求二面角的平面角的一种新方法

曾玉婷

摘 要：传统法求二面角是作出二面角的平面角，构造的辅助线有时很难找；而坐标法求二面角写起来比较繁琐。本文用“等体积法”求二面角的平面角，扩大“等体积法”适用范围，至此，等体积法可用于求点到面的距离、线面角、面面角。

关键词：等体积法 二面角

中图分类号：O123.2 文献标识码：A 文章编号：1672-1578（2017）09-0024-02

在文[1]中给出求二面角的常用的九种方法，作为传统法求二面角的平面角，笔者认为可以多加一种，等体积法求二面角的平面角。

1 等体积法求二面角的平面角原理

如图所示，求二面角P-AB-CD的平面角。

记所求的二面角的平面角为α，则α∈[0，π].

过点P作于PH1⊥ABCD于H1，过点P作PH2⊥AB于H2，

则有sinα= 或sin（π-α）=

综上可知sinα= ，具体的二面角，需通过观察确定其取锐角或钝角。

而关键的地方正是两次“作高”，其中用等体积法求PH1是关键中的关键。

2 实际解析

（2009年全国I.文19）如图，四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为矩形，SD⊥底面ABCD，AD= ，DC=SD=2，点M在侧棱SC上，∠ABM=60°。

（1）证明：M是侧棱SC的中点。

（2）求二面角S-AM-B的大小。

解：（1）略

（2）设二面角S-AM-B的平面角为α，过点S作于SH1⊥面 ABM于H1，作SH2⊥AM于H2，则有sinα= 。

等体积法求SH1： 由（1）知M是侧棱SC的中点，

∴ dM-SAB= dC-SAB

易知S△SAB= ，S△ABC= ，S△AMB=

代入VC-SAB=VS-ABC，即有 S△SAB·dC-SAB= S△ABC·CD，求得

dC-SAB=

由等体积法知VS-AMB=VM-SAB，即 S△AMB·SH1= S△SAB·dM-SAB，可得SH1= 。

求SH2： 在等腰△SAC中，M为SC中点， ∴ AM⊥SC

由SH2作法可知：SH2=SM=

所以sinα= = ，观察可知α为钝角，故 cosα=-

即二面角S-AM-B的平面角为α=arccos（- ）。

（2013年课标全国II，理18）如

图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，D、E分

别是AB、BB1的中点， AA1=AC=CB=

AB。

（1）证明：BC1∥平面A1CD；

（2）求二面角D-A1C-E的正弦值。

（2008年全国I.文18）四棱锥

A-BCDE中，底面BCDE为矩形，侧面ABC⊥底面BCDE，BC=2，CD= ，AB=BC。

（1）证明： AD⊥CE.

（2）设侧面ABC为等边三角形，求二面角C-AD-E的大小。

3 等体积法求二面角的意义

等体积法求二面角的平面角，实现用等体积法解决点到面的距离、三棱锥的高、线面角及二面角的统一。当然，等体积法的核心思想是同一个三棱錐顶点不同体积仍相同，但三棱锥的底面三角形面积不一定好求，因此等体积法求二面角的平面角存在一定的局限性。

参考文献：

[1] 李永茂，刘文春.求二面角的平面角的九种方法[J].数学教学，1990，06：28-30.