中等城市学区划分最优化

裴昌萍+马文素+逯青玉

摘 要：随着城市经济的不断发展及人口变化，学生数量增加，加之家长对优质教育资源的需求，购买学区房是现行教育体制下的一个独特的现象。针对以上情况，学校周边小区学生入学应该遵循就近入学原则，用算法和矩阵、平均分配生源法来解决最优学区划分问题。参照划定的区域就近入学，结合实际情况统筹协调，对分派入学有着实际的意义。

关键词：学区划分；中等城市；就近原则；算法；平均分配

中图分类号：TU984.14 文献标识码：A 文章编号：1671-2064（2017）15-0239-02

“孩子为什么不能入读家门口的学校？”“家长购买学区房”，是现行教育体制下的一个独特的现象。随着城市经济的不断发展及人口变化，学生数量增加，又由于外来务工人员的子弟，导致城市学生数量急剧增加，上学难，入学难，就近入学更难，如何解决这一问题，是摆在政府和教育主管部门的难题。由于城市入学困难因素很多，在这里我们考虑中等城市的学区划分问题，针对学校周边小区学生入学情况，不考虑人数限制，遵循就近入学的原则，用算法和矩阵给出最优的学区划分。考虑学校尽可能平均分配生源，利用平均分配生源法来解决最优学区划分。参照划定的区域就近入学，结合实际情况统筹协调，对分派入学有着实际的意义。

在图中，如果任意两点都是连通的，那么这个图称作连通图，如果给图的每条边规定一个方向，那么得到的图称为有向图.辅助向量，它的每一个分量表示当前所找到的从起始点（即源点）到其他每个顶点的长度，为顶点。

1 基本引理

算法：从一个顶点到其余各顶点的最短路径算法，解决的是有向图中最短路径问题。算法主要特点是以起始点为中心向外层层扩展，直到扩展到终点为止.选择，使 ，是从点出发求出的一条最短路径上的终止节点。

平均分配生源：首先求出每个学区的人员分配比例，根据学区所在地画出连通图，根据连通图每两个学区人源所在，求解平均数，得出合理划分。

2 举例

某市需要对辖区所在小学进行学区划分，哪些小区的学生去哪所学校上学。如图1和表1是该区域的一个实际简化，其中连接线表示有道路相通，连接线上数字表示两地距离（单位百米），圆圈内数字是小区位置序号。该区域现有4个学校，分别位于图1的2，6，13，15位置（可认为与所在小区距离为0）。

2.1 用算法和矩阵给出最优的学区划分

将学区划分如图2所示，每个区域当中的小区看作图中的一个节点，各小区之间的距离看作图中对应节点间的边，各小区之间的距离看作对应边上的权，所给小区之间的距离所成的网转化为加权网络图，问题就转化为在给定的加权网络图中寻找从给定点分别从2、6、13、15出发，走遍所有各个小区（本学校设定在该小区内，不能在另设的学区内就学）再回到给定点2、6、13、15点，使得总权（路程）最短，此即为生源就近入学的最优解。

算法：最短距离计算过程。

（1）用带有权值的一个矩阵表示含有18个节点的邻接矩阵如图3所示，设置=（2、6、13、15）学区为源点，其余小区为目的点，代表从节点到有向图中其他节点的最短路程，设置初始值=，，为所有节点。

（2）选择，是从点出发求出的一条最短路径上的终止节点，令。

（3）修改起始节点到集合之间的最短路径的长度值，如果，那么上学距离为最短。

（4）重复步骤2、3的操作次，最终得到从起始节点到其他节点的最短路径，按照递增的顺序排列路径的长度。

（特殊说明：现有7、8号小区都必须经过其他小区才能到达最近学区点上学，即在矩阵中为∞，根据图1-1得知7、8号小区距离2号学区最近，所以应在2号学区点就学。）最终求得：在2号学区内就近入学的小区有1、3、5、7、8、9、10、11号小区；在6号学区内就近入学的小区有4、18号小区；在13号学区内就近入学的小区有12、14号小区；在15号学区内就近入学的小区有16、17号小区。

2.2 学校尽可能平均分配生源

如表2中2号学区所占比例为0.6028，15号学区所占比例为0.0798，此比例值差距太大，不符合平均分配生源的原则。

因此2→13学区内的人数所占总比例为0.2163；13→15学区内的人数所占总比例为0.2074；15→6学区内的人數所占总比例为0.2120；2→6学区的人数所占总比例为0.2624。

考虑到路程的原因，分配学员如下：

在2号学区上学的小区有8，9，10；在6号学区上学的小区有1，5，7，18；在13号学区上学的小区由3，11，12；在15号学区上学的小区有4，14，16，17。

3 结语

通过以上分析，第一种不考虑人数限制，遵循就近入学原则，通过计算，2号学区学校要接纳大约60%的学生，其他三所学校共接纳大约40%的学生，这不符合实际情况。第二种尽可能平均分配生源，把2号学区学生向6号、13号、15号学区学校进行分配。既能遵循就近入学原则，也尽可能平均分配生源，不造成教育资源的浪费。参照这种方式划定的区域，再结合实际情况统筹协调，对分派入学有着实际的意义。

参考文献

[1]赵静，但琦.数学建模与数学实验.北京：高等教育出版社，2014.endprint