史密斯经济增长与货币政策综合模型的稳定性分析

蔺小林, 李小敏

(陕西科技大学 文理学院, 中国 西安 710021)

史密斯经济增长与货币政策综合模型的稳定性分析

蔺小林, 李小敏

(陕西科技大学 文理学院, 中国 西安 710021)

运用矩阵理论,对经济控制理论中的史密斯经济增长与货币政策综合数学模型进行了定性研究.通过求该数学模型的特征值和特征向量，获得模型各个变量的稳定性态，得到了判定模型平衡状态全局渐近稳定的一些重要结论.即当该经济模型特征方程的谱半径小于1时，模型平衡状态全局渐近稳定.同时，通过具体的数值实例，满足特征方程的谱半径小于1，验证了该经济最终趋于全局渐进稳定的结论的正确性.

史密斯模型； 货币政策； 稳定性

Abstract:By using the matrix theory,this paper discusses the qualitative properties of model of Smith economic growth and monetary policy model.Computing the eigenvalues and eigenvectors,we are obtained the stability of the model.Further,we gave some important resultsto judgment model equilibrium for global asymptotic stability.When the spectral radius of the characteristic equation of the economic model is less than 1,the equilibrium state of the model is globally asymptotically stable.Finally,a numerical example is given to satisfy the spectral radius of the characteristic equation less than one,which verifies the correctness of the conclusion that the economy eventually tends to be globally asymptotically stable.

Keywords:smith model； monetary policy； stability

0 引言

考虑到一个国家或者地区的宏观经济，著名经济学家凯恩斯(Keynes)建立了宏观经济模型，然而该经济模型是一种静态的宏观经济模型，不能完全反映现实的经济情况.萨缪尔森(Samuelson),希克斯(Hicks)和史密斯(Smith)等经济学家在此基础上进行了更深入的研究，建立了各种动态宏观经济模型.但是，这些模型均未考虑货币政策因素对经济增长的影响.因此，经济学家史密斯在希克斯模型的基础上，引入了货币政策因素，得到了“经济增长与货币政策综合模型”，该模型着重讨论了货币政策对宏观经济的影响.

特征值是线性代数中的一个重要内容,其较普遍地应用于研究线性经济模型的经济增长的均衡性.从经济意义上说,特征值可以看作各个变量稳定的发展速度.本文参考了文献[1]中的研究方法，并对文献[1]中所用的方法进行了修正和补充；文献[2]主要研究了菲利普斯曲线与货币政策目标选择，即失业、物价和经济增长的货币政策目标选择.经济增长是经济理论的焦点,也是货币政策调控的重点；本文通过对史密斯经济增长与货币政策综合模型解的特征及稳定性的分析研究，对比文献[3]中提到的经济增长与货币政策的综合模型，补充了文献[3]中的不足；作为与财政政策并驾齐驱的国家宏观调控政策之一，货币政策由于其对经济具有财政政策不可替代的总体影响和短期微调的特点，并随着我国市场经济体制的建立，其作用愈来愈大，对经济的影响相当巨大.因此，文献[4]和[5]对经济增长动因、货币政策、资产价格与经济增长的波动溢出效应给出了理论解释和效应分析.

关于货币政策、股票市场价格以及经济增长之间的关系，也有少数学者进行过研究.文献[6]以我国股票市场为研究对象，认为股票资产价格的上涨及波动受到经济及各项制度变革的基础性影响外，还受到以货币政策为代表的一系列宏观经济政策调控和政府针对证券市场自身的股市政策调控的影响.从增长率的分析表明，我国股票市场经过十几年的发展，已经逐渐成为经济发展的晴雨表.从波动性的分析表明，央行货币政策可以不直接干预股票市场，可以通过货币政策调控经济增长，从而起到间接调控股票市场资产价格的作用；文献[7]介绍了宏观经济学的基本知识；运用文献[8]和[9]中MATLAB理论知识进行运算和数值模拟，得出模型稳定判别的一些重要结论；文献[10]和[11]是关于经济学基本理论的介绍；文献[12-16]主要是差分方程相关知识的介绍，其中主要运用差分方程理论分析求解经济学实例，通过对差分方程理论和结论的引用和参考，分析文中经济学模型解的特征，从而得到全局渐进稳定的结论.

由于西方经济学和我国经济学有一定差距，通过参考一些外文文献，例如文献[17-22],对本文所涉及的经济学问题进行更好的说明.文献[17]论述了财政政策对外商投资的影响；文献[18]和[19]讨论了通货膨胀对经济增长的影响；文献[20]讨论了金融危机及经济案例分析；文献[21]论述了政治问题对经济增长的影响；文献[22]讨论了公共债务政策对经济增长的影响.本文通过对有关经济学及差分方程理论类文献的参考和引用，很好地分析了本文中货币政策对经济增长的影响.最后，运用MATLAB软件对文中模型进行运算和数值模拟，得出文中模型稳定判别的重要结论.

