从几何直观到逻辑推理——例谈数学核心素养的培养

☉华中师范大学数学与统计学学院 沈晓凯

☉华中师范大学数学与统计学学院 胡典顺

从几何直观到逻辑推理
——例谈数学核心素养的培养

☉华中师范大学数学与统计学学院 沈晓凯

☉华中师范大学数学与统计学学院 胡典顺

一、引言

“注重培养学生的几何直观”是进入新世纪以来数学教育的热点话题之一，《普通高中数学课程标准（实验）》［1］明确提出：培养和发展学生的空间想象能力、推理论证能力、运用图形语言进行交流的能力以及几何直观能力，是高中阶段数学必修系列课程的基本要求.数学是一门可以通过直觉学习和理解的学科，在数学的教学和学习中，培养学生的观察能力和几何直观能力十分重要.数学是思维的体操，数学新知获取的过程可以概括为八个字：大胆猜测，小心论证.大胆猜测即是从几何直观上猜测对象与对象之间的关系，小心论证则是对猜测的结果进行严格的逻辑推理，这是数学思维方式的特点.那么如何在平时的教学过程中落实和培养学生的几何直观与逻辑推理能力，这是作为数学教师必须思考的一个问题.本文以2017年武汉市“高三数学四月调考”中的一个圆锥曲线题目为例，阐述教师在讲解题目的过程中应该如何引导学生对问题进行探究，激发学生的探索兴趣，从而培养学生的几何直观和逻辑推理能力，提高学生的数学核心素养，提升学生的创新能力.

二、问题展示

已知圆O：x2+y2=1和抛物线E：y=x2-2，O为坐标原点.过抛物线E上一点P（x0，y0）作两直线PQ、PR与圆O相切，且分别交抛物线E于Q、R两点，若直线QR的斜率为求点P的坐标.

这是笔者在某重点高中讲课时遇到的一个调研考试题目，下面简要叙述师生共同对该问题探究的过程.

师：这个题目突破了圆锥曲线一直以来分为两小问，第一问求轨迹方程，第二问求最值、定点、定值或线段长度等这一类型，而是将其分成两个不相关的小题，这是其中的第二小题，下面我们一起来分析和探讨一下这个题目.

师：首先，经过我们的分析发现，这两条直线的斜率都是存在的（如果其中一条直线的斜率不存在，则与抛物线不存在两个交点）.所以可设直线方程为y=k（xx0）+y0，因为直线与圆O：x2+y2=1相切，则O点到直线的距离等于半径1，即.整理可得，即②（其中，k1，k2为PQ、PR的斜率），如图1所示：

图1

三、问题探究

师：对于这个问题的具体分析我们就说到这里.下面我们再回到图1，来研究一下这个图隐藏着什么信息.同学们，请你们仔细观察图1，告诉老师你们发现了什么？

学生们认真观察图1，仔细探究问题，并踊跃作答.

（1）对问题提出猜想

生1：老师，我觉得图1中的直线QR可能也与圆O相切，也就是说圆O可能是三角形PQR的内切圆.

（2）用特殊点验证猜想

生2：我同意生1的想法，并找了一个特殊点进行验证.取特殊点P（0，-2），根据PQ、PR与圆相切求得斜率k1，

k2，并求得，可知QR与圆O相切.

师：嗯.很好！那同学们再想一想，是否只存在个别特殊点满足该性质，还是说对抛物线上所有的点（除x0=±1外）都满足这个性质呢？

（3）几何直观探索问题

生3：老师，我借助几何画板进行探索发现，抛物线上所有的点（除x0=±1外）都满足这个性质.

师：好，那请你上来给同学们演示一下.

