直面学情“验证”开路追求增量“重组”施教

周利云　李建良

【摘 要】数学教学中存在着不少教师在“教”之前学生似乎已经“知道”的知识点，如何寻找这些“知识点”的教学生长点和增长点，是教师必须直面的问题。以“三角形内角和”这一课教学研究为例，教师在秉承实证精神对学情和教材编写意图作出科学分析的基础上，作出“从猜想转向直接验证”“从‘方法的简单铺陈转向‘方法的融会贯通”“从简单片面的经验积累转向对‘思维严谨性的追求”的教学调整策略，从而为本课的教学寻找到增量。这种路径的研究，可以为同类问题的教学提供有益的启迪。

【关键词】三角形内角和 教材解读 教学建议

平时的教学中，存在着不少在教师“教”之前学生似乎都已经“知道”了的知识点，但这种“知道”是否“真知道”？且究竟又有多少学生“知道”？“知道”到了何种程度？等等。这些对于教师正确把握学情和遵循教材逻辑体系的关系，从而有针对性地展开教学会产生一定的干扰。因此，教师必须要做出正确的判断，一是对所谓的“知道”不能做简单判断，而是应通过一定方式的前测对学情做出相对准确的分析，二是必须进一步厘清教材编写和知识本身的逻辑体系，找寻出所教知识和教学的生长点。并最终以此为基点，根据需要对教学目标、重点以及教学方法做出适度的调整。

“三角形的内角和”是第二学段有关“空间与图形”领域的一个教学内容。它是三角形的一个重要性质，有助于学生理解三角形的三个内角之间的关系，也是进一步学习三角形相关知识点的基础。然而，在实际教学中，正是源于上述提及的“知道”问题，教师常常会有挫败感——教与不教，差异不大！

实际上，已经有不少教师通过对这一课的研究，对“学生知道的知识，究竟该怎么教”这类命题提出思考。但究竟是“简单教”还是“简单问题复杂教”，并不能一概而论，还是应该具体问题具体分析。基于上述考量，笔者对“三角形内角和”这一课展开了研究。

一、教材編排情况

笔者主要选取了现行的四个版本的教材进行比较，分别是：

卢江、杨刚主编的人民教育出版社2014年10月第1版教材（以下简称“人教版”）；

刘坚、孔企平、张丹主编的北京师范大学出版社2014年12月第1版教材（以下简称“北师大版”）；

孙丽谷、王林主编的江苏教育出版社2014年12月第1版教材（以下简称“苏教版”）；

张天孝主编的浙江教育出版社2010年10月第1版教材（以下简称“浙教版”）。

（一）各版本教材在年级、单元上的安排

从上表中可以发现，四套教材都将“三角形的内角和”安排在四年级下册进行教学，都属于三角形的认识和特性的范畴。这与《课标》（2011年版）第三部分“内容标准”中第二学段（4～6年级）“二、图形与几何（一）图形的认识的具体要求之6.认识三角形，通过观察、操作，了解三角形两边之和大于第三边、三角形内角和是180°”相一致。

（二）通过不同素材设计各类活动来帮助学生深入探究

通过对比罗列不难发现，各套教材在引导学生开展操作验证时都有以下一些特点。

1.情境创设符合学生年龄特点

无论是猜想式还是动手操作式，都能积极引发学生的探究欲望，从而为后面探究活动的深入奠定了一定的基础。

2.素材提供尽量不偏而全

即便是从特殊的三角形导入，之后也随之跟上其他非特殊类三角形的研究。而学生自己画或是准备时，更是要求是几个不同类型的三角形。

3.操作验证提供的方法以量、拼为主

仔细观察会发现，前三个版本教材几乎是量和拼，即便浙教版教材开始是观察发现规律为主，后面也安排了撕拼环节。

教材之所以这样编排，主要还是基于学生现实情况的考虑：就小学几何而言更多的是“经验几何”“实验几何”，提供的素材及解决问题的方法是要符合四年级学生的心理年龄特点的，同时也应为学生积累基本活动经验提供有效的实践平台。因此常规教学也是基本遵循了教材原有的呈现顺序来依次进行各个环节的展开。实际上，数学教学中，在落实知识点的同时，指向基本活动经验的积累是重要使命之一，这在某种程度上也为教师从“教知识”中适度解放出来提供了依据。

二、教学前学生情况

（一）前测安排

对于“三角形内角和”的学习，学生学习之前会有怎样的认知基础和生活经验？笔者对四年级共126名学生进行了前测。为了避免干扰，前测分第一轮和第二轮，知道三角形内角和是180°的孩子方可进入第二轮测试。主要以笔试为主。

（二）学生情况

选取了部分典型试题作了相关的统计，具体情况如下：

从最后学生前测的情况来看，我们不难发现以下几点。

1.将近100%的学生已知“三角形内角和就是180°”

参加测试的学生中只有2个孩子对该题处于空白，另外124名孩子都知道了“三角形内角和就是180°”。知道的途径有很多：有书上看来的，家长告知的，通过课外班学来的，也有举例特殊三角形从而推断的等。

2.将近15%的学生不明确研究材料的全面性

从问题3的选择情况来看，学生对于“实验研究应注意材料的全面性，否则容易犯以偏概全的错误”这一点认知严重不足，即没有意识到在本课试验中，不能只研究一个或一类三角形就得出所有三角形内角和是180°的结论。

3.将近73%的学生知道会用测量求和的方法来验证

对124位已经知道结论的学生进行了第二轮的测试，第一个问题便是“验证180°，你有哪些方法？”从最终的统计结果来看，各版本上预测的“量”“撕”“折”等方法，学生几乎都有涉及，尤其是“测量求和”的方法，几乎成为了学生的首选。

