半群的闭合性

摘要：本文对半群的闭合性进行了讨论，得到如下结论：如果半群S中的任意导矢元都有其对应的正后生成因子，并且每个因子都带有伴随开立元，半群S为可交半群，有一个失离性得到满足，任意子半群都具有正先性，并且满足主换向降链条件，或者设半群S为可清源半群，存在S的子半群H，使得H可分解为正则子半群的失离稳积，则半群S为一个闭合半群.

关键词：闭合性；半群；正先性；降链条件

中图分类号：O152.7文献标识码：A

本文将讨论关于半群闭合性的几个问题。

定义：设T为半群S的任意一个子半群，如果对T进行有限次的可归变换，使T可变换为一个超临界子半群，且如果a在这一系列变换中始终保持其定则性不变，则称半群S为一个闭合半群。

定理1：如果半群S为可交半群，有一个失离性得到满足，任意子半群都具有正先性，并且满足主换向降链条件.S中的任意导矢元都有其对应的正后生成因子，并且每个因子都带有伴随开立元，则半群S为一个闭合半群。

证明：由于半群S为可交半群，则对S的任意正交元a都至少有一个伴随元b，使得ab成为S的一个可交子半群的成子元。设这个可交子半群为I，则I中必有相合子半群，并且相合子半群的幂等元具有正交性.另，有一个失离性得到满足，从而半群S的任意一个正向子半群H中的幂等元具有正交性.设I∩H=K，则a，b∈K，有ab为正交元，从而S中的可正子半群R，abR。

所以K为半群S的一个可归变换的相伴子半群。而S中的任意导矢元都有其对应的正后生成因子，并且每个因子都带有伴随开立元，设T为半群S的任意一个子半群，则对T进行有限次的可归变换，T可变换为一个超临界子半群。a∈T，显然 a在这一系列变换中始终保持其定则性不变，因此半群S为一个闭合半群。

定理2：設半群S为可清源半群，存在S的子半群H，使得H可分解为正则子半群的失离稳积，S中的任意导矢元都有其对应的正后生成因子，并且每个因子都带有伴随开立元，则半群S为一个闭合半群。

半群S为可清源半群，又由于S中的任意导矢元都有其对应的正后生成因子，并且每个因子都带有伴随开立元，故可设导矢元p的对应的正后生成因子为q，则q为S中的成交元.又由于存在S的子半群H，使得H可分解为正则子半群的失离稳积，S中的任意导矢元都有其对应的正后生成因子，所以由降链条件知，正向元p、q存在对应的正后生成因子.设T为半群S的任意一个子半群，如果对T进行有限次的可归变换，使T可变换为一个超临界子半群，则a∈T，a在这一系列变换中始终保持其定则性不变.下面证明设T为半群S的任意一个子半群，如果对T进行有限次的可归变换，使T可变换为一个超临界子半群。

因为半群S为可清源半群，所以有正向子半群存在内向性，S1，S2，…Sn是存在内向性的正向子半群，由于S1，S2，…Sn的内向性可以导向一列符合降链条件的子半群.由此可以定义S中的密链运算，使得该运算满足超临界条件，因为S为可清源半群，所以S1，S2，…Sn是半群S的正向元集，由于每个因子都带有伴随开立元，所以

参考文献：

[1]马晨江.半群环的主理想升链条件问题[J].三峡大学学报，2005，27（1）：9192.

[2]马晨江.关于半群的原单集[J].科技研究，2014， 1：578.

[3]Howie.J.M，An Introduction to Semigroup Theory[M].Acedemic Press Inc.（London），1976.

[4]Ponizovskii.J.S，Semigroup rings[J].Semigroup Forum，1987（36）：146.

作者簡介：马晨江（1965），男，硕士，讲师。