MATLAB环境下的混凝土能量损耗计算

闫东伟+汪志强+董琦

摘 要：混凝土材料在周期载荷作用下应变对应力具有一定的滞后效应，应变和应力之间存在一定的相位差，由于相位差的存在，使材料在振动过程中会产生一定的能量损耗，可以降低动力荷载带来的不利影响。本文利用MATLAB处理混凝土单轴试验条件下进行正弦波加载得到的试验数据，进行了试验数据回归，求得了应力应变滞回圈的特征参量和面积，得出了材料在不同加载频率下的能量损耗，基于正态分布假设，得到了材料的峰值频率，为混凝土材料的动力学性能研究提供参考。

关键词：滞回圈 能量损耗 MATLAB 峰值频率

中图分类号：TP311 文献标识码：A 文章编号：1674-098X（2017）07（b）-0090-03

Abstract：In the case of alternating loads， the strain has a certain hysteresis effect on the stress. There is a certain phase difference between the strain and the stress. Due to the existence of the phase difference， the material will produce some energy loss during the vibration process， which can reduce the adverse effect of the dynamic load on the vibration of the concrete material during the working process. In this paper， the experimental data of the concrete single-axis experiment under sine wave loading are analyzed by MATLAB. The experimental data are analyzed to calculate the characteristic parameters and area of the stress-strain hysteresis loop. So the energy loss of the material under different loading frequency is obtained. Based on the assumption of normal distribution， the peak frequency of the material can be found， which can provide reference for understanding the dynamic performance of the concrete.

Key Words：Hysteresis loop； Energy loss； MATLAB； Peak Frequency

材料在特定的應力作用下，可以同时表现出弹性和粘性。理想弹性条件下，材料的应力和应变完全同步，粘性条件下，应变对应力有一定的滞后，一般称之为粘滞性或滞弹性。由于材料粘滞性的存在，材料或结构会持续吸收外部输入能量并耗散部分传入的能量，由于固体内部原因使机械能消耗的现象称为“能量损耗”。在非弹性阶段，结构的稳定性主要取决于结构耗散能量的能力，即保持承载力的同时可以在荷载作用下耗散部分能量[1]，这将大大提高结构的减震能力，在结构抗震、高速铁路建设等方面发挥重要的作用。

在周期荷载作用下，材料的粘滞性会导致应变和应力之间存在一定的相位差，形成应力-应变滞回圈。结构耗散能量的能力可以用应力-应变滞回圈的面积来衡量。目前，很多研究[2-5]只是对滞回圈的面积进行了一些定性的比较，来粗略地判断耗能能力；还有一些研究为了便于计算，只是简单地将各点间用直线连接[6]，粗略计算滞回圈的面积，造成难以避免的误差。

本文主要采用最小二乘法对试验数据进行拟合，得到应力-应变滞回圈的椭圆方程，精确计算滞回圈的面积。对不同频率下的能耗进行高斯拟合，得到能耗随频率的变化规律，并得到能耗的峰值，为判断结构耗散能量的能力提供依据。

1 应力-应变滞回圈

对粘弹性材料施加一定频率的正弦波荷载，应变滞后于应力，存在一个不变的相位差。将应变与应力绘制在同一坐标曲线中，得到一个滞回圈，其面积即为材料在一个周期内的能量损耗，见图1。

应力循环中的能量损耗为体系单周应力循环的损耗功W，即外部对体系做功—体系对外部做功。滞回圈所包围的面积代表材料振动一周所产生的能量损耗。滞回圈的面积愈大，则能量损耗也愈大。滞回圈面积的大小取决于应变和应力之间的相角差，当相角差为零时，材料为理想弹性体，滞回圈的形状为一条直线，不产生能量损耗。而在一般情况下，应变和应力之间相角差不为零，相角差愈大，滞回圈面积愈大，能量损耗也愈大。

2 混凝土周期载荷试验

2.1 试验基本情况

选择钢纤维含量为2%的活性粉末混凝土试件进行单轴试验，规格为φ49.83mm×102.08mm的圆柱体，块体密度为2.39g/cm3，试样灰色，致密，表面可见少量钢纤维。为了减少岩样上下端部表面的摩擦阻力及偏心荷载的影响，对岩样两端进行打磨，保证试件两端面光滑。

在15MPa应力水平下，按应变控制进行正弦波周期载荷单轴试验。设定6种频率（0.5Hz、1Hz、2Hz、4Hz、8Hz、10Hz），加载速率为0.006mm/s，周期载荷作用变位幅值为0.1mm。

2.2 试验结果

根据周期载荷试验数据，可以绘出应力应变与时间的关系曲线，图2为4Hz条件下得到的应力应变随时间变化曲线。从图2中可以观察到应力滞后于应变，两者存在大小基本恒定相位差。可以根据试验结果计算不同频率条件下的混凝土能量损耗。endprint

3 能量损耗计算

利用最小二乘法对所得的应力-应变数据进行拟合，得到钢纤混凝土材料的滞回圈（椭圆），给出滞回圈基本参数，求出滞回圈面积，即一个振动周期内的能量损耗。一般认为，岩石类材料动态能量损耗的频率响应存在峰值频率（共振频率）[7]，本文利用MATLAB可对能量损耗-频率进行高斯拟合，得到能量损耗-频率之间的函数关系，确定了钢纤混凝土材料在周期荷载下能量损耗的峰值频率。

3.1 能量损耗求解程序代码

3.2 参数的拟合

拟合得到的椭圆参数见表1，a1～a5分别代表椭圆一般方程中x2、y2、x y、x和y项的系数。

图3为试验得到的原始数据与拟合得到的椭圆，可以看出数据点集中于椭圆曲线附近，用最小二乘法拟合的误差较小。

3.3 混凝土材料能量损耗的计算

3.4 峰值频率计算

根据表2中的数据，利用MATLAB进行高斯拟合，结果如图4所示。

4 结语

本文分析了具有粘滞性的钢纤维混凝土材料在周期载荷作用下应力应变关系的滞回特性，编制了基于MATLAB环境的能量损耗计算程序，得到了能量损耗随加载载荷频率变化的正态分布曲线并计算出了2%掺量的钢纤维混凝土的峰值頻率。本文所给的MATLAB在处理混凝土材料滞回圈的数据方法，不仅能根据所给数据拟合出椭圆的特征参数，还能精确地绘制出滞回圈的图像。通过所给特征参数对椭圆的面积进行求解，可在粘弹性材料的能量损耗研究方面得到应用。

参考文献

[1] 陈伟.基于OpenSees平台开发的混凝土滞回本构模型在结构分析中的应用[D].重庆：重庆大学，2012.

[2] 吕西林，陆伟东.反复荷载作用下方钢管混凝土柱的抗震性能试验研究[J].建筑结构学报，2000，2l（2）：2-11.

[3] 徐云扉，胡庆昌，陈玉峰，等.低周反复荷载下两跨三层钢筋混凝土框架受力性能的试验研究[J].建筑结构学报，l986（2）：l-16.

[4] 吕西林，陆伟东.反复荷载作用下方钢管混凝土柱的抗震性能试验研究[J].建筑结构学报，2000，21（2）：2-11.

[5] 陶忠，韩林海.方钢管混凝土压弯构件滞回性能试验研究[J].地震工程与工程震动，200l，21（1）：74-78.

[6] 王海生.钢纤维—型钢混凝土梁柱节点在低周反复荷载作用下抗震性能试验研究[D].湖南大学，2004.

[7] 丁中领.不同速率及周期荷载作用下岩石类材料力学特性研究[D].北京：中国矿业大学（北京），2015.endprint