从上述现实情况来看，教材原本设定的教学目标之“让学生探索并发现三角形内角和等于180°”与学情相比是有冲突的，具体来讲就是：目标显然已经滞后于学生的已有学习起点。相反，学生在真正用实验验证时对于材料的全面性的认识是不够清晰的，而这一点似乎在常规的教学目标中没有被体现及提及。

三、教学建议及思考

鉴于对教材与学情的综合分析，笔者认为，对于本课的教学目标不应再停留于探索发现结论，而是验证已有结论；对于本课的教学重点也应从“通过多种方法归纳得到该结论”转而向“经历探究过程且注重多种方法之间的沟通与联系”迈进；而本课的教学难点则应聚焦于操作验证上的一系列问题，如如何面对和理解操作中的误差问题，如何让学生体会实验验证的严谨等。下面给出具体教学建议。

（一）直面学情，开门见山奔主题——从猜想转向直接验证

从各版本教材来看，几乎一开始都以为学生处于“未知空白”阶段。但从之后的前测来看，反差非常大，学生不仅知道，而且几近完全知道。因此从某种意义上来说，一开始的猜想环节已经形同虚设。鉴于上述种种，笔者建议教师在执教该课时不妨改猜想为验证，开门见山，直奔主题，将学生的注意力集中到如何验证上来。

师：关于三角形内角和的知识，你知道些什么？

生：三角形内角和是180°。

师：你们都同意么？你们是怎么知道的啊？

生：书上看来的。

师：（肯定）的确，这个结论是正确的，并且是数学家们在很久以前就已经验证了的。今天，咱们也来当一回小小数学家。那么，作为数学家的你，可能会用哪些方法来验证呢？

当然，这里绝不是简单地为“迎合”学情而转向了验证，而是由 “验证”本身在本课例中举足轻重的地位所决定，即本课的重心就是在验证中培养学生多种基本素养，那么开门见山直奔主题的高效做法自然也就顺理成章。

（二）高于教材，把握目标找增量——从“方法”的简单介绍转向有机联系

上述四个版本教材在“操作验证”环节中都预设了“测量求和”“撕拼法”“折拼法”等操作实验。而从学生的前测情况来看，也或多或少地想到这些方法。那么在执教该环节时，假如我们的教学要点仍仅仅只是停留在各类操作方法“走马观花”式的介绍上的话，那学生的学习增量又会在哪里？因此，笔者建议，在各类方法展示之后，教师还有必要穿插以下环节。

在有序呈现了撕拼法、折拼法以及3个全等三角形的摆拼法之后。

师：对比回顾刚才的这些方法，有没有找到共同点？

生：做法有点不太一样，但道理是一样的，都是要把三个内角拼成一个平角。

（师借助课件将上述共同点再次凸显）

师：那这三种方法与之前的测量求和法有什么联系？

生：测量时是得出180°，而拼在一起是得到一個平角，而平角就是180°。

师：是的，无论是180°还是平角，本质上是一样的。

师：但是，上述四种方法都属于操作实验验证，只要是操作的，那么就会不可避免存在一个问题，那就是都会产生误差。

不难发现，这里的增量部分其实就是“各方法之间的联系沟通学习”。不联系，不沟通，对于已知结论并不会产生什么影响，但是教师在这里看似简洁的几笔却真正起到了画龙点睛的作用，也正是因为补充了这样的教学操作才让学生有了更高层次的理解和感悟。

（三）追求“科学”，全面呈现出结论——从动手操作的一般关注转向不完全归纳的思维训练

现阶段小学的课堂主要有操作验证和推理论证两大类。而通过之前的分析我们不难发现各版本教材在编写上深刻地体现出了让学生操作探究的特点，即通过动手操作、小组合作探究，发现三角形内角和为180°。相比推理论证，操作验证的确显得不够严谨，但是就小学而言，这样的“实验几何”是符合四年级学生的心理年龄特点的，同时也为学生积累基本活动经验提供了有效的实践平台。但不可避免的是操作验证有其局限性——操作不仅会产生误差，同时更容易因为操作材料的片面性导致不科学的结论。再次回顾教材后，我们会发现不管是人教版的“画几个不同类型的三角形”还是浙教版的“从特殊直角三角形到普通的不等边三角形”，其实质都指向一处——教学时应重视操作实验的科学性，尽量做到材料的全面典型，以此方能通过不完全归纳法最终得出结论。

师：量这种方法，大家都想到了，那么就请你借助手中的点子图，画任意三角形，量一量、算一算，把结论写在下面。

反馈：先投影只画一个三角形的学生的作品，再反馈三类三角形都画出来再测量的。

师：对比两位同学的研究思路，你有什么要说的？

生：一个不能说明全部，应该三类三角形都研究。

师：是的，我们在实验研究时，研究的材料必须要全面性，这样研究得出的结果才会更具有科学性，否则就会犯以偏概全的错误。

学生的动手操作是直观的，也是感性的，尤其是四年级学生，还处于从形象思维向逻辑抽象思维过渡的初级阶段，因此借助上述环节，让学生在懂得“实验科学性”的同时也体会了“思维的严谨性”。

总而言之，类似“三角形内角和”这一类型的课，教师必须着眼于学情——找准教学起点，让学生已有的知识起点与数学逻辑教学起点衔接得更为自然；着手于教材——明确教学目标的同时也能灵活适度地调整重难点让学生真正学有所获；着力于过程——让即便是操作的实验验证也同样做到无懈可击，并从中让学生学会科学的实验态度。

（浙江省杭州市富阳永兴学校 311400）

（浙江省杭州市萧山区益农镇中心小学 311200）