计算式表示为：

(11)

曲面上的一点的平均曲率是该点主曲率的平均值，求得每个网格顶点的主曲率k1、k2后就能求得每个网格顶点的平均曲率H，由式(11)可得：

(12)

由于曲面的平均曲率能够反映曲面的弯曲程度，利用平均曲率可识别隐性特征边。

1.3.3 特征边的判定指标

顶点的平均曲率的估算首先要确定顶点的邻域，而顶点邻域内三角形网格的稀疏、不均匀性都将影响顶点的局部二次曲面的拟合精度，特别是含有尖锐的显性特征边的顶点邻域，会造成估算的曲率精度更低，如不适当处理，算法还不如二面角判断准确。因此本文在选取三角形的各顶点的邻域时，先查找到与三角形各顶点共点的三角形，然后剔除与该三角形所对应的二面角大于显性特征边阈值的所有三角形，得到了所需要的顶点邻域。如图4所示，图中的细虚线表示显性特征边，f1与f2为两个相邻的三角形，两个三角形的顶点(V1～V4)的邻域三角形(图中黑色线圈所包围的与各顶点相连的三角形)不包含显性特征边，而三角形f3与f4中的顶点V6与V7的邻域包含显性特征边，需要舍去与该三角形顶点邻域中与该三角形所对应的二面角大于显性特征边阈值的所有三角形，剔除不符合条件的三角形后，顶点V6与V7的邻域为图中线圈所示。

图4 相邻三角形的各顶点邻域

(13)

(14)

由式(13)和式(14)相减得：

(15)

由式(15)可知，两个相邻的三角形面片的近似平均曲率的差值转换成了两个三角形面片的顶点的平均曲率的差值估算，节省了识别特征边的复杂度和时间度。

(16)

由式(16)可得：

|k2-k1|≥|k1·k2|λ1

(17)

2 特征边界的生成

在上述STL网格特征边判定的过程中并不是所有的特征边都能完整地识别出来，有时也会出现断边现象。文献[11]根据顶点的度的定义(与某个顶点相连的特征边的条数称为顶点的度)进行断点处特征边的连接，但该算法仅适合于环状过渡边界断点处特征边的提取，对于带状过渡曲面特征边界则易失效。本文改进了文献[11]的算法，提出一种特征边界生成算法不仅适合于环状过渡曲面特征边界，还适合带状过渡曲面特征边界的生成。具体如算法1所示：

算法1断点处特征边的提取算法。

Step1新建一个特征边表E1从上述1.2节和1.3节所提取的特征边集合U1中取出第一条边作为初始特征边，将该边作为当前特征边，转到Step2。

Step2判断U1是否为NULL，若为NULL，则停止操作；若不为NULL，则转到Step3。

Step3在集合U1中查找出首结点坐标与当前特征边的尾结点坐标相同的特征边：1) 若存在，则判断该边的尾结点坐标是否与初始特征边的首结点坐标相同：①若相同，说明特征边形成了首尾相连的封闭特征边界，将其从U1删除加入E1中，转到Step1；②若不相同，则将该边作为当前特征边，将其从U1删除加入E1中并继续寻找与当前特征边的尾结点的坐标相同的特征边，方法同上①类似，直到形成首尾相连的封闭特征边界为止，转到Step1。2) 若不存在，则在集合U1中查找出所有首结点坐标与当前特征边尾结点坐标相同并且为隐性特征边的三角形边形成集合U2, 记U2中最大面积比为smax并从U2中查找到对应面积比值s(即两相邻三角形中面积大的三角形比上面积较小的三角形)满足smax-s≤1的边形成集合U3，最后选择U3中与当前特征边的夹角最小的边作为特征边加入到E1中，并将其作为当前特征边，继续寻找与当前特征边的尾结点的坐标相同的特征边，方法同上类似，直到形成首尾相连的封闭特征边界为止，转到Step1。

3 实例分析

采用Visual C++ 6.0编程及OpenGL图形函数库在SP3 1.60 GHz CPU和1.60 GB内存的PC上实现了本文的算法，还实现了文献[10,14]的特征边的提取算法，并将其与本文的算法进行比较，如图5-图8所示，同时在计算效率方面对3种算法进行了比较，如表1所示。在特征边提取效果方面，从图5中的所标记的黑色线圈的比较可以看出，文献[10]的特征边提取算法无法识别并提取对应周长比值小于阈值的隐性特征边，文献[14]无法提取过渡曲面的特征边界。从图6和图7可以看出，文献[10]的算法无法提取完整的特征边，对过渡曲面边界处的二面角较小的隐性特征边的识别能力较弱。 从图8中黑色线圈放可以看出，文献[10,14]提取的特征边不准确，存在冗余特征边。而在计算效率方面，由表1可得出本文算法在计算效率方面有所提高，特别是在网格模型规模较大的时候。综上所述，本文特征边的提取算法弥补了文献[10,14]的特征边提取算法的不足之处，更具有健壮性，同时计算效率也有所提高。

图5 模型1的3种特征边提取算法的比较

图6 模型2的3种特征边提取算法的比较

图7 模型3的3种特征边提取算法的比较

图8 模型4的3种特征边提取算法的比较

模型三角面片数文献[10]文献[14]本文算法14960.1280.0320.02921080.0290.0140.013313360.4230.0760.06444955014.6743.7422.389

4 结 语

本文改进了文献[10]基于二面角并结合周长比实现特征边的提取算法以及文献[11]断点处特征边的提取算法，提出了一种新的采用基于边和基于面的特征边二次提取算法。算法不仅能够准确地识别二面角较小的过渡曲面边界处的隐性特征边，还能提取完整的特征边界，弥补了文献[10]无法提取过渡曲面边界以及文献[11]对于带状过渡曲面特征边界断点处提取特征边易失效等算法的不足，具有很好的鲁棒性。另外，在第二次基于面的特征边提取过程中并不需要遍历所有的三角形面片来得到各顶点的曲率，效率有所提高，程序复杂度降低。

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ANALGORITHMFOREXTRACTINGFEATUREEDGEOFSTLTRIANGULARMESHMODEL

Wang Junhui Chen Xing*Deng Yiming

(FacultyofMechanicalEngineeringandMechanics,NingboUniversity,Ningbo315211,Zhejiang,China)

As it is hard to recognize feature edges of the free-form surface from STL model, a method of extraction of feature edges is proposed. At first, using edge-based method, the threshold value of the dihedral angle was computed adaptively, and the explicit feature edge was identified accordingly. Secondly, using the least squares method, the approximate curvatures of triangles were obtained according to the computed average curvatures of vertexes. The feature edges were then determined in terms of the curvature difference of adjacent triangles with the implicit feature edge. Finally, a complete feature edges were generated by using an improved algorithm for extracting feature edges at the breakpoints. Experimental results demonstrate that the proposed method can effectively extract the feature edges of free-form surface from STL model, which has good robustness.

STL model Triangle mesh Feature extraction Dihedral angle Average curvature

TP391.41

A

10.3969/j.issn.1000-386x.2017.10.050

2017-01-10。宁波大学研究生科研创新基金资助项目(G16069)。汪俊辉，硕士生，主研领域：材料成型CAD/CAE。陈兴，副教授。邓益民，教授。