下图是生3的几何画板演示图，如图2所示：

图2

生3：首先在几何画板中画抛物线y=x2-2的图象，并在抛物线上任取一点P，过P点作圆O的切线交抛物线于Q、R两点，连接Q、R，过O点作QR的垂线交QR于点A，测得OA的长度为1cm.当P点跑遍抛物线上（除x0=±1外）的每一点时，始终能保持OA的长度为1cm等于半径的大小，所以可以得出直线QR与圆O始终相切.因此，我们可以得出结论：过抛物线y=x2-2上（除x0=±1外）的任意一点作圆O：x2+y2=1的切线，切线交抛物线于Q、R两点，连接这两点的直线始终与圆O相切.

（4）逻辑推理证明问题

生4：生3的方法很直观，利用几何画板从动态的、直观的角度给我们生动形象地展示了直线QR始终与圆O相切这一性质.但是从数学的严谨性角度看，这一几何直观呈现过程不能算是严格证明，所以我从代数的角度对此猜想进行了证明，证明得到的结果与生3的结论一样，下面给出我的证明思路和过程.

证明思路：要想证明过抛物线上（除x0=±1外）的任意一点作圆O的切线，切线交抛物线于Q、R两点，连接这两点的直线始终与圆O相切.只要证明圆心O到直线QR的距离等于半径即可.

证明过程：由上述解答过程可知，kQR=k1+k2-2x0，Q（k1-x0，（k1-x0）2-2），可将直线设为y=（k1+k2-2x0）（x-k1+x0）+（k1-x0）2-2，经过化简得直线的一般方程为（k1+k2-由点到直线的距离公式知：

所以，过抛物线y=x2-2上（除x0=±1外）的任意一点作圆O：x2+y2=1的切线，切线交抛物线于Q、R两点，连接这两点的直线始终与圆O相切.

同学们还在为抛物线的这一性质感到神奇，这时，下课铃声响了，教师对这节课的探讨进行了总结.

师：嗯，几位同学回答的都很好，也掌握了我们学习数学的基本规律：大胆猜想，小心论证.既从几何直观上找到了对象与对象间的关系，又从代数的角度严谨地证明了这一猜想，经过我们的探索，证明了当a=2，r=1时，直线QR始终与圆O相切.但这个问题还有探究下去的价值，课后请同学们再接着探索这样一个问题，对于任意给定的y=x2-a（只考虑a大于0的情形），是否存在圆x2+y2=r2，当a和r满足一定的关系时，也能使直线QR始终与圆O相切呢？

四、问题推广

伴随着上课铃声，到了第二天的数学课，经过课下的认真研究后，同学们心里都有了答案.

（1）几何直观探究解的存在性

生5：老师，对于您昨天提的问题，我一开始不敢直接去推理证明，所以我先借助了几何画板去探索除了a=2，r=1这种情况外，是否还存在这样的a和r？虽然不能得到a和r之间的确切关系，但可以从几何直观上判断这样的a和r是否存在，如果存在，那我就有动力去探索它们之间确切的关系.

于是生5上讲台借助几何画板进行演示.

生5：我先固定a=4，在几何画板中画出y=x2-4的图象，再用线段FG控制圆O的半径r的大小.（其余步骤与生3类似，在此不再赘述.）要证明除了a=2，r=1这种情况外，是否还存在其他的a和r，只要证明当a=4固定时，圆心O到直线QR的距离OA是否能等于半径r即可.

这是在探索过程中截的两副图，图3、图4两图能说明当a=4时，存在这样的r使得直线QR与圆O相切.当我再进一步移动G点的位置时，可以出现这样的情况，如图5所示.

图3

图4

图5 很直观的显示出当a=4，r≈1.56时，过抛物线上（除x0=±r外）的任意一点作圆O的切线，切线交抛物线于Q、R两点，连接这两点的直线始终与圆O相切.图5进一步说明了这样的a和r是存在的.

图5

（2）逻辑推理探索a和r的关系式

师：生5的想法很棒，也很好地说明了a和r的存在性.那其他同学有没有确切地探索出来了a和r所满足的关系式.