1 史密斯经济增长与货币政策综合模型

考虑一个国家或地区的宏观经济，著名经济学家凯恩斯(Keynes)建立了如下宏观经济模型：

其中，a为基本消费水平，b为边际消费倾向.凯恩斯模型是一种静态宏观模型，不能完全反映经济现实，萨缪尔森(Samuelson)等经济学家在此基础上进行了更深入的研究，建立了各种宏观经济模型.1970年诺贝尔经济学奖获得者萨缪尔森教授对上述凯恩斯模型作了三点改进：一是将总消费、总投资中的公共消费、公共投资区分出来，作为新的经济总量，即政府支出，引入了均衡条件；二是将消费函数改为动态情形，三是增加了投资函数，得到如下经济模型：

许多著名经济学家建立并提出某一地区宏观经济模型，然而却鲜有将货币政策引进经济增长的综合模型；在其他条件不变的情况下，货币供给的增加将提高总需求，但这种总需求的增加并不一定使产出和就业增加，而可能只是导致通货膨胀.由美国经济学家史密斯提出的一种货币供应理论模型，它综合反映了金融资产供求状况的变动.史密斯模型也说明了货币以外的金融资产，即非货币金融资产的供求变动在货币供给量的决定中具有重要的地位.以下即为史密斯经济增长与货币政策综合模型.

在宏观经济模型的基础上，引进货币政策，就可以得到史密斯经济增长与货币政策综合模型.若用Yt,Ct,It和Gt分别为t期国民收入、个人消费、个人投资和政府支出；Rt为t期利率，Ht为t期货币需求量，Mt为t期货币供给量，则史密斯经济增长与货币政策综合模型为：

(1)

式(1)中：参数b、k、c、h、d、e、j均为正的实常数，b为边际消费倾向，k为投资加速数，c为投资减速数，h为货币供需差对利率的影响系数，d为货国民收入对货币需求量的影响系数，e、j为利率对货币需求量的影响系数.由式(1)消去Ct、It、Ht，可得关于Yt、Rt的差分方程组：

(2)

(3)

若令x1(t),x2(t),x3(t)为状态变量，且记x1(t)=Yt-2,x2(t)=Yt-1，x3(t)=Rt-1,令u1(t),u2(t)为控制变量，且记u1(t)=Gt,u2(t)=e-Mt-1，令y1(t),y2(t)为输出变量，且记y1(t)=Ct,y1(t)=It，则由式(2)和式(3)可得状态空间模型为：

(4)

式(4)中：

x(t)=(x1(t),x2(t),x3(t))T，

u(t)=(u1(t),u2(t))T，

y(t)=(y1(t),y2(t))T

分别为状态向量、控制向量和输出向量.

2 史密斯经济增长与货币政策综合模型的稳定性分析

(5)

设式(5)有特解或平衡状态：Yt=Ye,Rt=Re，代入式(5)可得：

式(5)状态方程的特征方程为：

P(λ)=|λI-A|=λ3+(jh-1-b-k)λ2+

(b+2k-bjh-kjh+cdh)λ+kjh-k=λ3+

a1λ2+a2λ+a3

(7)

其中：a1=jh-1-b-k,a2=b+2k-bjh-kjh+cdh,a3=kjh-k,根据Jury判据的推论，式(5)平衡状态全局渐近稳定的充要条件是：

(8)

即有

(9)

由于00，因此上式中第一个式子显然成立，故式(5) 平衡状态渐近稳定的充要条件为各系数满足式(9)中后两个不等式.由此，我们得到如下结论：

定理1史密斯经济增长与货币政策综合模型(4)的平衡状态全局渐近稳定的充要条件为以下两个不等式同时成立：

(1)(1+b)(2-jh)+2k(1-jh)+cdh>0；

(2)(1+kjh-k)(1-kjh+k)>|(bk-b+

k+k2-kjh)jh+(b+k)(1-k)+cdh|.

3 史密斯经济增长与货币政策综合模型解的运动特征

在讨论史密斯经济增长与货币政策综合模型解的运动特征之前，我们先给出如下引理.

引理1对于定常离散动力系统x(t+1)=Ax(t),其中，x∈Rn，如果矩阵A的谱半径ρ(A)<1，则该系统的平衡点渐近稳定，如果矩阵A的谱半径ρ(A)>1，则该系统的平衡点不稳定.

根据引理1，结合Jury判据，对系统(4)从特征方程谱半径出发，就可以获得解的运动状态，进而得到系统全局渐进稳定的另一个充分性条件如下：

定理2对系统(4)，当正的实常数b、k、c、h、d、e、j满足下列四个条件之一时，系统的平衡点是渐近稳定.

