高中数学与大学数学的内容衔接与思维方式转变

耿玉倩

摘要：本文以函数和反函数、导数和微分、一元函数和多元函数为例，分析了高中数学与大学数学的内容衔接问题，重点解释了背后所隐含的思维方式的转变。主要观点有三：判断两个函数是否互为反函数关键看对应规则是否互逆，与用什么符号来表达变量无关；导数反应了原来函数的变化率，微分的实质则是改变量的线性主部，两者是“率”与“量”的关系；从一元函数到多元函数的转变，蕴含着丰富的点、线、面这一数学抽象思维。

关键词：高中数学学习；经济管理数学；知识衔接

高中数学课程内容在很多方面与大学高等数学的内容是重合的[1]，我们高中生在紧张学习之余，翻阅一下大学数学的相关教材，了解两者之间的内容差异，思考一下两者的衔接问题，无论对于学好当前课程，还是未来在大学继续深造相关专业（数学、物理、信息、经济管理等）都是大有益处的。

本文以冀教版数学教材和经济管理类微积分教材为例，从三个关键点入手，探讨两个阶段数学课程学习的差异，重点提出在这两个阶段的数学学习中相关思维方式的转变问题，这是本文的主要意图。

一、关于反三角函数的内容衔接：反函数的再认识

大学阶段的微积分课程的研究对象为函数，主要利用极限、导数等工具对一元函数和多元函数的微分和积分问题进行学习。高中阶段对函数并不陌生，主要学习了函数定义、定义域和值域、单调性和对称性、图形和最值等知识。这些知识有些在大学阶段是重复的，但是，还有中学阶段没有涉及到的，比如反三角函数、三角函数的和差化积公式、函数周期等[2]。

以反函数为例，高中讲了什么是反函数，反函数与原来函数的图形关系。但是，在大学阶段的学习中还要涉及到反三角函数等知识点，这是高中阶段没有接触到的[3]。这可能会造成部分同学的学习困难，建议先对反函数的概念深入挖掘，借助反函数的定义，对Y=X+3（函数①）、X=Y3（函数②）以及Y=X3（函数③）进行认真研析，发现以下规律：函数①和函数②之间，互为反函数、图像相同；函数②和函数③之间，函数相同、图像关于Y=X对称；函数①和函数③之间，互为反函数、关于Y=X对称。

这也就意味着，一个函数与另外一个函数是否互为反函數，关键是要看对应规则是否互逆，与用什么符号来表达自变量、因变量没有关系！之所以存在普遍认识上的函数与它的反函数关于Y=X对称，根本原因在于从函数②到函数③的变化中，我们互换了自变量和因变量的符号，而函数关系并没有改变！学习大学微积分课程时，可以先以函数y=sinx为例，在上述思维方式的指导下，把它与x=arcsiny、y=arcsinx的关系弄清楚了，然后再进一步学习其它反三角函数。

二、关于导数和微分的内容衔接：导数和微分关系的深入认识

高中数学中我们学习导数的定义和简单计算公式，导数的实质是：因变量与自变量两个改变量的比值，在自变量改变量趋于零的变化中的极限问题。导数y′实际上是平均变化率的逼近值，是瞬时变化率问题，它反映在图像上，就是函数曲线在对应点上的切线斜率问题。这些问题，通过对高中导数知识的深入思考是很容易理解的。

大学课程在以上知识点的基础上，增加了微分的知识。通过分析大学微积分教材对微分的定义可以发现，微分dy是函数改变量Δy的线性主部，它实质上是“量”的问题，它把是Δy的主要部分和近似表达。

在一元函数的研究中，导数和微分存在等价关系，它们互为充分必要条件。实际上，两者的关系是“率”和“量”的关系，这从公式dy=y′Δx中可以清楚的看出，函数的微分（Δy的近似值）等于变化率乘以自变量改变量，尽管计算微分时要借助导数计算，但两者存在本质性的差别。如果无法理解这一点，很容易造成前后知识学习的混乱。

三、关于一元与多元函数的内容衔接：点、线、面思维方式的形成

高中阶段对函数的学习，仅限于一元函数，而大学微积分课程中出现了多元函数微积分的内容。这里边实质上蕴含着数学学习中点、线、面的抽像思维。点是没有长度的，无数个不同的点连续在一起，就有了长度；一条直线是没有面积的，但无数条直线连续地并排在一起就有了面积问题；一个平面是没有体积的，但无数个平面连续地累积在一起，就有了体积。从一元函数到多元函数的转变，其图像实际上是“从线到面”的一种转化。

结合数学定积分定义中微元法“分割、以直代曲、求和、计算极限”的思路，可以理解一元函数定积分实际上是被积函数对应的曲边梯形面积问题，这也是一种“从线到面”的转变。我们沿着这种思路，二元函数的双重积分也就是被积函数曲面对应的曲顶柱体的体积问题，是典型的“从面到体”的转变。

參考文献：

[1]宋春雨.浅谈经济管理类数学课程与高中数学课程的衔接[J].科技风，2017（02）：208.

[2]袁利国，等.高等数学与高中数学的衔接比较研究[J].大学教育，2016（11）：4043.

[3]童雯雯.高等数学与高中数学的衔接[J].高等数学研究，2014（05）：3437.