生6：老师，我探索出了a和r的所满足的关系式，即a=r2+r时，满足直线QR与圆O相切.具体过程如下所示：

设P点坐标为（x0，y0），过点P的直线方程为y=k（x-x0）+y0，因为直线与圆O：x2+y2=r2相切，则O点到直线的距离等于半径r，即整理可得r2=0（x0≠±r），即（其中，k1，k2为PQ、PR的斜率）.将直线方程与抛物线方程联立求Q、R的坐标整理得：x2-kx+kx0-y0-a=0，则x1+x2=k，可求得Q点坐标（k1-x0，（k1-x0）2-a），R点坐标x2=k1+k2-2x0，所以得到过Q、R两点的直线方程为：y=（k1+k2-2x0）（x-k1+x0）+（k1-x0）2-a，即

由点到直线的距离公式知：

因P点的任意性可知与x0无关，所以可得：

由上式中的①可得（r2-a）2=r2，即a=r2+r或a=r2-r.在我们研究的问题中，要求圆在抛物线里面，即，得到a＞r2，所以a=r2-r舍去.将a=r2+r代入②、③均满足，即推得a和r的所满足的关系式为a=r2+r.

五、问题一般化

师：生6的推导过程相当缜密，逻辑思维能力和计算能力都很强，表现得很好.其实，这个问题如果从平移和伸缩的角度去考虑的话，我们可以探索得到对于任意抛物线，都存在圆（或椭圆）满足上述的性质.

首先我们考虑最基本的抛物线y=x2，它是由y=x2-2向上平移2个单位得到的，所以对于抛物线y=x2，存在圆：x2+（y-2）2=1满足上述性质. 所以对于形如y=x2+bx+c（b，c∈R）抛物线，满足这一性质的圆均可以由圆x2+（y-2）2=1经过上下平移和左右平移得到.

再考虑抛物线y=3（x2-2），从伸缩变换的角度考虑，即x不变，y变成原来的，同样对圆x2+y2=1作此变换，得到.经验证，过抛物线y=3（x2-2）（除x0=±1外）的任意一点P作椭圆的切线，交椭圆于Q、R两点，连接这两点的直线始终与椭圆相切，如图6所示（由于篇幅原因，具体证明过程省略）.

图6

所以通过平移和伸缩变换可以得到与任意抛物线y=ax2+bx+c存在该性质的圆或椭圆.

六、结语

在数学发展的历程中，很多数学问题的发现和解决往往依赖于几何直观.数学家总是力求把他们研究的问题尽量变成可借助于图形直观加以分析和解决的问题，使直观变成数学发现的向导.因而，借助几何直观进行思考，已经成为一种很重要的研究策略，在科学发现过程中起着不可替代的作用［2］.

由此可见，几何直观能力是学生必备的能力.教师在教学过程中因尽量使所研究的问题直观化，借助恰当的直观模型，能更有利于揭示研究对象的本质属性.教师在引导学生对一道常规题目进行探索和研究的过程中，既发现了具有推广价值的性质，又使学生的思维得到发展，更激发了学生探索数学问题的兴趣，提高了学生的数学思维水平.但几何直观本身不是目的，而是一种解决问题的手段.在几何直观化后得到的结论必须用逻辑推理加以证明，学生在进行严谨逻辑推理证明的同时，提高和发展了自身的逻辑推理能力和数学运算能力.这一探究过程很好地践行了华罗庚先生提出的“数缺形时少直观，形缺数时难入微”观点，同时也大大地提高了学生发现问题，提出问题，分析问题和解决问题的能力.

1.中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（实验）［S］，北京：人民教育出版社，2003.

2.孔凡哲，史宁中.关于几何直观的含义与表现形式——对《义务教育数学课程标准（2011）年版》的一点认识［J］.课程·教材·教法，2012，32（7）.

*全国教育科学规划教育部重点课题——TPACK视角下卓越教师培养的理论研究与实践探索（课题编号DHA150287）.