(1)D=E=0，并且|a1|<3或者|a2|<

|a1|或者|3a3|<|a2|；

(4)E2<4DF，并且|Da1-E|<|D|，

|E|<2|D|.其中：

a1=jh-1-b-k,a2=b+2k-bjh-kjh+cdh,

a3=kjh-k,D=a12-3a2,E=a1a2-3a3,

F=a22-3a1a3

证明：根据离散动力系统的稳定性理论，我们来分析式(5)特征根的情况.式(5)的特征方程为：

|λI-A|=λ3+a1λ2+a2λ+a3=0

(10)

对应特征向量α1、β1、γ1.于是，方程(5)的解为：

(11)

式(11)中：a1,b1,c1为任意常数并由初值确定.由式(11)可知，当：

①|λ0|<1时，该解是非周期波动，渐近稳定的；

②|λ0|≥1时，该解振荡，不稳定.

(2)当Δ=E2-4DF>0时，方程有个实数根和两个共轭虚根：

r(cosω+isinω),

r(cosω-isinω),

其中：

r=

三个特征值对应特征向量分别为α2、β2、γ2，于是，方程(5)的解为：

(12)

式(12)中a2、b2、c2为任意常数并由初值确定.由式(12)可知，当

①|λ1|<1,0

②|λ1|<1,r=1时，该解减幅振荡，临界稳定；

③|λ1|=1,r=1时，该解等幅振荡，临界稳定；

④|λ1|>1或r>1时，该解振荡，不稳定.

(3)当Δ=E2-4DF=0时，方程有三个实数根，其中一对为重根：

其中：

三个特征值对应特征向量分别为α3、β3、γ3，于是，方程(5)的解为：

(13)

式(13)中：a3、b3、c3为任意常数并由初值确定.由上式可知，当

①|λ1|≤1,|λ2|=|λ3|<1时，该解是非波动，渐近稳定；

②|λ1|>1或|λ2|=|λ3|≥1时，该解振荡，不稳定.

(4)当Δ=E2-4DF<0时，方程有三个相异实数根：

三个特征值对应特征向量分别为α4、β4、γ4，于是，方程(5)的解为：

(14)

式(14)中：a4、b4、c4为任意常数并由初值确定.

由式(14)可知，当

①|λ1|≤1,|λ2|≤1,|λ3|≤1时，该解是非波动，渐近稳定的；

②|λ1|>1或|λ2|>1或|λ3|>1时，该解振荡，不稳定.

由(1)～(4)证明可知，P(λ)=0(即A的特征多项式)的根全在复平面单位圆内，(即|λ1|<1,i=1,2,3)，则称P(λ)为稳定多项式或A为稳定矩阵，此时系统(5)为稳定的.

一般地，根据引理1，对于给定离散时间定常线性系统：x(t+1)=Ax(t),如果Pn(λ)=0(即A的特征多项式)的根全在复平面单位圆内，(即|λi|<1(i=1,2,3,…,n) )，则称Pn(λ)为稳定多项式或A为稳定矩阵，此时系统称为稳定系统.

系统的稳定性问题是控制论研究的重要课题之一，因为任何一个实际系统在运行过程中的稳定状态，是该控制系统能否实现控制目标的重要因素.如果事前已经知道控制系统的稳定性态或者满足稳定性态的一些条件，就可以提前采取措施，改善系统状态的稳定性.“供给、需求、均衡、增长、发展”是经济学最基本、最核心的研究课题.本文通过对史密斯经济增长模型的稳定性分析，得到无论国民收入、利率、个人投资、收入、货币供需等的初始值为多少，只要它们的影响系数满足一定的条件，它们最终都可以趋于平衡状态.

4 数值例子

(1)Y0=Y1=26,R1=26;

(2)Y0=Y1=20,R1=20;

(3)Y0=Y1=16,R1=16;

代入模型中可得特征值：

λ1=0,λ2=0.5-0.670 8i,λ3=0.5+0.670 8i,

对应特征向量：

α1=(-0.75,0,1);

α2=(1,0.500 0+0.670 8i,1);

α3=(1,0.500 0-0.670 8i,1);

在此条件下，容易计算得平衡点为：

(Ye,Re,Ce,Ie)=(23.714 3,21.714 3,14.228 6,-6.514 3) ，

则

lisin0.930 9t)α2+(kicos0.930 9t-

当取三组不同初始值时:

(1)k1=l1=13;

(2)k2=l2=10;

(3)k3=l3=8.

代入系统，并用MATLAB软件画出国民收入Yt、利率Rt、个人消费Ct以及个人投资It和时间t的关系如图1～4所示.

图1 国民收入Yt和时间t的图示

图2 利率Rt和时间t的图示

图3 个人消费Ct和时间t的图示

图4 个人投资It和时间t的图示

从图1～4可以看到，即使初始值不同，但是随着时间的推移，该模型在平衡状态总是全局渐近稳定.在经过一段时间后，国民收入Yt、利率Rt、个人消费Ct和个人投资It分别稳定到平衡状态Ye、Re、Ce和Ie.

在实际问题中，个人投资和利率均为正.而在图1中对国民收入求均衡点时假设了条件Yt-1=Yt=Ye，则出现了个人投资与利率符号相反，即一正一负，然而实际经济问题中，两期国民收入之间会有一个差值，这样就不会出现不符合实际意义的情况.所以，由于本文均衡条件的选取，导致利率均衡时投资出现负值，这个没有关系.在实际问题计算中，两期国民收入一般会有一个差值，这样计算出利率和投资就可以均为正.因此，在实际计算中，可将两期国民收入实际差值代入方程求解.

5 结论

本文主要对史密斯经济增长与货币政策综合模型进行了研究，分析了模型的稳定性并得到解的运动状态，给出判断系统稳定性的结论，丰富了文献[4]的结论.不仅在理论上给出系统式(4)运动状态性质的严密证明，而且用数值例子对经济现象进行了解释，数值例子也表明结论的正确性，通过MATLAB软件，绘制其数值解的图形，使得理论结果一目了然.

[1] 陶为群,陶 川.马克思经济增长模型中的特征值及其理论蕴涵[J].经济评论,2011,169(3):5-11.

[2] 王书华.失业、物价和经济增长——中国的菲利普斯曲线与货币政策目标选择[J].唐山学院学报,2007(1):82-87.

[3] 龚德恩.经济控制论[M].北京：高等教育出版社，2009.

[4] 付岱山,王 赫.中国经济增长的动因——基于AD-AS模型的理论解释与事实分析[J].沈阳工业大学学报(社会科学版),2012,20(4):289-300,321.

[5] 唐瑞颖.货币政策、资产价格与经济增长的波动溢出效应——基于MGARCH-BEKK模型[J].科技广场,2016,175(6):116-120.

[6] 周 晖.货币政策、股票资产价格与经济增长[J].金融研究,2010,356(2):91-101.

[7] 曼 昆.宏观经济学[M].7版.北京:中国人民大学出版社,2011.

[8] 王 晶.经济控制论:理论、应用与MATLAB仿真[M].北京:科学出版社,2008.

[9] 张德丰.Matlab数值分析与应用[M].北京：国防工业出版社,2007.

[10] Uwe Hassler,D.N.Dejong,C.Dave.Structural macroeconometrics[J].Journal of Economics.2008,94(1):99-101.

[11] 多恩布什.宏观经济学[M].6版.北京：中国人民大学出版社,1997.

[12] 赵良鹏.几类高阶差分方程的振动性[D].太原：山西大学,2015.

[13] 刘万平.几类高阶非线性差分方程的稳定性及应用[D].重庆：重庆大学,2014.

[14] 安 静.几类差分方程解的渐近性[D].曲阜：曲阜师范大学,2013.

[15] 刘德龙.浅谈差分方程常数线性系统在动态经济分析中的应用[J].经济研究导刊，2011,141(31):5-12,88.

[16] 邓志颖,潘建辉,沈世云.差分方程在数学模型中的应用[J].科技信息,2011,376(20):432-433,435.

[17] Magdalena Rădulescu,ElenaDruica.The impact of fiscal policy on foreign direct investments.Empiric evidence from romania[J].Economic Research-Ekonomska Istraživanja,2014,27(1): 593-614.

[18] Robert Pollin,Andong Zhu.Inflation and economic grow-th:A cross-country nonlinear analysis[J].Journal of Post Keynesian Economics,2006,28(4):10-35.

[19] Joseph Mawejje,Musa Mayanja Lwanga.Inflation dynamics and agricultural supply shocks in Uganda[J].African Journal of Eco-nomic and Management Studies,2016,7(4):86-106.

[21] ElžbietaKawecka-Wyrzykowska.Enhanced economic governance in the EU:Alternative to a political union?[J].International Journal of Management and Economics,2013,37(1):547-567.

【责任编辑：陈佳】

Thestabilityanalysisofsmith′seconomicgrowthandmonetarypolicy

LIN Xiao-lin， LI Xiao-min

(School of Arts and Sciences， Shaanxi University of Science & Technology, Xi′an 710021, China)

2017-05-08

陕西省科技厅重点实验室科技计划项目(2011HBSZS014)； 陕西科技大学学术团队计划项目(2013XSD39)

蔺小林(1961-)，男，陕西洛川人，教授，博士，研究方向：离散动力系统稳定性理论及应用

2096-398X(2017)05-0194-06

O231.1

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